含阻挫的不对称铁磁梯子自旋模型的量子相图

潘丽华，胡 冰，刘拥军

（扬州大学物理科学与技术学院，江苏 扬州 225002）

含阻挫的不对称铁磁梯子自旋模型的量子相图

潘丽华，胡 冰，刘拥军＊

（扬州大学物理科学与技术学院，江苏 扬州 225002）

采用严格对角化和密度矩阵重整化群方法研究阻挫和对称性对铁磁梯子基态的影响，得到体系在不对称强度参数－阻挫强度参数空间的基态相图.结果表明：在不对称性较强的体系中，随着阻挫强度的增大，系统基态从铁磁相转变为总自旋S≠0的倾斜相、再到总自旋S＝0的反铁磁相；随着不对称强度参数αa的增大，倾斜相存在的阻挫强度参数区间越来越窄；当αa＞0.08时，则不经历倾斜相，直接从铁磁相一阶相变为总自旋S＝0的反铁磁相.

铁磁自旋梯子；密度矩阵重整化群；阻挫效应；基态相图

自旋梯子模型已得到人们的广泛关注，其研究结果不仅丰富了人们对量子态和量子相变的认识，而且随着实验技术的进步，也具有较大的应用价值.在近邻反铁磁作用的两腿梯子模型中，如果不考虑次近邻间相互作用，则体系基态为自旋单态并存在自旋能隙［1－2］；如果次近邻间存在较大的反铁磁阻挫，则系统基态可类似于自旋s＝1的链［3］；而在中等强度的阻挫区间，则存在Columnar－dimer相［4－6］.由此可见，阻挫效应可引起丰富的基态相图.近年来，人们通过实验陆续发现了一些包含边共享的Cu O2链的新材料，如Rb2Cu2Mo3O12［7］，NaCu2O2［8］和 LiCu VO4［9］，这些材料可描述为最近邻自旋间存在铁磁相互作用、而次近邻自旋间存在反铁磁阻挫的s＝1／2自旋链，从而掀起人们对近邻铁磁自旋系统的研究热潮［10－15］.对含次近邻反铁磁阻挫的一维铁磁自旋链的理论研究发现，当反铁磁－铁磁耦合强度比值小于0.25时，系统基态为铁磁态；大于0.25时则转变为自旋单态；在相变点处，两种状态简并［12］.Japaridze等［13］研究了链间反铁磁关联而链内自旋间铁磁耦合的两腿梯子模型，在外加垂直磁场作用下，得到从自旋单态转变为有能隙的条带铁磁相、再到纯铁磁相的量子磁相图.笔者［15］曾经研究了近邻铁磁耦合的梳子模型，发现随着次近邻反铁磁阻挫的增强，基态从铁磁相转变为倾斜相、再转变为反铁磁相；与其不同的是，在铁磁梯子模型中，随着次近邻反铁磁阻挫的增强，基态从铁磁相直接转变为反铁磁相.在本文中，笔者将在此基础上研究两条链上的近邻铁磁耦合强度不相等的不对称梯子模型，重点讨论随着不对称强度和阻挫强度的改变体系将经历怎样的物理过程.

1 研究对象和方法

本文研究对象为含反铁磁阻挫的不对称铁磁梯子模型（见图1），格点自旋s＝1／2，其中一条链（链1）上最近邻格点与链间最近邻格点自旋间存在铁磁耦合相互作用，另一条链（链2）上最近邻格点自旋间则为另一强度的铁磁耦合相互作用，而链间次近邻格点自旋间存在反铁磁阻挫相互作用，模型的哈密顿量可表示为

其中自旋算符s i，j的下标i是链上格点标号，j＝1，2则分别标记两条自旋链；L为链长；J1＜0，J2＜0表示铁磁耦合强度，J×＞0表示反铁磁阻挫的强度.本文固定参数J1＝－1，定义不对称强度参数αa＝｜J2／J1｜，阻挫强度参数αf＝｜J×／J1｜.

图1 含阻挫的两腿不对称铁磁梯子模型Fig.1 Two－leg frustrated asymmetric ferromagnetic spin ladder

在模型（1）中，若J2＝0，则模型退化成文献［15］30所研究的混合梳子模型；若J2＝－1，则为常规的两腿梯子模型.可以推测认为，随着不对称强度αa的改变，系统将呈现有趣的相变行为.

链长较短时，采用严格对角化方法研究阻挫和对称性对体系基态自旋图像的影响；随着系统格点数的增加，则采用密度矩阵重整化群（DMRG）方法［16－17］，保留密度矩阵块的最小维度为M＝320，保证截断误差小于10－7.

本文主要分析在不同不对称强度下，系统基态能、基态能对阻挫的一阶导数以及基态总自旋随反铁磁阻挫强度的变化情况.基态总自旋由S＝s1，1＋s1，2＋s2，1＋s2，2＋ … ＋s L，1＋s L，2定义，满足

S（S＋1）为算符S2的本征值.根据公式（2），可以先将所有格点间的自旋关联函数值求和得到数值C，再解一元二次方程S（S＋1）＝C，即得系统的基态总自旋S.

