草图法是解决“鸡兔同笼”问题的捷径

詹素芳

鸡兔同笼是北师大版五年级上册第80～81页的内容，解决鸡兔同笼的方法很多，教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要不是为了解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表。在后面相应的练习中，相关的题目也都附上了草图表格，能够让学生较好地运用这种基本的解题策略。

一、草图引入，建立初步概念

师：请同学们看多媒体，一起读一读今天这节课我们学习什么内容。（板书课题：“鸡兔同笼”）

师：想一想，课题是“鸡兔同笼”，说明今天所学习的问题一定跟什么和什么有关？

生1：跟鸡和兔有关。

师：老师这里有一个与鸡、兔有关的问题，大家想不想看一下呢？

多媒体出示题目：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头。

师：你们觉得这道题完整吗？还差什么呢？

生2：不完整，还差问题。

师：现在老师再给你们一个问题——“鸡和兔各有多少只”，那你认为鸡和兔会各有多少只呢？

师：还有其他的可能性吗？把所有的可能性在小组内说一说。

二、草图列表，发现规律

1.列表法

师：为了直观地表示出鸡和兔可能有的只数，你们认为应该画一个什么来表示呢？

生3：画一个表格。

师（出示表格）：为了能在排列的时候不重复、不遗漏，你们觉得在排列的时候不仅要考虑到鸡和兔一共有8只，还要注意什么？

生4：有序排列。观察一下刚才填好的表格（如下），你能从中找到本题的答案吗？

师：现在老师再给你们一个条件——“从下面数有26条腿”，你们又能想到什么呢？

师：说明这道题不仅和鸡、兔的只数有关，还和它们腿的条数有关，所以在排列时还应该列出每种情况下它们一共有多少条腿。

师：小组合作完成下面的表格。

师：说一说，第一个空应该填一共有多少条腿，为什么？

生5：第一个空应该填16，因为每只鸡有2条腿，所以一共有8×2=16（条）腿。

生6：第二个空应该填18，因为每只鸡有2条腿，每只兔子有4条腿，所以一共有7×2+1×4=18（条）腿。

……

师：观察你们填好的表格，又发现了什么？

师：像这样，采用列表的方法，不重复、不遗漏地写出所有可能的答案，这种逐一列举的方法在数学中称为列表法。

师：如果鸡和兔一共有一百多只，它们的腿一共有几百条的时候，你们认为用列表法能找出答案吗？同时，你觉得用列表法解决数据较大的问题时会如何？

生7：能找出答案，但是数据较大时比较麻烦。

师：现在我们根据上述题目就来探讨有没有其他的解题方法。

三、草图假设，减少复杂

师：为了能够找到更快捷的解决方法，首先思考一下，上面表格中的8和0是什么意思？

生8：就是有8只鸡和0只兔。

师：那我们现在就假设笼子里面全是鸡，笼子里一共有8×2=16（条）腿，而实际上有26条腿，这样笼子里就少了26-16=10（条）腿，这说明什么？

生9：说明笼子里不可能全是鸡。

师：假设算出的结果和实际的结果相差10条腿，说明这10条腿是受什么的影响？

生：兔。

师：刚才我们在表格里面观察到，兔的只数每减少1只，鸡的只数每增加1只，它们一共的腿数就会减少几条？

生10：2条。

师：也就是说，这10里面有几个2，就把几只兔当成鸡算。那到底是几只兔呢？

生11：应该是5只兔，因为10÷2=5。

（上接第22页）

师：知道兔子的只数，那鸡的只数又应该怎样求呢？

生12：鸡的只数为8-5=3（只）。

师：哪位同学能大胆地到黑板上板书一下过程，并把你的思路口述给大家听呢？

师：如果假设全是兔，又应该怎么算呢？请大家动手试一试。

四、巩固草图，学以致用

