圆周的基本群的一个注记

赵正波

（渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714099）

圆周的基本群的一个注记

赵正波

（渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714099）

文章改进了圆周上道路提升引理的证明，并给出对道路提升求法的改进，该方法有普遍的适用性，可以用此方法求得每一个道路的提升，增强了对圆周的基本群概念的直观认识，把道路提升由存在提升到可求阶段.

拓扑；拓扑群；道路；圆周；基本群

基本群是拓扑空间中一个常见的拓扑性质.用基本群可通过区分拓扑空间的单连通和复连通性来研究拓扑空间的性质.一般的点集拓扑教材如文献［1］等对单连通的概念只是作了介绍，对于基本群的进一步讨论是在代数拓扑中进行［1-2］.在基本群的介绍中首先是关于单连通性的平凡群，再就是最简单的非平凡群整数加群，其对应的最简单的拓扑空间就是圆周.在圆周的基本群讨论中，其核心的工具是道路提升.下面我们通过对道路提升引理的证明进行改进，简化道路提升的求法，并且可以使得一个具体的圆周上的回路的道路提升的求法变得可以操作.

先介绍相关的一些基本概念，对于未介绍的一些拓扑概念，参阅文献［1-3］等，并且由于数理逻辑的发展［4］，我们可以把一些证明的原理和过程用命题化的标准，使得讨论过程更加清晰.

1 圆周的拓扑群

定义1 设（G，·）是一个群，也是一个拓扑空间，并且映射p：G×G→G，p（x，y）=x·y和映射r：G→G，r（x）=x-1都是连续的，其中p是对于任何（x，y）∈G×G；r是对于任意的x∈G，则称（G，·）是一个拓扑群．

例如，实数加群是一个拓扑群．圆周（S1，·）是一个拓扑群．其中运算·为复数的乘法，即对于任何的x =（x1，x2），y=（y1，y2）∈S1，x·y=（x1y1-x2y2，x1y2+x2y1）．

单位元为（1，0）=（cos2kπ，sin2kπ）.

引理1［1］指数映射ex：R→S1，ex（t）=（cos2πt，sin2πt）=ei2πt满足：

（1）映射ex是一个连续满射，并且是从（R，+）到（S1，·）的一个同态；

（2）设t1，t2∈R，则ex（t1）=ex（t2）当且仅当t1-t2∈Z；

2 圆周的道路提升

3 圆周的基本群

圆周上可以由不同的方法构造道路提升，但是它们又是唯一的，文献［1］等中有下面的讨论给予说明.并且由唯一的道路提升可以定义道路的映射度.并由定理3保证基本群是同伦不变量.

从上面的比较可以看出，用分段求圆周的道路提升映射明显比把道路进行压缩使其在一一对应的范围内求道路提升映射更简单和易于操作.对于道路族的提升引理的证明过程中道路提升映射的构造也有类似的方法，改进圆周的基本群的讨论中的关键提升映射的构造，从理论的证明和实际可操作的构造都大大的简化.

［1］熊金城.点集拓扑讲义［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］尤承业.基础拓扑讲义［M］.北京：北京大学出版社，1997.

［3］梁基华，蒋继光.拓扑学基础［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［4］王国俊.数理逻辑引论与归结原理［M］.第2版.北京：科学出版社，2006.

【责任编辑 牛怀岗】

Note to the Fundamental Group of Circle

ZHAO Zheng-bo
（School of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714099，China）

It has improved the proof of the lifting lemma of path on circle，by giving some examples of path on circle，which strengthening the comprehension of fundamental group directly.It has also given out the calculus methods of a fundamental group.

topology；topological group；path；circle；fundamental group

O189.1

A

1009-5128（2014）19-0014-03

2014-07-03

陕西省重点扶持学科数学学科基金资助项目：模糊谓词演算系统的研究（14SXZD006）；渭南师范学院研究生专项科研项目：参数Kleene逻辑系统研究（08YKZ033）

赵正波（1966—），男，陕西华县人，渭南师范学院数学与信息科学学院讲师，理学硕士，主要从事非经典逻辑研究.