另外，笔者还计算了系统处于基态时中间位置（i＝L／2）横档上两个自旋格点间的熵.熵定义为

其中ρi1，i2是基态波函数对格点自旋（s i，1，s i，2）的约化密度矩阵.熵可较好地反映系统的量子相变［18－20］.

2 计算结果

2.1 严格对角化方法

利用严格对角化方法，引入周期性边界条件，计算了长度L＝6的不对称梯子系统的基态总自旋（见图2）.从图2（a）可以看出，当αa＝0时，基态从总自旋S＝6的单纯铁磁态依次转变到总自旋S＝5，4，3，2，1，0的量子态（若采用开放性边界条件，则观察不到S＝1的平台［15］32），中间倾斜相的参数区间为0.25＜αf＜0.49.随着不对称强度的减弱，即随αa的增大，0＜S＜6的量子态存在的阻挫参数区间逐渐减小［图2（b）－（e）］.当αa≥0.08时，则如图2（f）所示，随着阻挫的增强，系统基态直接从铁磁态转变为S＝0的态.

2.2 密度矩阵重整化群方法

严格对角化方法只能计算尺寸较小的系统，其计算结果中的量子化平台是由于有限尺寸效应而造成的；随着系统格点数的增大，这些量子化平台将呈现连续变化.本文采用开放边界条件的DMRG方法研究了尺寸较大的系统.图3给出了L＝40的不对称梯子体系基态中每个格点的平均能量［E＝E0／（2L）］对阻挫的一阶导数dE／dαf.当阻挫较小时，基态能量可表示为E0＝0.25（L－1）（2J1－αa＋2αf）＋0.25J1，其一阶导数为一常数.由图3可见，当αf较小时，可得到dE／dαf＝0.243 75的平台；随着不对称强度αa的增大，平台开始下降的临界点αf也逐渐增大.当αa＜0.08时，dE／dαf在中间阻挫区域存在一段连续下降的区间［图3（a）－（c）］；随着αa的增强，中间倾斜相的参数区间越来越窄；而当αa＞0.08时，dE／dαf则经历一次突变［图3（d）－（f）］.

图2 周期边界条件下L＝6的不对称梯子系统基态的严格对角化结果Fig.2 The exact diagonalization calculation results of the L＝6 asymmetric ladder under periodic boundary condition

图3 L＝40的不对称铁磁梯子模型中基态能对阻挫的一阶导数Fig.3 The first derivative of the ground state energy d E／dαf for L＝40 asymmetric ferromagnetic spin ladder

从铁磁相到其他相的临界点比较容易确定，为了更准确地确定倾斜相到反铁磁相的相变点临界值，笔者计算了系统中中间位置横档两个自旋格点间的熵，结果如图4所示.可以发现，随着阻挫强度的改变，整个参数范围分成3个区间.在铁磁相区间，熵值为一固定数值；在S＝0的反铁磁相区间，熵值在某一数值附近随阻挫强度的增大有微小的连续变化；而在中间的倾斜相区域，则呈抛物线型；且在相变点附近，熵值有很明显的临界点变化行为.

图4 L＝40的不对称铁磁梯子模型中中间位置横档上两个格点间的熵Fig.4 The entropy of the two－sites along the middle rung of L＝40 asymmetric ferromagnetic spin ladder

由此可见，L＝40的不对称梯子体系可得图5所示的基态相图，共存在3个相：铁磁相（FM）、倾斜相（canted）、S＝0的反铁磁相.可以发现，倾斜相只存在于不对称性较强的不对称梯子体系.当αa＝0时，倾斜相存在于0.25＜αf＜0.44的中间强度阻挫参数区间；随着不对称强度参数αa的增大，倾斜相存在的阻挫强度参数区间不断变窄；当αa＞0.08时，则不存在倾斜相，基态直接从铁磁态一阶相变为S＝0的反铁磁态.

由已有计算结果可以发现：只有当不对称强度参数αa≤0.08时才存在倾斜相，该临界值αac＝0.08基本不受尺寸效应的影响；从铁磁相转变到倾斜相或反铁磁相的临界点的尺寸效应也不明显；只有从倾斜相转变为反铁磁相的相变点临界值存在一定的尺寸效应；因此，图5所示的相图可以定性地描述为热力学极限下（L→∞）不对称梯子模型在不对称强度参数 －阻挫强度参数（αa－αf）空间的基态相图.

图5 L＝40的不对称铁磁梯子体系在αa－αf 空间的相图Fig.5 Quantum phase diagram of L＝40 asymmetric ferromagnetic spin ladder inαa－αf space

［1］WHITE S R，ROACK R M，SCALAPINO D J.Resonating valence bond theory of coupled Heisenberg chains［J］.Phys Rev Lett，1994，73（6）：886－889.

［2］BARNES T，DAGOTTO E，RIERA J，et al.Excitation spectrum of Heisenberg spin ladders［J］.Phys Rev B，1993，47（6）：3196－3203.

［3］FATH G，LEGEZA O，SOLYOM J.String order in spin liquid phases of spin ladders［J］.Phys Rev B，2001，63（13）：134403：1－5.

