高中数学解题中数形结合的巧妙应用

宋勇军

数形结合思想，主要是借助数量和图形之间的关系及其两者之间的转化解决数学问题的思想。高中数学中部分数量关系问题能够转化为图形性质进行求解，也有部分图形性质的问题能够转化成数量关系的形式来进行求解，利用数形结合求解的实质是将数学中直观、形象的图形通过某种关系和复杂、抽象的数学语言联系起来，从而实现形象思维和抽象思维的有效结合，利用较为形象直观的图像对抽象概念做具体化、表象化的展示，达到化难为易，化繁为简的解题效果。

一、数形结合思想

在数学教学中，抽象的代数式、函数解析式和方程是“数”的核心；几何图形和函数图像则是“形”的代表。对于代数式，我们往往要了解其几何或函数意义；对于几何图形和函数图像，我们则需要求解其相关数量关系。在这个基础上，我们可以将“数”与“形”结合起来，以达到“以形求数”或“以数化形”的目的。高中数学解题中对数形结合的应用，是将函数图像应用于相应的解题过程中，以取得简洁明晰的解题思路。

数形结合通过把人脑的形象思维与抽象思维结合起来，将复杂难懂的数学内容与直观形象的函数图像或几何图形等进行相互转化，把复杂的问题变得简单易懂，把抽象的问题变得具体可观，从而顺利解题。“数”和“形”反应了事物两个方面的属性，它们相当于一体两面，只能以整体的形态出现。如果只是强调其中的一项，是没有意义的。

二、数形结合思想在高中数学解题中的应用

1.循序渐进，培养学生数形结合思想

通过数形结合，可以有效避免数学教学中的枯燥性、问题的晦涩难懂，帮助高中生在数形的互相转换中理解数学中蕴含的美，寻找到正确的学习方法，进而对数学产生浓厚的兴趣，使学生学习数学的畏惧心理和厌学心态慢慢消失，进而变得积极主动，享受学习带来的无限乐趣。对于高中生来讲，领悟并应用数形结合的方法是需要一个过程的，教师在渗透时应坚持循序渐进，充分做好铺垫和设计，帮助学生顺利完成从数到形、从形到数的思维转变，通过不断地模仿和尝试，逐渐体会到数形结合的优势并在以后的学习中尝试运用。

如：定义函数f（x）的图像与直线x=a，x=b及x轴所围成的图形面积为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，π]上的面积为

（N∈N*），求y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面积。根据题中定义可得出下图1中阴影部分为函数y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面积，根据函数对称性，所求面积既为下图2中阴影部分面积。

图1

图2

图3中阴影部分矩形的面积为：

（ ）×1=π，由已知可得，函数y=sin3x在[0， ]上的面积为 ，则图2阴影部分面积为π+3。

2.对比应用，渗透数形结合思想的价值

数形结合理论并不是通过简单的理论讲解或者几个例题讲述就能够完成教学任务的，需要学生在不断地学习中反思生活并主动建构。学生自己通过不同方法的运用或者对比，可以更为直观地体会到这种方法中蕴含的化繁为简、化抽象为直观的独特之处，从而帮助学生对数形结合思想的认识自然深化。

如：已知（2，y1），（1，y2），（-1，y3），（-2，y4）均是y= 的图象上的点，那么请比较y1和y3的大小。该题中，可以采用代入方法，分别求出各自的函数值，最后做比较，然而遇到自变量数值复杂的情况下，运算量自然加大，因而教师可以先指导学生利用代入法进行计算，然后画出反比例函数y= 的草图，这样学生就会发现，四个点的位置全部非常直观地显示在草图上了，可以比较容易地比较出四个点的大小。学生通过这个例子，能够清楚地看到代入法和数形结合法的不同之处，并更为清晰地认识到数形结合的优势，在以后的学习和解题中会更为积极主动地运用数形结合思想。

3.以形换数，用公式解决问题

在数学中，一些代数式在变形之后往往具有特殊的几何意义，如比值，可以与斜率联系起来；二元一次方程可以联系到直线的截距。这样的代数式就可以运用数形结合进行求解。

如：点P（x，y）是圆（x-2）2+ y2=3上的任意一点，求x-y的最值。假设x-y=b，则b就是x-y的值。x-y=b可变形为y=x-b，则-b就是直线y=x-b在y轴上的截距。如下图所示，b1是x-y的最小值，b2是x-y的最大值。