出示题目：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？

师：用你喜欢的方法完成本题，并在小组内汇报你的答案和解题思路。

五、回顾草图，反思提升

师：本节课我们学了哪些知识？你还有什么疑问？

五、课后思考，拓展延伸

出示题目：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿。鸡和兔各有几只？

师：你能用方程解或其他方法解决这类问题吗？课后动手试试。

六、草图运用，作业提升

（1）52名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各几只？

（2）100个和尚吃了100个面包，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少人？

师：收集一下，还有什么方法可以解决“鸡兔同笼”的问题？

……

【课后反思】

通过对这节课的6个环节的实践，我获得了如下的启示：

一、怎样进行草图操作，是真正充分展示学生的思维过程

《新标》指出：课堂教学要充分暴露学生的思维。此是众所周知的，那是不是如第二次试教那样：从探讨最差的开始，先展示只有1种的，再展示2种的……就是充分地暴露了学生的思维过程了呢？答案是否定的。关键在于我要想方设法用草图主动地展示学生的思维历程。展示学生的思维过程并不是必须将学生的思维动态、思维结果一览无余地陈列在他人面前，更确切的就是让学生能主动地经历从不完善到完善的思维过程，这样才实现由形式地展示学生的思维过程到实质地经历。本节课主要着眼于学生能力的培养，通过创设自主学习的空间，引导学生通过课前自学、课上思考、讨论合作、交流汇报等活动，了解“鸡兔同笼”问题，体验和感受古代数学问题的趣味性，从而激发学生对数学学习的兴趣。

二、怎样步步紧扣，才能充分发激发学生的思维动力

草图的设置是指向的主体应是思考者（学生）本身，只有这样，学生才会积极去思考，才能充分激发学生的思维动力。同时，问题的措词要注意技巧性，符合学生的认知特点和心理特点。同样为了引发学生类比他人的优点寻找自己的问题所在，试想，如问：你觉得你哪些方面做得不够？问题直接指向去寻找学生本人的短处，我想学生思考的积极性就会大大降低，而改为问：比较你的想法和他的想法，你有什么想法？问题的开口度较大，学生既可以反思自己的不够，努力的方向，及自己的所思所得。他们想的不是自己的不够之处，而是自己的一种感悟和启发，思维的深度是前者远远所不及的。

三、通过草图引导学生感受数学的魅力与价值

本节课为了让学生进一步感受到我国古代数学的魅力，课尾有意设计具有趣味性、生活性的题目，使学生体会到此类问题在现实中的广泛存在，进而彰显了本节课的学习价值。从无意猜想到草图法的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻的过程，这不仅是一种有关教与学的探讨，更像是思想上的一场无声细雨，浸润人的心灵。

作为教师，面对一个个鲜活的生命，我们的教学不能遵循固定、没有激情的程序，而要实现师生互动、心灵之间的对话，唤醒学生智慧的生命体验。让我们的课堂，涌动生命的激情、闪烁智慧的火花、延伸成长的足迹！

（作者单位：浙江省开化县华埠镇中心小学）

鸡兔同笼是北师大版五年级上册第80～81页的内容，解决鸡兔同笼的方法很多，教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要不是为了解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表。在后面相应的练习中，相关的题目也都附上了草图表格，能够让学生较好地运用这种基本的解题策略。

