贝叶斯公式的分析与应用

2014-04-29 00:44张石凤
新校园·上旬刊 2014年1期

张石凤

摘 要:贝叶斯公式的应用一直以来都是一个难点,尤其是在寻找导致随机变量试验中某事件发生的原因上。本文对完备事件组、全概率公式做了简要分析,对贝叶斯公式做了詳尽的说明,并且通过举例分析了对贝叶斯公式的运用。

关键词:全概率公式;完备事件组;贝叶斯公式

全概率公式给了我们一个实际计算某些事件概率的公式,只要一旦我们知道了在各事件发生条件下该事件发生的概率,则该事件的无条件概率可以从全概率公式求得,也就是说,只要知道了各种原因发生条件下该事件发生的概率(原因概率),该事件的无条件概率可通过全概率公式求得。反之,若已知各种原因概率,设在进行随机试验中某事件已经发生,在这条件下求各种原因发生的条件概率,这是概率论重要的研究课题之一。为了达到这个目的,我们经常把已经发生的事件看成是一个“结果”,把若干个不相容的简单事件看成是导致这一结果发生的不同原因,再通过计算这些简单事件的概率、这些事件发生条件下已经发生事件的概率及运用概率的加法、乘法和除法得到最终结果。贝叶斯公式就是这种思想方法的一个反映,它是概率的加法、乘法与除法的综合。

一、贝叶斯公式的分析

1.完备事件组

设实验E的样本空间为Ω,A1,A2,…,An为E的一组事件,若A1,A2,…,An两两互不相容,并且■=Ω则称A1,A2,…,An为试验E完备事件组。

2.全概率公式

设试验E的样本空间为Ω,如果A1,A2,…,An是Ω的一个完备事件组,且P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则对于E的任一事件B,有P(B)=■P(Ai)P(B/Ai)。

注:全概率公式是将求复杂事件B的概率P(B)转化为求概率P(Ai)与P(B/Ai)(i=1,2,…,n)乘积的和。

3.贝叶斯公式解析

设事件为A1,A2,…,An试验E的完备事件组,对于任一事件B,如果P(B)>0,则有:P(B/Ai)=■=■(i=1,2,…,n)。

(1)首先要认识事件B是试验E的一个事件,且把事件B看成是一个“结果”。

(2)完备事件组A1,A2,…,An理解成导致这一结果发生的不同原因,P(Ai)(i=1,2,…,n)是各种原因发生的概率,通常在“结果”发生之前就已经明确的,有时可以从以往的经验中求得,因而称之为先验概率。

(3)贝叶斯公式是在“结果”B已经发生之后,再去考虑各种原因发生的概率P(B/Ai)(i=1,2,…,n)。

(4)该公式可以通过以下几个步骤:第一,由条件概率得P(B/Ai)=■;第二,分子通过乘法公式得P(AiB)=P(Ai)P(B/Ai);第三,分母通过全概率公式得P(B)=■P(Ai)P(B/Ai);将第二、第三的结果带入第一即得贝叶斯公式。

有时,我们把P(B/Ai)称为“原因”概率,而称P(Ai/B)为“事后”概率,从贝叶斯公式可看出:“事后”概率可通过一系列的“原因”概率求得。P(Ai)(i=1,2,…,n)是在不知道事件B是否发生的情况下各事件发生的概率,在知道B发生之后,对概率P(Ai/B)(i=1,2,…,n)就有了新的估计,贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化。

二、贝叶斯公式运用

例:对以往数据的分析结果表明,当机器处于良好状态的时候,生产出来的产品合格率为90%,而当机器存在某些故障时,生产出来的产品合格率为30%,并且每天机器开动时,处于良好状态的概率为75%。已知某日生产出来的第一件产品为合格品,求此时该机器处于良好状态的概率。

分析:该试验是“机器生产产品”,已知试验结果为事件B“生产出来的第一件产品为合格品”,从题可知,影响该产品合格的原因有两个,分别记为A:“机器处于良好状态”,■:“机器存在某些故障”,记该试验样本空间为Ω,则有A∩■=φ,即A与■互不相容;于是A、■为一个完备事件组,可运用贝叶斯公式。

解:设A表示事件“机器处于良好状态”,■表示事件“机器存在某些故障”,B表示事件“生产出来的第一件产品是合格品”,则A、■是一个完备事件组,且P(A)=75%=0.75;P(■)=25%=0.25;P(B/A)=90%=0.9;P(B/A)=30%=0.3。

根据贝叶斯公式,有

P(A/B)=■=■

=■=0.9=90%

三、贝叶斯公式运用准则

通过对贝叶斯公式及公式运用的分析,可总结出下列准则:先已知“结果”已经发生,在结果发生之后去寻找导致该结果发生的所有原因,完备事件组A1,A2,…,An往往是随机试验中导致该结果发生的所有原因,这些原因及其发生的概率通常在“结果”发生之前就已经明确的。结果发生时,我们并不知道具体是哪个原因导致的,要求的就是在结果已经发生的前提下是某个原因(Ai)导致的概率。

参考文献:

[1]梁之舜.概率论与数理统计(上册)[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]吴赣昌.概率论与数理统计(第四版)[M].北京:中国人民大学出版社,2011.