时间测度链上多时滞变系数的二阶中立型非线性的动态方程

杨甲山

（梧州学院数理系，广西梧州 543002）

时间测度链上多时滞变系数的二阶中立型非线性的动态方程

杨甲山

（梧州学院数理系，广西梧州 543002）

研究了时间测度链上的一类具有多时滞变系数的二阶中立型非线性的泛函动态方程的振荡性质，借助时间测度链上的有关理论和一些分析技巧，得到了该类方程所有解振荡的新准则，并同时得到了该方程所有解的△-导数振荡的充分条件，推广和改进了现有文献中的一些已知结果。

振荡性；时间测度链；泛函动态方程；△-导数；可变时滞

1 前言

讨论时间测度链T上如下形式的具有多时滞变系数的二阶非线性中立型动态方程

这里T是任意时间测度链，且supT＝＋∞.有关时间测度链上的分析理论和时间测度链上动态方程的基本

理论可参考文献[1]。方程（1）的解是指定义在间测度链T上的且满足方程（1）的非平凡实值函数x(t)，t∈T.方程（1）的解x(t)称为振荡的，如果x(t)既不最终为正,也不最终为负。否则，称为非振荡的。方程(1)称为振荡的，如果它的所有解都是振荡的。我们仅关注方程（1）的不最终恒为零的解。

近几年来，时间测度链上动态方程的振荡和非振荡理论引起了人们的极大兴趣和高度重视，见[2-30]。许多文献对方程（1）的特殊情形有过研究，参见[5-16]。为了方便，本文所涉及的不等式（如无特别说明的）均指最终成立，并总假设下列条件成立：

（H1）：a(t)＞0，bi(t)≥0，Pj(t)≥0均为定义在时间测度链区间[a0,+∞)T＝[a0,+∞)∩T上的实值rd连续函数，且函数Pj(t)中至少有一个不最终恒为0，i=1，2，…，r；j=1，2，…，s（下同，略），r，s均为给定的自然数。

我们看到，当T＝R时，则σ(t)＝t，μ(t)＝0且f△(t)＝f'(t)，这是通常的导数，于是，方程（1）就变成具可变时滞的二阶微分方程

当T＝N时，则σ(t)＝t+1，μ(t)＝1且f△(t)＝△f(t)＝f(t+1)-f(t)，这是通常的向前差分，于是，方程（1）就变成具可变时滞的二阶差分方程

本文的目的是研究动态方程（2）的振荡性，得到了该方程的所有解x(t)及其△导数x△(t)振荡的充分条件，统一了相应的微分方程（E1）和差分方程（E2）振荡的有关结论，推广并改进了现有文献中的某些已知结果。

2 主要结果和证明

则方程（1）是振荡的。

证明设方程（1）有一个非振荡解x(t)，不妨设其最终为正(最终为负时类似可证)，则存在t1≥a0，当t≥t1时，x(t)＞0，x(t-mi)＞0，x(t-kj(t))＞0.记

则由（H1）知

所以y△(t)是单调递减的且最终定号，我们可以断定

注2推论4就是文献[10]中的定理2的结论。

由此可见，本文定理完善和发展了时间测度链上动力方程的振荡理论，统一了相应的泛函微分方程（E1）和泛函差分方程（E2）振荡的有关结果，推广了现有文献的结论，从而使得本文定理1和定理2的结果更具有普遍意义。

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（责任编辑：覃华巧）

Certain Second-order Neutral Nonlinear Dynamic Equation with Variable Coeficients and Multi-time Delay on Time Scales

Yang Jiashan
(Department of Mathematics and Physics,Wuzhou University,Wuzhou 543002,China)

Oscillation for a class of second order neutral nonlinear functional dynamic equation with variable coeficients and multi-time delay on time scales is studied in this paper.Using the time scales theory and some necessary analytic techniques,a new oscillation criterion for all solutions of the equation is established.In addition,a sufficient condition of oscillation for all solutions’delta derivative of the equation is proposed.Some existed results in the literatures have been further improved and extended.

Oscillation;Time scales;Functional dynamic equations;△-derivative;Variable delay

O175.7

A

1673-8535(2014)03-0036-06

2014-01-20

湖南省科技厅基金项目(2012FJ3107)；广西教育厅科研项目(2013YB223)