通过上述解题可以得知，很多代数问题中一般都具有几何背景，在解题的过程中，如果将具有数量关系的代数问题，设计出一个与之相关的几何模型，然后巧妙合理使用几何性质，能够将试题中一些抽象的、复杂的数量问题变得简单，能够理清解题思路或者找出问题的答案。

此外，人的左半脑和右半脑特征不一，其中左半脑主要用于抽象的逻辑思维，而右半脑则用于形象思维，当二者互相补充时人体大脑才会更加健全和发达。在利用数形结合解题时，学生的左半脑和右半脑功能就得到了同时锻炼，也就是说学生的抽象思维能力和形象思维能力获得了同步发展，从而可以帮助学生从不同层次、不同角度、不同方位对问题进行思考，有助于多向思维的养成，也可以提高学生对于数学相关知识的记忆力及理解力，对于学生其他科目的学习也是大有裨益的。

三、结束语

数和形是数学研究中的两个基本对象，数形结合是数学教学中的常用方法，也是最基本的数学思想方法之一。高中数学教师在数学教学中应充分认识到数形结合思想方法的优势，结合学生的特点，在日常教学中不断强化对数形结合思想的认识，让学生在不断地对比应用中更为深刻地体会到数形结合的思想价值，从而帮助学生更好的完成从形到数，从数到形的转化，认识到数学问题的本质，进而推动高中生的抽象思维和形象思维的发展，使他们的思维水平达到一个新的高度。在促进他们学习的基础上，增强他们的记忆力和理解力。

（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）

数形结合思想，主要是借助数量和图形之间的关系及其两者之间的转化解决数学问题的思想。高中数学中部分数量关系问题能够转化为图形性质进行求解，也有部分图形性质的问题能够转化成数量关系的形式来进行求解，利用数形结合求解的实质是将数学中直观、形象的图形通过某种关系和复杂、抽象的数学语言联系起来，从而实现形象思维和抽象思维的有效结合，利用较为形象直观的图像对抽象概念做具体化、表象化的展示，达到化难为易，化繁为简的解题效果。

一、数形结合思想

在数学教学中，抽象的代数式、函数解析式和方程是“数”的核心；几何图形和函数图像则是“形”的代表。对于代数式，我们往往要了解其几何或函数意义；对于几何图形和函数图像，我们则需要求解其相关数量关系。在这个基础上，我们可以将“数”与“形”结合起来，以达到“以形求数”或“以数化形”的目的。高中数学解题中对数形结合的应用，是将函数图像应用于相应的解题过程中，以取得简洁明晰的解题思路。

数形结合通过把人脑的形象思维与抽象思维结合起来，将复杂难懂的数学内容与直观形象的函数图像或几何图形等进行相互转化，把复杂的问题变得简单易懂，把抽象的问题变得具体可观，从而顺利解题。“数”和“形”反应了事物两个方面的属性，它们相当于一体两面，只能以整体的形态出现。如果只是强调其中的一项，是没有意义的。

二、数形结合思想在高中数学解题中的应用

1.循序渐进，培养学生数形结合思想

通过数形结合，可以有效避免数学教学中的枯燥性、问题的晦涩难懂，帮助高中生在数形的互相转换中理解数学中蕴含的美，寻找到正确的学习方法，进而对数学产生浓厚的兴趣，使学生学习数学的畏惧心理和厌学心态慢慢消失，进而变得积极主动，享受学习带来的无限乐趣。对于高中生来讲，领悟并应用数形结合的方法是需要一个过程的，教师在渗透时应坚持循序渐进，充分做好铺垫和设计，帮助学生顺利完成从数到形、从形到数的思维转变，通过不断地模仿和尝试，逐渐体会到数形结合的优势并在以后的学习中尝试运用。

如：定义函数f（x）的图像与直线x=a，x=b及x轴所围成的图形面积为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，π]上的面积为

（N∈N*），求y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面积。根据题中定义可得出下图1中阴影部分为函数y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面积，根据函数对称性，所求面积既为下图2中阴影部分面积。

图1

图2

图3中阴影部分矩形的面积为：

（ ）×1=π，由已知可得，函数y=sin3x在[0， ]上的面积为 ，则图2阴影部分面积为π+3。

2.对比应用，渗透数形结合思想的价值

数形结合理论并不是通过简单的理论讲解或者几个例题讲述就能够完成教学任务的，需要学生在不断地学习中反思生活并主动建构。学生自己通过不同方法的运用或者对比，可以更为直观地体会到这种方法中蕴含的化繁为简、化抽象为直观的独特之处，从而帮助学生对数形结合思想的认识自然深化。

