基于OMMP算法的OFDM系统信道估计*

罗振龙,疏中凡，姜媛媛

(安徽理工大学 电气与信息工程学院，安徽 淮南232001)

近年来无线通信领域得到了迅猛的发展，随着第四代移动通信标准LTE/LTE-A的应用以及无线局域网的大规模部署，其中的主要技术——正交频分复用OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)也应用得越来越广泛。OFDM系统的发射接收需要了解信道的状态信息，因此研究在无线信道下的OFDM信道估计技术有着十分重要的工程意义。

压缩感知CS(Compressed Sensing)作为最近几年在应用数学和信号处理领域兴起的一门新理论，其主要思想是：利用信号的稀疏特性，通过尽量少次数的观测数据恢复原信号。经过长期大量的研究发现，无线信道存在着天然的稀疏性，即信道长度较长，但实际的信道径数较少。利用这种稀疏性，但以在较少导频数量的情况下得到信道信息。目前国内外有许多学者将目光投注到压缩感知技术在信道估计领域的应用，其中主要包括超宽带(UWB)系统、OFDM系统。本文首先研究了压缩感知在OFDM系统中的应用，在估计性能相似的情况下，引进了一种改进型的正交匹配追踪OMP(Orthogonal Matching Pursuit)算法——正交多重匹配追踪OMMP(Orthogonal Multimatching Pursuit)，相比于原算法可以在一定程度上减少算法复杂度，对于移动设备在进行信道估计时减少系统开销、节约能量有着积极的意义。

1 压缩感知理论

压缩感知[1-3]理论本身的意义是对信号的高度不完备线性测量后的高精确重建。相比于依赖奈奎斯特采样定理的测量，该理论是解决目前ADC采样速率不够高、移动终端设备计算能力有限等问题的有力方法。

压缩感知假设信号本身或者信号在某个变换域上的表达xN=是K稀疏的。对于信号x的线性观测用矩阵ΦN×N表示，矩阵Φ的一行可看做对信号的一次测量，M行表示M次测量。当Φ是一个过完备字典时，对信号进行的测量为不完备测量。要想以很大的概率重建信号，则观测次数要满足 M≥cKlog(N/K)，通过 M次线性测量可以得到测量值为:

上述方程组是一个欠定方程组，存在无穷多解。然而压缩感知理论表明,当s是稀疏的时候，可以通过求方程的最稀疏解得到。

当矩阵ΦΨ满足约束等距性质RIP(Restricted Isometry Property)时，即存在一个常数 δ∈[0,1)，使得任意 K稀疏的信号s满足:

求L0范数可以转化为求解L1范数，有:

于是NP难问题变为一个线性规划问题。

2 OFDM信道模型

对于一个宽带OFDM系统，假设信道的相干时间远大于一个OFDM符号周期，则可以在一个符号周期内将信号冲激响应h(τ)看做时不变的，以OFDM系统采样周期为间隔，得到冲激响应的离散表达为:

其中L是信道的最大时延除以系统的采样周期后的取整，即为信道长度。信号x在经过信道的作用后，在接收端得到的信号表示为线性卷积的形式:

由于OFDM系统为了对抗码间干扰，在发射端对每个OFDM符号加入了循环前缀，在接收端又将循环前缀丢弃，实际接收的一个OFDM符号可看做一个OFDM符号与信道响应做循环卷积:

接收端对接收信号做FFT解调后，由循环卷积定理可得到:

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其中N是噪声的傅里叶变换，X是以数据信号形成的对角矩阵，H=Fh为h的傅里叶变换，F是一个局部傅里叶矩阵:

3 基于压缩感知的OFDM信道估计

经过长期研究发现，信道的冲激响应h(n)往往是稀疏的，即一个长度为 L的信道[h(1),…,h(L)]，其中非零项只有K项,且K＜＜L。为了在信道估计中利用这种稀疏性，自然而然地考虑引入压缩感知理论。

在式(8)中,将XF看做压缩感知中的测量矩阵 ΦΨ，h为被测量的稀疏信号，Y为获得的测量值，则OFDM系统可以看做一个压缩感知的模型。基于导频的信道估计是在X中插入已知的导频序列 Xc，利用得到的 Yc，计算出信道冲激响应。传统的信道估计由于没有利用信道的稀疏性，导频的设置需要满足奈奎斯特采样定理，因此导频数量十分庞大。而采用压缩感知方法时，导频数的设置只需要满足M≥cKlog(N/K)，通常工程应用中取信道稀疏度的4倍左右即可。以基于OMP算法的信道估计[5-8]为例，在参考文献[5]中可看到在相同估计性能下，采用压缩感知信道估计所使用的导频数量可以比最小二乘估计算法减少70%左右，其效益是十分明显的。

