用类比来引导学生学习概念

黄丽芳

摘 要：数学概念的教学不光要重视概念的运用，更应该注重概念的形成过程，重视数学知识的产生与发展的过程.创造类比发现问题情境的应用，采用类比的方法引导学生学习新的概念，较好地解决了这个问题，但也容易使新的概念，在原有的认知结构同化与建设.在数学概念的教学，可以用很多类比。本文就以三个实例介绍了如何使用类比法来学习数学概念。

关键词：类比；发现；引申；建构

1 目前课堂数学概念引入的现状

教学中的数学概念，一般都要经过展示概念背景， 创设问题情景， 启迪发现过程， 表述论证阶段。然而，在教学中，很多教师对概念都是一语带过，没有背景，没有平铺，没有引导，让学生感觉突兀和生硬，机械地接受数学概念，无法实现自主性，失去对事物认知应有的一个正确过程，以及失去了在这过程中创造力的发展。

2 数学概念引入现状产生的原因

造成这种现象形成的原因，一个方面是因为教师旧的教学理念，不重视在教学中培养学生的思维活动，没有以学生为主体，让学生自己去探索，从而达到认知再缔造的目的，实现发现，理解，创造和运用的目标。另一方面是许多教师不懂得如何去创设数学概念形成的问题情景，循序渐进地引导学生开展探索活动 [1 ]。

3 用类比引导学生学习概念的重要性

在教学中如何建立有效的问题情境，如何利用类比的数学概念，让学生学会举一反三的观察，分析，猜测，抽象，概括这样一种思想的传播，探索规律，提高数学思维发展的过程，提高学生认知水平，培养学生数学能力，这是需要改革的数学教学观念的最重要的问题，也是数学教学中的一个全新理念 [2 ]。

4 用类比来引导学生学习概念的方法

4.1 问题情景的设计

回顾已学过的相似概念，设置问题情景，用类比来引导学生学习概念。有很多类似性质的概念，在这些概念的教学中，教师可以指导学生归纳已学过的概念，然后创建类比问题，引导学生去联想，试图挖掘一个新的概念 [2 ]，这个新的概念是很容易让学生吸收和建立在学生的认知结构中。下面将根据本人在教学实践中的体验与积累，谈一谈如何创设类比发现的问题情景，用类比的方法来引导学生学习新概念。如高中数学中，等差数列与等比数列的教学、二面角的概念及其平面角的教学就可采用这种方法。

4.2 课堂例题展示

4.2.1 等比数列的教学

4.2.1.1 展示概念背景

向学生指出：我们学习了等差数列，知道了处理后一项比前一项的差相等的数列，此时，我们会相应地想到，如果是后一项比前一项的比相等，这样的数列又是什么数列呢？

4.2.1.2 设置问题情景

先引导学生回顾一下等差数列的概念（包括概念的形成，通项公式的推导，等差数列的性质，等差数列前n项和公式），然后罗列出几条等比数列的例子，如（1）3，9，27，81，243，…；（2） …；（3） -1，2，-4，8，-16，32， （4）6，6，6，6，6， …，让学生通过这几个例子，再通过与等差数列概念形成的类比， 去挖掘规律。

4.2.1.3 发现启蒙阶段

等比数列的定义必须遵循上述原则，然后引导学生讨论：等比数列的概念特征，类比等差数列的概念，从而自己归纳出等比数列的概念如下：

进一步诱导：类比等差数列概念，上述例子中，

从第二项起，后一项与前一项的什么是同一个常数？

因为有了等差概念的类比，学生自然会先从“差”入手，发现差不一样，接着他们就会把加减乘除各试一遍，学生会发现：从第二项起，后一项与前一项的比值是同一个常数。这样，概念形成的过程就水到渠成，学生也容易理解与记住。

4.2.1.4 表述论证阶段

最后引导学生发现：等比数列通项公式的推导过程，通过公式的推导来进一点论证概念的正确性。

等差数列的通项公式推导，是通过概念中后一项减前一项等于同一个常数，从而得出递推公式，再根据累加法的思想把公式推导出来。然后让学生类比等差数列，思考如何得出等比数列的递推公式。（此时，引导学生从等差的公差d，思考等比的q） 再类比累加法的思想，引导学生讨论，应用什么方法把等比递推公式推导出通项公式。学生自然而然还是想到尝试加减乘除四则运算，就慢慢探索出累乘法，从而推出等比的通项公式。