一、草图引入，建立初步概念

师：请同学们看多媒体，一起读一读今天这节课我们学习什么内容。（板书课题：“鸡兔同笼”）

师：想一想，课题是“鸡兔同笼”，说明今天所学习的问题一定跟什么和什么有关？

生1：跟鸡和兔有关。

师：老师这里有一个与鸡、兔有关的问题，大家想不想看一下呢？

多媒体出示题目：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头。

师：你们觉得这道题完整吗？还差什么呢？

生2：不完整，还差问题。

师：现在老师再给你们一个问题——“鸡和兔各有多少只”，那你认为鸡和兔会各有多少只呢？

师：还有其他的可能性吗？把所有的可能性在小组内说一说。

二、草图列表，发现规律

1.列表法

师：为了直观地表示出鸡和兔可能有的只数，你们认为应该画一个什么来表示呢？

生3：画一个表格。

师（出示表格）：为了能在排列的时候不重复、不遗漏，你们觉得在排列的时候不仅要考虑到鸡和兔一共有8只，还要注意什么？

生4：有序排列。观察一下刚才填好的表格（如下），你能从中找到本题的答案吗？

师：现在老师再给你们一个条件——“从下面数有26条腿”，你们又能想到什么呢？

师：说明这道题不仅和鸡、兔的只数有关，还和它们腿的条数有关，所以在排列时还应该列出每种情况下它们一共有多少条腿。

师：小组合作完成下面的表格。

师：说一说，第一个空应该填一共有多少条腿，为什么？

生5：第一个空应该填16，因为每只鸡有2条腿，所以一共有8×2=16（条）腿。

生6：第二个空应该填18，因为每只鸡有2条腿，每只兔子有4条腿，所以一共有7×2+1×4=18（条）腿。

……

师：观察你们填好的表格，又发现了什么？

师：像这样，采用列表的方法，不重复、不遗漏地写出所有可能的答案，这种逐一列举的方法在数学中称为列表法。

师：如果鸡和兔一共有一百多只，它们的腿一共有几百条的时候，你们认为用列表法能找出答案吗？同时，你觉得用列表法解决数据较大的问题时会如何？

生7：能找出答案，但是数据较大时比较麻烦。

师：现在我们根据上述题目就来探讨有没有其他的解题方法。

三、草图假设，减少复杂

师：为了能够找到更快捷的解决方法，首先思考一下，上面表格中的8和0是什么意思？

生8：就是有8只鸡和0只兔。

师：那我们现在就假设笼子里面全是鸡，笼子里一共有8×2=16（条）腿，而实际上有26条腿，这样笼子里就少了26-16=10（条）腿，这说明什么？

生9：说明笼子里不可能全是鸡。

师：假设算出的结果和实际的结果相差10条腿，说明这10条腿是受什么的影响？

生：兔。

师：刚才我们在表格里面观察到，兔的只数每减少1只，鸡的只数每增加1只，它们一共的腿数就会减少几条？

生10：2条。

师：也就是说，这10里面有几个2，就把几只兔当成鸡算。那到底是几只兔呢？

生11：应该是5只兔，因为10÷2=5。

（上接第22页）

师：知道兔子的只数，那鸡的只数又应该怎样求呢？

生12：鸡的只数为8-5=3（只）。

师：哪位同学能大胆地到黑板上板书一下过程，并把你的思路口述给大家听呢？

师：如果假设全是兔，又应该怎么算呢？请大家动手试一试。

四、巩固草图，学以致用

出示题目：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？

师：用你喜欢的方法完成本题，并在小组内汇报你的答案和解题思路。

五、回顾草图，反思提升

师：本节课我们学了哪些知识？你还有什么疑问？

五、课后思考，拓展延伸

出示题目：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿。鸡和兔各有几只？

师：你能用方程解或其他方法解决这类问题吗？课后动手试试。

六、草图运用，作业提升

（1）52名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各几只？

（2）100个和尚吃了100个面包，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少人？

师：收集一下，还有什么方法可以解决“鸡兔同笼”的问题？

……

【课后反思】

通过对这节课的6个环节的实践，我获得了如下的启示：

一、怎样进行草图操作，是真正充分展示学生的思维过程

《新标》指出：课堂教学要充分暴露学生的思维。此是众所周知的，那是不是如第二次试教那样：从探讨最差的开始，先展示只有1种的，再展示2种的……就是充分地暴露了学生的思维过程了呢？答案是否定的。关键在于我要想方设法用草图主动地展示学生的思维历程。展示学生的思维过程并不是必须将学生的思维动态、思维结果一览无余地陈列在他人面前，更确切的就是让学生能主动地经历从不完善到完善的思维过程，这样才实现由形式地展示学生的思维过程到实质地经历。本节课主要着眼于学生能力的培养，通过创设自主学习的空间，引导学生通过课前自学、课上思考、讨论合作、交流汇报等活动，了解“鸡兔同笼”问题，体验和感受古代数学问题的趣味性，从而激发学生对数学学习的兴趣。