4 正交多重匹配追踪算法(OMMP)

OMMP算法的主要步骤如下：

(1)输入:测量矩阵XMFM，测量向量YM，多重因子 s 。

(2)初始化：设置残差向量 r0=YM，索引集合 Λ0=φ，原子矩阵 Θ0=φ，迭代次数t=1。

(3)计算残差 rt-1与测量矩阵 XMFM每一列 φj的内积，取前s大的值对应的脚标

(7)根据某一准则（稀疏度或者残差）判断迭代是否继续，若继续则返回(3)，否则输出估计值。

由于信道估计是在有噪声的条件下进行的，因此研究相应信道环境下的OMMP算法性能,并与OMP算法相比较是应用该算法的必要前提。

5 仿真分析

为了比较OMP算法和OMMP算法在OFDM系统信道估计性能方面的差别,做了以下的仿真。假设一个OFDM系统,系统子载波数N=512,循环前缀长度为64，发射端符号映射采用8 QAM调制。信道采用瑞利多径信道模型，信道长度L分别取50和60，信道多径数K分别取6径和12径，路径时延采取随机分布，功率随路径时延以指数递减。信道的高斯信噪比在15 dB～40 dB选取。

首先以L=50，K=6的信道进行仿真，导频数量设置为 M=24，多重因子 s分别取 2和 3。

图1中比较了OMP算法和OMMP算法的估计精度。可以看出在20 dB以下，OMP算法与OMMP算法的性能几乎相同，当信噪比大于20 dB时，OMP算法要优于OMMP算法，但相差较小，同时多重因子s=2和s=3时的性能基本相似。

图1 稀疏度为6时的MSE性能

再以L=60，K=12的信道进行仿真，导频数量设置为M=48，导频分布采取随机分布，OMMP算法的多重因子s分别取3和4进行比较。

由图2可以看出，此时的OMP算法只是略优于OMMP算法，但二者相差极小，可认为性能相似。OMMP算法在多重因子s为3下的性能要稍好于4的情况。

图2 稀疏度为12时的MSE性能

表1中给出了30dB时信道估计在各种算法下运行1000次后的平均运行时间，从中可以看出，当信道径数为6时，OMMP算法与OMP算法的运行时间接近。当信道径数为12时，使用OMMP算法可以比OMP算法节省0.004 s以上，达到系统运行时间的20%，效益比较可观。

综上分析，OMMP算法在信道径数较低时表现不及OMP算法，同时在运行时间上的优势也难以体现。随着信道取大径数时，OMMP算法的性能与OMP算法相当，而且运行时间明显优于OMP。因此在一些径数较多的信道环境中，基于OMMP算法的信道估计是一种更好的选择。

回顾了基于OMP算法的信道估计，为了进一步减少算法运行的时间，在此基础上引入OMMP算法。结合信道环境经过仿真分析发现，该算法在较多径数的情况下，性能与OMP算法相当且效率更高。因此在工程应用中具有一定的实际意义。然而该算法基于信道稀疏度已知的假设，且随着多重因子的取值越来越大，算法的重构精度也存在着降低的现象，低信噪比时OMMP算法和OMP算法一样会发生性能严重恶化，这些都是今后工作中亟待解决的问题。

表1 不同算法的运行时间单位：s

[1]DAVID DONOHO.Compressed sensing[J].IEEE Trans.on Information Theory,2006,52(4):1289-1306.

[2]石光明,刘丹华,高大化，等.压缩感知理论及其研究进展[J].电子学报,2009,37(5):1070-1081.

[3]陶小峰,崔琪楣,许晓东,等.4G/B4G关键技术及系统[M].北京：人民邮电出版社,2011:136-144.

[4]COTTER S F,RAO B D.Sparse channel estimation via matching pursuit with application to equalization[J].IEEE Trans.on Communication,2002,50(3):374-377.

[5]何雪云,宋荣方,周克琴.基于压缩感知的OFDM系统稀疏信道估计新方法研究[J].南京邮电大学学报(自然科学版),2010,30(2):60-65.

[6]李世平,李鑫,郑文彬.基于压缩感知的正交频分复用信道估计方法[J].电子技术应用,2012,38(8):106-108,155.

[7]BERGER C R,Zhou Shengli,Chen Wei,et al.Sparse channel estimation for OFDM:Over-complete dictionaries and super-resolution[C].2009.SPAWC’09.IEEE 10th Worshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications,2009:196-200.

[8]TROOP J A,GILBERT A C.SIGNAL recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J].IEEE Trans.on Information Theory,2007,53(12):4655-4666.