关注起点合理操作构建表象

孙洁　周兴苗

《面积单位》的教学旨在结合实例体会并认识面积单位——平方厘米、平方分米和平方米，并构建这三个常用面积单位的表象。为了解学生的学习起点，引领学生更有效地开展学习活动，教学前我对学生进行了前测，并以此为依据指导学生进行相关的学习活动。

一、教学前测

（一）前测方式和对象

本次前测以访谈为主要形式进行，前测人数50人。

（二）前测内容和结果汇总

1.你对学习“面积单位”有兴趣吗？你有信心学好吗？

2.你知道哪些面积单位？是怎么知道的？

3.平方厘米有多大？请你画图或举例说明。

（三）前测分析

基础知识起点：前测中约74%的学生了解平方米，约32%的学生了解平方分米，约46%的学生了解平方厘米。其中约12%的学生能较正确地用画正方形的方式表示出1平方厘米的大小，约20%的学生能结合实例描述1平方厘米的大小。

基本技能起点：约24%的学生能想到通过画图来表示1平方厘米。

基本思想起点：约24%的学生能运用数形结合的数学思想，用画图的方法来表示1平方厘米，其中12%的学生画得基本正确。

基本活动经验起点：学生积累了用小正方形铺一铺度量面积大小的活动经验。约20%的学生积累了结合手指甲、键盘按键的一个面、田字格一个格子的大小来描述1平方厘米的生活经验。

情感态度起点：大部分学生具备一定的独立思考能力，78%的学生学习这一内容兴趣浓厚；84%的学生学习这一内容有强烈的自信心。

二、教学对策

前测中反映出学生对平方厘米、平方分米、平方米这三个面积单位有所了解，知道这些单位的名称，但是对这三个面积单位的实际大小缺乏一定的经验，结合前测分析，教学时考虑以下对策：

1.创设丰富的数学活动，引导学生采用多种感官参与说、画、找、涂、估等操作活动，让不同层次的学生获得不同的体验，体会并认识平方厘米、平方分米、平方米三个面积单位。

2.强化操作，重点建立1平方厘米的表象。结合点、线、面之间的联系，引导出1平方厘米的概念，经历“说一说”“画一画”“找一找”“估一估”“测一测”等数学活动，帮助学生认识1平方厘米，并在大脑皮层中留下1平方厘米的表象。

3.加强估测，引导学生把“估”与“测”结合起来，使学生能用“脑中的面积单位”去估测物体表面或平面图形的面积，有效构建面积单位的表象。

三、教学感悟

（一）经历有效的操作活动，构建面积单位的表象

范希尔理论指出本学段的学生几何思维水平还停留在“直观水平——整体地认识几何对象”层次，这一阶段是“学习者依据几何图形的外表来认识、命名、比较和画出这些图形”。因此，课堂上在认识1平方厘米时，我安排了如下操作活动：

1.画一画。借助尺子在练习纸上来画一个这样的1平方厘米的正方形。

2.涂一涂。用铅笔把你画的1平方厘米涂一涂，边涂边记住它的大小。

3.找一找。生活中哪些物体的一个面大约也是1平方厘米呢？大家找一找。

（1）学生自由找一找；

（2）借助教师提供的物品找一找；（1立方厘米的正方体、骰子、语文方格本簿等。）

4.画一画。不借助任何工具，画一个大约是1平方厘米的正方形。

前测中反映有46%的学生知道1平方厘米，但是只有12%的学生能大致画出，有28%的学生能结合生活举出实例，还有60%的学生缺乏1平方厘米的表象，表明部分学生虽然知道面积单位的名称，但是缺乏抽象的1平方厘米的表象。正如波利亚所指出的“抽象的道理是重要，但要用一切办法使它们看得见、摸得着。”，因而教学时要让学生经历“画一画”“涂一涂”“找一找”“画一画”等操作活动，把抽象的1平方厘米物化出来，从而建立1平方厘米的表象。同样在学生认识“1平方分米”“1平方米”时也设计了类似的操作活动，让学生在‘做数学的过程中自主体验知识的形成过程，逐步在学生的大脑皮层中留下面积单位的表象。