如：已知（2，y1），（1，y2），（-1，y3），（-2，y4）均是y= 的图象上的点，那么请比较y1和y3的大小。该题中，可以采用代入方法，分别求出各自的函数值，最后做比较，然而遇到自变量数值复杂的情况下，运算量自然加大，因而教师可以先指导学生利用代入法进行计算，然后画出反比例函数y= 的草图，这样学生就会发现，四个点的位置全部非常直观地显示在草图上了，可以比较容易地比较出四个点的大小。学生通过这个例子，能够清楚地看到代入法和数形结合法的不同之处，并更为清晰地认识到数形结合的优势，在以后的学习和解题中会更为积极主动地运用数形结合思想。

3.以形换数，用公式解决问题

在数学中，一些代数式在变形之后往往具有特殊的几何意义，如比值，可以与斜率联系起来；二元一次方程可以联系到直线的截距。这样的代数式就可以运用数形结合进行求解。

如：点P（x，y）是圆（x-2）2+ y2=3上的任意一点，求x-y的最值。假设x-y=b，则b就是x-y的值。x-y=b可变形为y=x-b，则-b就是直线y=x-b在y轴上的截距。如下图所示，b1是x-y的最小值，b2是x-y的最大值。

通过上述解题可以得知，很多代数问题中一般都具有几何背景，在解题的过程中，如果将具有数量关系的代数问题，设计出一个与之相关的几何模型，然后巧妙合理使用几何性质，能够将试题中一些抽象的、复杂的数量问题变得简单，能够理清解题思路或者找出问题的答案。

此外，人的左半脑和右半脑特征不一，其中左半脑主要用于抽象的逻辑思维，而右半脑则用于形象思维，当二者互相补充时人体大脑才会更加健全和发达。在利用数形结合解题时，学生的左半脑和右半脑功能就得到了同时锻炼，也就是说学生的抽象思维能力和形象思维能力获得了同步发展，从而可以帮助学生从不同层次、不同角度、不同方位对问题进行思考，有助于多向思维的养成，也可以提高学生对于数学相关知识的记忆力及理解力，对于学生其他科目的学习也是大有裨益的。

三、结束语

数和形是数学研究中的两个基本对象，数形结合是数学教学中的常用方法，也是最基本的数学思想方法之一。高中数学教师在数学教学中应充分认识到数形结合思想方法的优势，结合学生的特点，在日常教学中不断强化对数形结合思想的认识，让学生在不断地对比应用中更为深刻地体会到数形结合的思想价值，从而帮助学生更好的完成从形到数，从数到形的转化，认识到数学问题的本质，进而推动高中生的抽象思维和形象思维的发展，使他们的思维水平达到一个新的高度。在促进他们学习的基础上，增强他们的记忆力和理解力。

（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）

数形结合思想，主要是借助数量和图形之间的关系及其两者之间的转化解决数学问题的思想。高中数学中部分数量关系问题能够转化为图形性质进行求解，也有部分图形性质的问题能够转化成数量关系的形式来进行求解，利用数形结合求解的实质是将数学中直观、形象的图形通过某种关系和复杂、抽象的数学语言联系起来，从而实现形象思维和抽象思维的有效结合，利用较为形象直观的图像对抽象概念做具体化、表象化的展示，达到化难为易，化繁为简的解题效果。

一、数形结合思想

在数学教学中，抽象的代数式、函数解析式和方程是“数”的核心；几何图形和函数图像则是“形”的代表。对于代数式，我们往往要了解其几何或函数意义；对于几何图形和函数图像，我们则需要求解其相关数量关系。在这个基础上，我们可以将“数”与“形”结合起来，以达到“以形求数”或“以数化形”的目的。高中数学解题中对数形结合的应用，是将函数图像应用于相应的解题过程中，以取得简洁明晰的解题思路。

数形结合通过把人脑的形象思维与抽象思维结合起来，将复杂难懂的数学内容与直观形象的函数图像或几何图形等进行相互转化，把复杂的问题变得简单易懂，把抽象的问题变得具体可观，从而顺利解题。“数”和“形”反应了事物两个方面的属性，它们相当于一体两面，只能以整体的形态出现。如果只是强调其中的一项，是没有意义的。