二、怎样步步紧扣，才能充分发激发学生的思维动力

草图的设置是指向的主体应是思考者（学生）本身，只有这样，学生才会积极去思考，才能充分激发学生的思维动力。同时，问题的措词要注意技巧性，符合学生的认知特点和心理特点。同样为了引发学生类比他人的优点寻找自己的问题所在，试想，如问：你觉得你哪些方面做得不够？问题直接指向去寻找学生本人的短处，我想学生思考的积极性就会大大降低，而改为问：比较你的想法和他的想法，你有什么想法？问题的开口度较大，学生既可以反思自己的不够，努力的方向，及自己的所思所得。他们想的不是自己的不够之处，而是自己的一种感悟和启发，思维的深度是前者远远所不及的。

三、通过草图引导学生感受数学的魅力与价值

本节课为了让学生进一步感受到我国古代数学的魅力，课尾有意设计具有趣味性、生活性的题目，使学生体会到此类问题在现实中的广泛存在，进而彰显了本节课的学习价值。从无意猜想到草图法的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻的过程，这不仅是一种有关教与学的探讨，更像是思想上的一场无声细雨，浸润人的心灵。

作为教师，面对一个个鲜活的生命，我们的教学不能遵循固定、没有激情的程序，而要实现师生互动、心灵之间的对话，唤醒学生智慧的生命体验。让我们的课堂，涌动生命的激情、闪烁智慧的火花、延伸成长的足迹！

（作者单位：浙江省开化县华埠镇中心小学）

鸡兔同笼是北师大版五年级上册第80～81页的内容，解决鸡兔同笼的方法很多，教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要不是为了解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表。在后面相应的练习中，相关的题目也都附上了草图表格，能够让学生较好地运用这种基本的解题策略。