（二）重视学法的有效指导，提高学生的学习能力

从前测中发现46%的学生知道1平方厘米，但什么是1平方厘米，学生难以描述，1平方厘米的表象更是欠缺。因此，教学伊始，借助学生已有的长度单位知识，从点、线、面之间的动态演变引导出1平方厘米的概念，具体环节如下：

揭示概念：

师：这是一个点，把它向右移动1厘米，形成一条1厘米长的线段，再从这个点的起始位置出发向上移动1厘米，也形成一条1厘米长的线段。

师：看到这两条线段，如果再添一些线段你可以画出什么图形？

生1：画一个三角形。

生2：画一个四边形。

生3：画一个正方形。

师：画一个正方形，那这是一个怎样的正方形呢？

生：是一个边长是1厘米的正方形。

师：我们只要再画出两条1厘米的线段，就可以围成一个边长1厘米的正方形。（教师边说边补充线段）

师：老师手中就有一个边长是1厘米的正方形（贴在黑板上）， 下面请你从学习袋中找出来这样的正方形，拿在手上看一看。（学生操作）

师：像这样，边长是1厘米的正方形，它的面积就是1平方厘米。（板书）

师：请你看着手中的正方形，自己说说什么是1平方厘米？

师：请你来说一说（指名说），你也来说一说（指名说），我们一起来读一读。

这样的设计，尊重了学生的学习起点（已经具有一维的空间观念）和认知规律（先具体再抽象），也遵循了数学知识的内在逻辑关系，使得学生的空间观念从一维空间向二维空间提升。在学生理解1平方厘米的概念并初步形成1平方厘米的表象后，设计了如下教学环节：（找一找）endprint

师：我们现在知道了1平方厘米有这么大，那么生活中哪些物体的一个面的面积大约也是1平方厘米呢？

生1：大拇指指甲的一个面的面积，大约是1平方厘米。

生2：电脑键盘一个键的一个面的面积，大约是1平方厘米。

生3：魔方上的一个小正方形的面积，大约是1平方厘米。

师：大家观察得很仔细，老师也为你们准备了一些物品，请打开信封，我们一起来找一找，哪些物品的一个面也是1平方厘米。（信封放置：1立方厘米的正方体、骰子、语文方格本簿等）

（1）学生找一找；（2）同桌交流验证；（3）全班汇报小结。

师：生活中有许多物体一个面的面积大约是1平方厘米，我们可以借助这些物体来记住1平方厘米。

前测中发现，有28%的学生能结合实例描述1平方厘米，而这些实例又源于学生实际的生活情境，因此，课堂上在学生初步建立1平方厘米的表象后，指导学生去提取脑海中存储的生活经验，找一找生活中哪些物体的一个面大约是1平方厘米，有利于学生进一步巩固1平方厘米的表象。第二次学生结合教师提供的学具再次找一找，前测中发现学生比较熟悉的情境是“手指甲、键盘一个按键的一个面、骰子的一个面、田字格的一个格子等”，因此，根据前测情况确定了学具的选择。通过这样一系列的操作体验，学生的思维潜能得到充分释放，当学生直观感悟到小正方体的一个面的面积是1平方厘米，骰子一个面的面积比1平方厘米小，语文方格本一个格子面积比1平方厘米大时，达到了能对1平方厘米“物化”的水平，也就是形式化阶段，1平方厘米表象得到了进一步的巩固。