4.2.1.5 结果与分析

以上经过指导学生钻研等差数列概念的内在特征，即孕育出新的概念的“延伸” [3 ]，以类比方法获得等比数列的定义，学生觉得这一个定义是原有定义的一种自然发展，不感到别扭，学习起来也容易理解和应用。有很多这样的概念，如长方形对角线与长方体和对角线的类比、三角形面积和三棱锥体积的类比、二次函数与二次方程的类比等等。下面再来说说立体几何中二面角及其平面角的概念教学。

4.2.2 二面角概念的教学

4.2.2.1 展示概念背景

前面我们学过直线与直线、直线与平面所成的角，但在实际问题的解决中光有线线角和线面角是不够的。如为了使堤坝坚固耐用，大坝的上游面必须与水平面建造出适当的角度；又如飞机的起飞和下降的平面要和水平面计算好精准的角度，这样才能保证乘客的安全，为了解决像这类的实际问题，人们需要研究两个平面所成的角的问题。那么，该怎么定义两个平面所成的角呢？

4.2.2.2 类比发现创设问题情景

教师引导学生回顾一下，初中平面几何中的“角”是如何定义的？

初中“角”的定义：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。

然后再让学生去类比：

两直线相交，交点把每一条直线分成两个部分，其中的每一部分都是一条射线。

两平面相交，交线把每一个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫半平面。

该如何给两相交平面所成的角下定义呢？用类比的办法，通过和角的概念的类比，探讨了两个相交的平面的角度（角）的定义。

4.2.2.3 类比扩展阶段

从二维绘图到三维空间，即可得“从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。”同时用平面角表示法类比出二面角的表示法。

4.2.2.4 表述论证阶段

通过高一学习了角的概念的推广，我们知道平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；那么，类似地，二面角可以看作是一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形。

4.2.2.5 结果与分析

用类比的方法来学习，既能巩固原有的知识，又能有新的发展，即所谓的“温故知新”；也符合学生的最近发展区原理，跳一跳够得着；同时用类比的方法来学习也符合建构理论，人的认识不是对于客观实在的被动的反映，而是主体以已有的知识经验为依托所进行的主动建构的过程，用类比去学习可以把新知识纳入原有的知识体系，并形成新的有机的知识网络，有利于学生知识网络的建构。

4.2.3 二面角的平面角的教学

4.2.3.1 展示概念背景

为了反映组成二面角的两个半平面的相对位置即它们的开合程度，我们有必要来研究二面角的度量问题。

4.2.3.2 创设类比发现的问题情景：

前面我们学过两异面直线所成的角、斜线与平面所成的角，并研究过它们的度量问题，那么，对于二面角的大小又该如何去度量呢？我们以往是如何度量两异面直线所成的角、斜线与平面所成的角的？分别通过“取点、平移（相交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（相交）”（对斜线与平面所成的角）去度量的。这些做法的共同点都是将空间角化为平面角。

4.2.3.3 类比引申阶段

将二面角的度量转化为平面角来度量。再次用类比的方法来学习二面角的度量问题，同时也渗透了转化和化归的思想方法。

5 结论与总结

在数学科的学习中能用类比的地方还有很多，如空间向量与平面向量，异面直线所成的角等等。用类似于大家熟悉的概念（类比的形式可以是多种多样，如三维和二维类比，一元二次不等式与一元二次方程的类比，和同构类例，属性类例，方式类例等等）让学生能了解，理解，掌握新的数学概念。不过，类比出的结论不一定正确，所以一定要引导学生去论证，不能为了节省课堂时间而跳过这个环节，否则学生也会在做题中相应地用这种思路而不验证，从而出现错误。

类比教学蕴含着丰富的教学思想和方法，能激发学生积极主动地去探索、去比较、去分析、去归纳、去认识新事物、去发现新规律，充分地调动学生学习的积极性，体现学生学习的主体性，维护学生的创造力，从而满足素质教育的要求。

参考文献：

[1]郑秀云.APOS理论指导下的高中数学概念教学[D].福州：福建师范大学硕士论文，2003（8）：1.

[2]严运华.数学概念形成的问题情景创设[J].教学与管理，2001（6）：10.

[3]周金生.创设情景 引入概念[J].西江教育论丛， 2005（6）：20.