［4］STARYKH O A，BALENTS L.Dimerized phase and transitions in a spatially anisotropic square lattice antiferromagnet［J］.Phys Rev Lett，2004，93（12）：127202：1－4.

［5］LIU Guanghua，WANG Hailong，TIAN Guangshan.Existence of dimerized phases in frustrated spin ladder models［J］.Phys Rev B，2008，77（21）：214418：1－8.

［6］HIKIHARA T，STARYKH O A.Phase diagram of the frustrated spin ladder［J］.Phys Rev B，2010，81（6）：064432：1－12.

［7］HASE M，KUROE H，OZAWA K，et al.Magnetic properties of Rb2Cu2Mo3O12including a one－dimensional spin－1／2 Heisenberg system with ferromagnetic first－nearest－neighbor and antiferromagnetic second－nearestneighbor exchange interactions［J］.Phys Rev B，2004，70（10）：104426：1－6.

［8］DRECHSLER S L，RICHTER J，GIPPIUS A A，et al.Helical ground state and weak ferromagnetism in the edge－shared chain cuprate NaCu2O2［J］.Europhys Lett，2006，73（1）：83－89.

［9］ENDERLE M，MUKHERJEE C，FAK B，et al.Quantum helimagnetism of the frustrated spin－1／2 chain LiCu VO4［J］.Europhys Lett，2005，70（2）：237－243.

［10］DMITRIEV D V，KRIVNOV V Ya.Multimagnon bound states in an easy－axis frustrated ferromagnetic spin chain［J］.Phys Rev B，2009，79（5）：054421：1－10.

［11］HEIDRICH－MEISNER F，MCCULLOCH I P，KOLEZHUK A K.Phase diagram of an anisotropic frustrated ferromagnetic spin－1／2 chain in a magnetic field：a density matrix renormalization group study［J］.Phys Rev B，2009，80（14）：144417：1－9.

［12］SIRKER J，KRIVNOV V Y，DMITRIEV D V，et al.J1－J2Heisenberg model at and close to itsz＝4 quantum critical point［J］.Phys Rev B，2011，84（14）：144403：1－8.

［13］JAPARIDZE G I，LANGARI A，MAHDAVIFAR S.Spin ladder with anisotropic ferromagnetic legs in a transverse magnetic field［J］.J Phys：Condens Matter，2007，19（7）：076201：1－10.

［14］李俊英，彭晓亮，潘丽华，等.S＝1铁磁模型中阻挫和各向异性引起的量子相变 ［J］.扬州大学学报：自然科学版，2012，15（2）：29－33.

［15］潘丽华，彭晓亮，李俊英，等.混合梳子模型中反铁磁阻挫引起的量子相变［J］.扬州大学学报：自然科学版，2012，15（3）：30－34.

［16］WHITE S R.Density matrix formulation for quantum renormalization groups［J］.Phys Rev Lett，1992，69（19）：2863－2866.

［17］WHITE S R.Density－matrix algorithms for quantum renormalization groups［J］.Phys Rev B，1993，48（14）：10345－10356.

［18］LEGEZA Ö，SÓLYOM J.Two－site entropy and quantum phase transitions in low－dimensional models［J］.Phys Rev Lett，2006，96（11）：116401：1－4.

［19］WU L A，SARANDY M S，LIDAR D A.Quantum phase transitions and bipartite entanglement［J］.Phys Rev Lett，2004，93（25）：250404：1－4.

［20］DENG Shusa，GU Shijian，LIN Haiqing.Block－block entanglement and quantum phase transitions in the onedimensional extended Hubbard model［J］.Phys Rev B，2006，74（4）：045103：1－7.

Quantum phase diagram of a frustrated asymmetric ferromagnetic spin ladder

PAN Lihua，HU Bing，LIU Yongjun＊

（Sch of Phys Sci ＆Tech，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

By using exact diagonalization method and density matrix renormalization group method，this paper studies the ground states of the two－leg spin－1／2 asymmetric ferromagnetic ladder model，of which the nearest－neighbor interaction is ferromagnetic （FM）and the diagonal next－nearestneighbor interaction is antiferromagnetic（AF）.The author gives the phase diagrams of frustration versus the asymmetric strength.When the ladder is strongly asymmetric，there is a finite intermediate frustration region occupied by the canted state phase between FM and AF phases.The phase boundaries are dependent on the asymmetric strength.On the other hand，when the asymmetric strength is not strong enough，the ground state demonstrates a first order phase transition from ferromagnetism to antiferromagnetism as frustration increasing.

ferromagnetic spin ladder；density matrix renormalization group；effect of frustration；quantum phase diagram

O 413.1

A

1007－824X（2014）01－0021－05

2013－10－21.＊ 联系人，E－mail：yjliu＠yzu.edu.cn.

江苏省科技支撑计划（工业）项目（BE2009106）.

潘丽华，胡冰，刘拥军.含阻挫的不对称铁磁梯子自旋模型的量子相图 ［J］.扬州大学学报：自然科学版，2014，17（1）：21－25.

（责任编辑 时 光）