在学生认识了1平方厘米，并通过操作初步构建了1平方厘米的表象后，教师及时进行学法的小结，具体环节如下：

师：我们认识了1平方厘米，请你回忆一下，我们刚才是怎么认识1平方厘米的？

生1：先把边长1厘米的正方形画出来，然后通过涂一涂、找一找，又画一画，记住了它的大小。（教师适时板书：涂，找，画）

生2：我们还学习了可以用1平方厘米估计其他图形或者物体表面的面积。

师：说得真好，大家不仅认识了1平方厘米，还掌握了学习1平方厘米的方法，那就让我们用这样的方法继续来学习1平方分米吧！

这样的学法小结不但再次回顾了数学知识，而且让学生体验到了学习面积单位的方法，提高了学生的学习能力，激发了学生学习的兴趣和信心，有利于学生进行数学知识的探索。

（三）关注活动经验的积累，发展学生的空间观念

《义务教育数学课程标准解读》指出：生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。在学生经历“画一画”“涂一涂”“找一找”，再“画一画”等操作活动，积累一定的关于1平方厘米的活动经验后，我安排如下教学环节：（估一估，测一测）

师：1平方厘米我们都记在脑海中啦，下面请大家看作业纸的第1题，估一估左边1号长方形的面积大约是多少平方厘米？你是怎么估的？

师：请这个同学来说说，你是怎么想的？（展台展示学生作品）

生1：我用我的指甲比划了一下，大约是4个，长方形的面积大约是4平方厘米。

生2：我觉得一个一个地可以摆4个1平方厘米（学生分割成4个小正方形），所以，它的面积是4平方厘米。

生3：我先想1平方厘米有多大，这个长方形大约是4个1平方厘米，所以，面积是4平方厘米。

师：大家都想到了用1平方厘米作为标准，估出长方形的面积是4平方厘米，那么我们来验证一下到底是多少。同桌合作摆一摆，可以摆多少个1平方厘米。

师：通过测量，1号长方形上正好摆了4个1平方厘米，它的面积就是4平方厘米。现在来看右边的2号长方形，你能估出它的面积吗？你是怎么估的？

生1：2号图形一行也可以铺4个，这样的可以铺3行，一共铺了12个1平方厘米，面积是12平方厘米。

生2：我估计2号长方形可以分割成3个1号那样的长方形，那它的面积就是12平方厘米。

师：这个长方形的面积到底是多少呢，我们还需要通过测量才能知道，请拿出1平方厘米的正方形，请大家测一测。

……

前测中反映有48%的学生知道可以用小正方形去测量面积，其实，这个留在学生脑海中的小正方形就是1平方厘米的原型。因此，教学中设计了估一估、测一测的学习活动，不但巩固了1平方厘米的表象，更让学生逐步积累了长边上的单位个数乘以宽边上的单位个数等于面积总个数的经验，为研究长方形的面积计算做好铺垫。

上述教学环节中，反馈估计第一个长方形的面积时得出不同的结论，学生在构建1平方厘米的表象时，他们的思维方式不尽相同，学生积累的数学活动经验也是不一样的：有的学生用画格子的方式去估，则经验层次处于“形成表象”阶段；有的学生用“大拇指的拇指”去估，则经验层次处于“形式化”阶段；有的学生用“脑中的1平方厘米”去估，则经验层次已达到了“组织结构”阶段。第二次估右边长方形的面积，学生的思维得到有效的提升，活动经验更加丰富，不但能用上面第一次估积累的活动经验，而且用到了分析和推理的方法：“我估计2号长方形可以分割成3个1号那样的长方形，1号长方形面积是4平方厘米，那它的面积就是12平方厘米。”多么精彩的发言，学生不但进一步巩固了1平方厘米的表象，更在活动中积累了这样分析和推理的经验，发展了学生的空间观念。

通过《面积单位》的教学，体会到只有抓住了面积单位教学的核心——建立面积单位的表象，才能有效发展学生的空间观念。同时，教学设计要尊重学生的学习起点，结合具体的操作活动进行“空间与图形”的知识教学，这样既符合“空间与图形”知识的特点，又能满足学生的认知需要，还能培养学生学习数学的兴趣。