二、数形结合思想在高中数学解题中的应用

1.循序渐进，培养学生数形结合思想

通过数形结合，可以有效避免数学教学中的枯燥性、问题的晦涩难懂，帮助高中生在数形的互相转换中理解数学中蕴含的美，寻找到正确的学习方法，进而对数学产生浓厚的兴趣，使学生学习数学的畏惧心理和厌学心态慢慢消失，进而变得积极主动，享受学习带来的无限乐趣。对于高中生来讲，领悟并应用数形结合的方法是需要一个过程的，教师在渗透时应坚持循序渐进，充分做好铺垫和设计，帮助学生顺利完成从数到形、从形到数的思维转变，通过不断地模仿和尝试，逐渐体会到数形结合的优势并在以后的学习中尝试运用。

如：定义函数f（x）的图像与直线x=a，x=b及x轴所围成的图形面积为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，π]上的面积为

（N∈N*），求y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面积。根据题中定义可得出下图1中阴影部分为函数y=sin（3x-π）+1在[ ]上的面积，根据函数对称性，所求面积既为下图2中阴影部分面积。

图1

图2

图3中阴影部分矩形的面积为：

（ ）×1=π，由已知可得，函数y=sin3x在[0， ]上的面积为 ，则图2阴影部分面积为π+3。

2.对比应用，渗透数形结合思想的价值

数形结合理论并不是通过简单的理论讲解或者几个例题讲述就能够完成教学任务的，需要学生在不断地学习中反思生活并主动建构。学生自己通过不同方法的运用或者对比，可以更为直观地体会到这种方法中蕴含的化繁为简、化抽象为直观的独特之处，从而帮助学生对数形结合思想的认识自然深化。

如：已知（2，y1），（1，y2），（-1，y3），（-2，y4）均是y= 的图象上的点，那么请比较y1和y3的大小。该题中，可以采用代入方法，分别求出各自的函数值，最后做比较，然而遇到自变量数值复杂的情况下，运算量自然加大，因而教师可以先指导学生利用代入法进行计算，然后画出反比例函数y= 的草图，这样学生就会发现，四个点的位置全部非常直观地显示在草图上了，可以比较容易地比较出四个点的大小。学生通过这个例子，能够清楚地看到代入法和数形结合法的不同之处，并更为清晰地认识到数形结合的优势，在以后的学习和解题中会更为积极主动地运用数形结合思想。

3.以形换数，用公式解决问题

在数学中，一些代数式在变形之后往往具有特殊的几何意义，如比值，可以与斜率联系起来；二元一次方程可以联系到直线的截距。这样的代数式就可以运用数形结合进行求解。

如：点P（x，y）是圆（x-2）2+ y2=3上的任意一点，求x-y的最值。假设x-y=b，则b就是x-y的值。x-y=b可变形为y=x-b，则-b就是直线y=x-b在y轴上的截距。如下图所示，b1是x-y的最小值，b2是x-y的最大值。

通过上述解题可以得知，很多代数问题中一般都具有几何背景，在解题的过程中，如果将具有数量关系的代数问题，设计出一个与之相关的几何模型，然后巧妙合理使用几何性质，能够将试题中一些抽象的、复杂的数量问题变得简单，能够理清解题思路或者找出问题的答案。

此外，人的左半脑和右半脑特征不一，其中左半脑主要用于抽象的逻辑思维，而右半脑则用于形象思维，当二者互相补充时人体大脑才会更加健全和发达。在利用数形结合解题时，学生的左半脑和右半脑功能就得到了同时锻炼，也就是说学生的抽象思维能力和形象思维能力获得了同步发展，从而可以帮助学生从不同层次、不同角度、不同方位对问题进行思考，有助于多向思维的养成，也可以提高学生对于数学相关知识的记忆力及理解力，对于学生其他科目的学习也是大有裨益的。

三、结束语

数和形是数学研究中的两个基本对象，数形结合是数学教学中的常用方法，也是最基本的数学思想方法之一。高中数学教师在数学教学中应充分认识到数形结合思想方法的优势，结合学生的特点，在日常教学中不断强化对数形结合思想的认识，让学生在不断地对比应用中更为深刻地体会到数形结合的思想价值，从而帮助学生更好的完成从形到数，从数到形的转化，认识到数学问题的本质，进而推动高中生的抽象思维和形象思维的发展，使他们的思维水平达到一个新的高度。在促进他们学习的基础上，增强他们的记忆力和理解力。

（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）