基于MATLAB的铣刀杆结构参数优化设计方案

张春幸 刘菊花

摘 要：分析了影响铣刀杆设计的强度、刚度等诸多因素，建立了优化选取铣刀杆结构参数的数学模型，并运用MATLAB语言对该数学模型进行求解。

关键字：铣刀杆；MATLAB 优化设计

在切削加工过程中，优化选择切削参数的问题已成为现代化机械制造业中极为重要的经济问题之一，而传统的依靠经验数据和查阅手册获取的切削参数，其生产效率低且加工成本偏高。因此，以提高切削加工效率、降低加工成本、获得高质量产品为目的而进行的切削参数优化的研究，对提高经济效益具有重要意义。铣削加工是机械加工中一种重要的、常见的方法之一。铣削加工的精度高，其加工的质量、安全性及可靠性与诸多因素有关，其中，铣刀杆的设计质量就是一个重要因素。工厂里的经验法，虽然基本上满足设计要求，但却不是最优、最理想的设计。随着现代计算机的普及和发展，以及在计算机条件下数值计算方法的成熟，为铣刀杆结构参数优化设计提供了条件。本文通过一个铣刀杆结构参数优化设计实例，来说明工程铣刀杆结构优化设计的基本方法，建立优化选取铣刀杆结构参数的数学模型，并运用当今流行的科学数学计算语言MATLAB对该数学模型进行求解。

1．问题的提出

普通铣刀杆自由端有集中载荷，即切削阻力P= 1000N，扭矩M=100N*m。悬臂伸出不小于100mm，刀杆直径不大于50mm，己知使用的材料的许用弯曲应力120N/mm2，许用扭转剪切应力80N/mm2，许用挠度[f]=0.1mm，弹性模量E=200000N/mm2，要求设计的铣刀杆用料最省，试确定铣刀杆的结构参数。

2．优化模型的建立

2.1模型的基本假设及约定

铣刀杆种类繁多，但刀杆主要的设计参数应为刀杆的杆长L(mm)和刀杆的直径D(mm)，其他的辅助参数可由已得的L、D及使用的铣刀等条件查相关手册得到。设计变量，写成数学表达式：

2.2模型的建立

2.2.1确定目标函数

一般的刀杆设计都是在满足强度、刚度等的条件下，以求用料最省，即体积最小。所以，此处选刀杆体积最小为目标函数：

2.2.2确定约束条件

（1）一般来讲，为保证工件与铣刀的相对位置，刀杆的长度应大于等于某个极限值 （mm），而刀杆直径应小于等于某个极限值 （mm）：

（2）刀杆在承受弯曲和扭转时应具有一定的强度，才能保证加工的安全性，弯曲应力应不大于材料许用应力，剪切应力不大于材料剪切应力：

（3）铣刀杆的刚度影响被加工工件表面質量等，所以，为了保证加工质量，刀杆在承受载荷时发生的挠度f应不大于许用挠度[f]：

其中 为不同的物理模型中的最大弯曲应力与L，D的函数， 为不同的物理模型中的最大剪切应力与L，D的函数， 为不同的物理模型中的最大挠度与L，D的函数。

2.2.3进行模型的抽象化处理

将上一步得到的目标函数以及约束条件进行整理，令X 为二元矩阵，令D=x1，L=x2,可得优化选取铣刀杆结构参数的数学模型为：

注：对于不同的铣削形式，有不同的刀杆，也就对应不同的力学模型，但总可以用以上模型描述。

3．基于MATLAB优化工具箱进行模型求解

根据上面建立的数学模型对优化设计实例进行处理可得：

首先建立目标函数“fun.m”文件，以下是 fun 函数的语句：

%目标函数

function f=fun(x)

f=(pi*x(2)*x(1)*x(1)/4)

注：因MATLAB中不能识别下标值，故上述语句中的x（1）、x（2）即x1、x2分别代表刀杆直径，刀杆长度。

接下来建立约束条件“mycon.m”文件，以下是“mycon.m”文件里包含的语句：

function[c,ceq]=mycon(x)

c(1)=[100000*x(2)-12*x(1)^3];

c(2)=[50000-8*x(1)^3];

c(3)=[34*x(2)^3-10*x(1)^4];

ceq=[];

注：上述语句中的c 矩阵为求解模型中的非线性约束。

最后建立求解文件“jie.m”（也可以不用建立求解文件，直接在MATLAB 的 command 窗口输入以下语句即可），以下是 jie.m 中的语句：

x0=[50,100];

options=optimset('Largescale','on','TolCon',1e-8,'TolX',1e-8);

lb=[0,0];

A=[1,0;0,-1;-1,0];

b=[50;-100;-18.42];

Aeq=[];

beq=[];

[x,fval]=fmincon (@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,[],@mycon,options)

注：因为刀杆直径，刀杆长度不能为负值，因此 x1、x2（亦即语句中的 x（1）、x（2））的下限值向量 lb=［0，0，0］；矩阵A、b 为不等式线性约束 g1、g2的系数矩阵，矩阵 Aeq、beq 为等式线性约束的系数矩阵。通过以上的求解得x1= 42.9408mm，x2= 100.000mm，V= 1.4482e+005mm3。

表1 优化值与经验值对比结果

比较项目 D L 目标函数 性能约束

/mm /mm V(mm3)

经验值 45 120 1.9085e+005 11.6872 -74.5130 0.0433

优化值 42.9408 100 1.4482e+005 0.0000 -73.2314 -0.0058

4．结论

比较优化设计得到的结果，可以看出42.9408和100这两个数值已经能满足设计要求，所以没有必要再进行放大了。传统设计法因为放大而导致了材料的浪费，而利用本文所述的优化设计方法则可以很好地在经济性和安全性中求得一个最优解。应用 MATLAB优化设计的方法，设计者只需要通过一次计算，便可得到可靠的设计结果，因此避免了传统设计方法因设计者经验不足而造成的过度放大，提高了效率，缩短了设计周期。设计实例的正确性和合理性充分说明该模型的正确性，而本文运用MATLAB优化工具的求解方法亦不失为一种既简单又科学的方法。所以，本文建立的数学模型和解决方法是实用的。

5.参考文献

[1] 罗佑新、郭惠听、张龙庭等，机械零件的稳健可靠性设计[J]，农业机械学报，2002

[2]李万祥，工程优化设计与 MATLAB 实现，北京：清华大学出版社，2010

[3]吴道全、石琳，关于圆柱形球头立铣刀结构的研究[J]，贵州工学院学报，1996

[4] 张晓红，系列化可转位铣刀参数化设计系统的研究[J]，煤炭技术，2006