（作者单位 浙江省余姚市实验学校）endprint

师：我们现在知道了1平方厘米有这么大，那么生活中哪些物体的一个面的面积大约也是1平方厘米呢？

生1：大拇指指甲的一个面的面积，大约是1平方厘米。

生2：电脑键盘一个键的一个面的面积，大约是1平方厘米。

生3：魔方上的一个小正方形的面积，大约是1平方厘米。

师：大家观察得很仔细，老师也为你们准备了一些物品，请打开信封，我们一起来找一找，哪些物品的一个面也是1平方厘米。（信封放置：1立方厘米的正方体、骰子、语文方格本簿等）

（1）学生找一找；（2）同桌交流验证；（3）全班汇报小结。

师：生活中有许多物体一个面的面积大约是1平方厘米，我们可以借助这些物体来记住1平方厘米。

前测中发现，有28%的学生能结合实例描述1平方厘米，而这些实例又源于学生实际的生活情境，因此，课堂上在学生初步建立1平方厘米的表象后，指导学生去提取脑海中存储的生活经验，找一找生活中哪些物体的一个面大约是1平方厘米，有利于学生进一步巩固1平方厘米的表象。第二次学生结合教师提供的学具再次找一找，前测中发现学生比较熟悉的情境是“手指甲、键盘一个按键的一个面、骰子的一个面、田字格的一个格子等”，因此，根据前测情况确定了学具的选择。通过这样一系列的操作体验，学生的思维潜能得到充分释放，当学生直观感悟到小正方体的一个面的面积是1平方厘米，骰子一个面的面积比1平方厘米小，语文方格本一个格子面积比1平方厘米大时，达到了能对1平方厘米“物化”的水平，也就是形式化阶段，1平方厘米表象得到了进一步的巩固。

在学生认识了1平方厘米，并通过操作初步构建了1平方厘米的表象后，教师及时进行学法的小结，具体环节如下：

师：我们认识了1平方厘米，请你回忆一下，我们刚才是怎么认识1平方厘米的？

生1：先把边长1厘米的正方形画出来，然后通过涂一涂、找一找，又画一画，记住了它的大小。（教师适时板书：涂，找，画）

生2：我们还学习了可以用1平方厘米估计其他图形或者物体表面的面积。

师：说得真好，大家不仅认识了1平方厘米，还掌握了学习1平方厘米的方法，那就让我们用这样的方法继续来学习1平方分米吧！

这样的学法小结不但再次回顾了数学知识，而且让学生体验到了学习面积单位的方法，提高了学生的学习能力，激发了学生学习的兴趣和信心，有利于学生进行数学知识的探索。

（三）关注活动经验的积累，发展学生的空间观念

《义务教育数学课程标准解读》指出：生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。在学生经历“画一画”“涂一涂”“找一找”，再“画一画”等操作活动，积累一定的关于1平方厘米的活动经验后，我安排如下教学环节：（估一估，测一测）

师：1平方厘米我们都记在脑海中啦，下面请大家看作业纸的第1题，估一估左边1号长方形的面积大约是多少平方厘米？你是怎么估的？

师：请这个同学来说说，你是怎么想的？（展台展示学生作品）

生1：我用我的指甲比划了一下，大约是4个，长方形的面积大约是4平方厘米。

生2：我觉得一个一个地可以摆4个1平方厘米（学生分割成4个小正方形），所以，它的面积是4平方厘米。

生3：我先想1平方厘米有多大，这个长方形大约是4个1平方厘米，所以，面积是4平方厘米。

师：大家都想到了用1平方厘米作为标准，估出长方形的面积是4平方厘米，那么我们来验证一下到底是多少。同桌合作摆一摆，可以摆多少个1平方厘米。

师：通过测量，1号长方形上正好摆了4个1平方厘米，它的面积就是4平方厘米。现在来看右边的2号长方形，你能估出它的面积吗？你是怎么估的？

生1：2号图形一行也可以铺4个，这样的可以铺3行，一共铺了12个1平方厘米，面积是12平方厘米。

生2：我估计2号长方形可以分割成3个1号那样的长方形，那它的面积就是12平方厘米。

师：这个长方形的面积到底是多少呢，我们还需要通过测量才能知道，请拿出1平方厘米的正方形，请大家测一测。

……

前测中反映有48%的学生知道可以用小正方形去测量面积，其实，这个留在学生脑海中的小正方形就是1平方厘米的原型。因此，教学中设计了估一估、测一测的学习活动，不但巩固了1平方厘米的表象，更让学生逐步积累了长边上的单位个数乘以宽边上的单位个数等于面积总个数的经验，为研究长方形的面积计算做好铺垫。