一、草图引入，建立初步概念

师：请同学们看多媒体，一起读一读今天这节课我们学习什么内容。（板书课题：“鸡兔同笼”）

师：想一想，课题是“鸡兔同笼”，说明今天所学习的问题一定跟什么和什么有关？

生1：跟鸡和兔有关。

师：老师这里有一个与鸡、兔有关的问题，大家想不想看一下呢？

多媒体出示题目：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头。

师：你们觉得这道题完整吗？还差什么呢？

生2：不完整，还差问题。

师：现在老师再给你们一个问题——“鸡和兔各有多少只”，那你认为鸡和兔会各有多少只呢？

师：还有其他的可能性吗？把所有的可能性在小组内说一说。

二、草图列表，发现规律

1.列表法

师：为了直观地表示出鸡和兔可能有的只数，你们认为应该画一个什么来表示呢？

生3：画一个表格。

师（出示表格）：为了能在排列的时候不重复、不遗漏，你们觉得在排列的时候不仅要考虑到鸡和兔一共有8只，还要注意什么？

生4：有序排列。观察一下刚才填好的表格（如下），你能从中找到本题的答案吗？

师：现在老师再给你们一个条件——“从下面数有26条腿”，你们又能想到什么呢？

师：说明这道题不仅和鸡、兔的只数有关，还和它们腿的条数有关，所以在排列时还应该列出每种情况下它们一共有多少条腿。

师：小组合作完成下面的表格。

师：说一说，第一个空应该填一共有多少条腿，为什么？

生5：第一个空应该填16，因为每只鸡有2条腿，所以一共有8×2=16（条）腿。

生6：第二个空应该填18，因为每只鸡有2条腿，每只兔子有4条腿，所以一共有7×2+1×4=18（条）腿。

……

师：观察你们填好的表格，又发现了什么？

师：像这样，采用列表的方法，不重复、不遗漏地写出所有可能的答案，这种逐一列举的方法在数学中称为列表法。

师：如果鸡和兔一共有一百多只，它们的腿一共有几百条的时候，你们认为用列表法能找出答案吗？同时，你觉得用列表法解决数据较大的问题时会如何？

生7：能找出答案，但是数据较大时比较麻烦。

师：现在我们根据上述题目就来探讨有没有其他的解题方法。

三、草图假设，减少复杂

师：为了能够找到更快捷的解决方法，首先思考一下，上面表格中的8和0是什么意思？

生8：就是有8只鸡和0只兔。

师：那我们现在就假设笼子里面全是鸡，笼子里一共有8×2=16（条）腿，而实际上有26条腿，这样笼子里就少了26-16=10（条）腿，这说明什么？

生9：说明笼子里不可能全是鸡。

师：假设算出的结果和实际的结果相差10条腿，说明这10条腿是受什么的影响？

生：兔。

师：刚才我们在表格里面观察到，兔的只数每减少1只，鸡的只数每增加1只，它们一共的腿数就会减少几条？

生10：2条。

师：也就是说，这10里面有几个2，就把几只兔当成鸡算。那到底是几只兔呢？

生11：应该是5只兔，因为10÷2=5。

（上接第22页）

师：知道兔子的只数，那鸡的只数又应该怎样求呢？

生12：鸡的只数为8-5=3（只）。

师：哪位同学能大胆地到黑板上板书一下过程，并把你的思路口述给大家听呢？

师：如果假设全是兔，又应该怎么算呢？请大家动手试一试。

四、巩固草图，学以致用

出示题目：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？

师：用你喜欢的方法完成本题，并在小组内汇报你的答案和解题思路。

五、回顾草图，反思提升

师：本节课我们学了哪些知识？你还有什么疑问？

五、课后思考，拓展延伸

出示题目：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿。鸡和兔各有几只？

师：你能用方程解或其他方法解决这类问题吗？课后动手试试。

六、草图运用，作业提升

（1）52名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各几只？

（2）100个和尚吃了100个面包，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少人？

师：收集一下，还有什么方法可以解决“鸡兔同笼”的问题？

……

【课后反思】

通过对这节课的6个环节的实践，我获得了如下的启示：

一、怎样进行草图操作，是真正充分展示学生的思维过程

《新标》指出：课堂教学要充分暴露学生的思维。此是众所周知的，那是不是如第二次试教那样：从探讨最差的开始，先展示只有1种的，再展示2种的……就是充分地暴露了学生的思维过程了呢？答案是否定的。关键在于我要想方设法用草图主动地展示学生的思维历程。展示学生的思维过程并不是必须将学生的思维动态、思维结果一览无余地陈列在他人面前，更确切的就是让学生能主动地经历从不完善到完善的思维过程，这样才实现由形式地展示学生的思维过程到实质地经历。本节课主要着眼于学生能力的培养，通过创设自主学习的空间，引导学生通过课前自学、课上思考、讨论合作、交流汇报等活动，了解“鸡兔同笼”问题，体验和感受古代数学问题的趣味性，从而激发学生对数学学习的兴趣。

二、怎样步步紧扣，才能充分发激发学生的思维动力

草图的设置是指向的主体应是思考者（学生）本身，只有这样，学生才会积极去思考，才能充分激发学生的思维动力。同时，问题的措词要注意技巧性，符合学生的认知特点和心理特点。同样为了引发学生类比他人的优点寻找自己的问题所在，试想，如问：你觉得你哪些方面做得不够？问题直接指向去寻找学生本人的短处，我想学生思考的积极性就会大大降低，而改为问：比较你的想法和他的想法，你有什么想法？问题的开口度较大，学生既可以反思自己的不够，努力的方向，及自己的所思所得。他们想的不是自己的不够之处，而是自己的一种感悟和启发，思维的深度是前者远远所不及的。

三、通过草图引导学生感受数学的魅力与价值

本节课为了让学生进一步感受到我国古代数学的魅力，课尾有意设计具有趣味性、生活性的题目，使学生体会到此类问题在现实中的广泛存在，进而彰显了本节课的学习价值。从无意猜想到草图法的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻的过程，这不仅是一种有关教与学的探讨，更像是思想上的一场无声细雨，浸润人的心灵。

作为教师，面对一个个鲜活的生命，我们的教学不能遵循固定、没有激情的程序，而要实现师生互动、心灵之间的对话，唤醒学生智慧的生命体验。让我们的课堂，涌动生命的激情、闪烁智慧的火花、延伸成长的足迹！

（作者单位：浙江省开化县华埠镇中心小学）