上述教学环节中，反馈估计第一个长方形的面积时得出不同的结论，学生在构建1平方厘米的表象时，他们的思维方式不尽相同，学生积累的数学活动经验也是不一样的：有的学生用画格子的方式去估，则经验层次处于“形成表象”阶段；有的学生用“大拇指的拇指”去估，则经验层次处于“形式化”阶段；有的学生用“脑中的1平方厘米”去估，则经验层次已达到了“组织结构”阶段。第二次估右边长方形的面积，学生的思维得到有效的提升，活动经验更加丰富，不但能用上面第一次估积累的活动经验，而且用到了分析和推理的方法：“我估计2号长方形可以分割成3个1号那样的长方形，1号长方形面积是4平方厘米，那它的面积就是12平方厘米。”多么精彩的发言，学生不但进一步巩固了1平方厘米的表象，更在活动中积累了这样分析和推理的经验，发展了学生的空间观念。

通过《面积单位》的教学，体会到只有抓住了面积单位教学的核心——建立面积单位的表象，才能有效发展学生的空间观念。同时，教学设计要尊重学生的学习起点，结合具体的操作活动进行“空间与图形”的知识教学，这样既符合“空间与图形”知识的特点，又能满足学生的认知需要，还能培养学生学习数学的兴趣。

（作者单位 浙江省余姚市实验学校）endprint

师：我们现在知道了1平方厘米有这么大，那么生活中哪些物体的一个面的面积大约也是1平方厘米呢？

生1：大拇指指甲的一个面的面积，大约是1平方厘米。

生2：电脑键盘一个键的一个面的面积，大约是1平方厘米。

生3：魔方上的一个小正方形的面积，大约是1平方厘米。

师：大家观察得很仔细，老师也为你们准备了一些物品，请打开信封，我们一起来找一找，哪些物品的一个面也是1平方厘米。（信封放置：1立方厘米的正方体、骰子、语文方格本簿等）

（1）学生找一找；（2）同桌交流验证；（3）全班汇报小结。

师：生活中有许多物体一个面的面积大约是1平方厘米，我们可以借助这些物体来记住1平方厘米。

前测中发现，有28%的学生能结合实例描述1平方厘米，而这些实例又源于学生实际的生活情境，因此，课堂上在学生初步建立1平方厘米的表象后，指导学生去提取脑海中存储的生活经验，找一找生活中哪些物体的一个面大约是1平方厘米，有利于学生进一步巩固1平方厘米的表象。第二次学生结合教师提供的学具再次找一找，前测中发现学生比较熟悉的情境是“手指甲、键盘一个按键的一个面、骰子的一个面、田字格的一个格子等”，因此，根据前测情况确定了学具的选择。通过这样一系列的操作体验，学生的思维潜能得到充分释放，当学生直观感悟到小正方体的一个面的面积是1平方厘米，骰子一个面的面积比1平方厘米小，语文方格本一个格子面积比1平方厘米大时，达到了能对1平方厘米“物化”的水平，也就是形式化阶段，1平方厘米表象得到了进一步的巩固。

在学生认识了1平方厘米，并通过操作初步构建了1平方厘米的表象后，教师及时进行学法的小结，具体环节如下：

师：我们认识了1平方厘米，请你回忆一下，我们刚才是怎么认识1平方厘米的？

生1：先把边长1厘米的正方形画出来，然后通过涂一涂、找一找，又画一画，记住了它的大小。（教师适时板书：涂，找，画）

生2：我们还学习了可以用1平方厘米估计其他图形或者物体表面的面积。

师：说得真好，大家不仅认识了1平方厘米，还掌握了学习1平方厘米的方法，那就让我们用这样的方法继续来学习1平方分米吧！

这样的学法小结不但再次回顾了数学知识，而且让学生体验到了学习面积单位的方法，提高了学生的学习能力，激发了学生学习的兴趣和信心，有利于学生进行数学知识的探索。

（三）关注活动经验的积累，发展学生的空间观念

《义务教育数学课程标准解读》指出：生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。在学生经历“画一画”“涂一涂”“找一找”，再“画一画”等操作活动，积累一定的关于1平方厘米的活动经验后，我安排如下教学环节：（估一估，测一测）

师：1平方厘米我们都记在脑海中啦，下面请大家看作业纸的第1题，估一估左边1号长方形的面积大约是多少平方厘米？你是怎么估的？

师：请这个同学来说说，你是怎么想的？（展台展示学生作品）

生1：我用我的指甲比划了一下，大约是4个，长方形的面积大约是4平方厘米。

生2：我觉得一个一个地可以摆4个1平方厘米（学生分割成4个小正方形），所以，它的面积是4平方厘米。

生3：我先想1平方厘米有多大，这个长方形大约是4个1平方厘米，所以，面积是4平方厘米。

师：大家都想到了用1平方厘米作为标准，估出长方形的面积是4平方厘米，那么我们来验证一下到底是多少。同桌合作摆一摆，可以摆多少个1平方厘米。

师：通过测量，1号长方形上正好摆了4个1平方厘米，它的面积就是4平方厘米。现在来看右边的2号长方形，你能估出它的面积吗？你是怎么估的？

生1：2号图形一行也可以铺4个，这样的可以铺3行，一共铺了12个1平方厘米，面积是12平方厘米。

生2：我估计2号长方形可以分割成3个1号那样的长方形，那它的面积就是12平方厘米。

师：这个长方形的面积到底是多少呢，我们还需要通过测量才能知道，请拿出1平方厘米的正方形，请大家测一测。

……

前测中反映有48%的学生知道可以用小正方形去测量面积，其实，这个留在学生脑海中的小正方形就是1平方厘米的原型。因此，教学中设计了估一估、测一测的学习活动，不但巩固了1平方厘米的表象，更让学生逐步积累了长边上的单位个数乘以宽边上的单位个数等于面积总个数的经验，为研究长方形的面积计算做好铺垫。

上述教学环节中，反馈估计第一个长方形的面积时得出不同的结论，学生在构建1平方厘米的表象时，他们的思维方式不尽相同，学生积累的数学活动经验也是不一样的：有的学生用画格子的方式去估，则经验层次处于“形成表象”阶段；有的学生用“大拇指的拇指”去估，则经验层次处于“形式化”阶段；有的学生用“脑中的1平方厘米”去估，则经验层次已达到了“组织结构”阶段。第二次估右边长方形的面积，学生的思维得到有效的提升，活动经验更加丰富，不但能用上面第一次估积累的活动经验，而且用到了分析和推理的方法：“我估计2号长方形可以分割成3个1号那样的长方形，1号长方形面积是4平方厘米，那它的面积就是12平方厘米。”多么精彩的发言，学生不但进一步巩固了1平方厘米的表象，更在活动中积累了这样分析和推理的经验，发展了学生的空间观念。

通过《面积单位》的教学，体会到只有抓住了面积单位教学的核心——建立面积单位的表象，才能有效发展学生的空间观念。同时，教学设计要尊重学生的学习起点，结合具体的操作活动进行“空间与图形”的知识教学，这样既符合“空间与图形”知识的特点，又能满足学生的认知需要，还能培养学生学习数学的兴趣。

（作者单位 浙江省余姚市实验学校）endprint