浅谈数形结合法在微积分教学中的应用

闻卉 郑列

【摘要】 通过数形结合法引进微积分中值定理，将抽象难懂证明技巧较高的三大定理以一种直观的形象摆在学生面前，再对图形进行分析建立简单的数学模型，便得到了三大定理的数学语言上的描述.学生在参与建立模型的过程中可以充分体会到数形结合法的优点，有助于培养学生分析问题的能力和创新能力.

【关键词】 数形结合法；微积分中值定理；图形；数学模型

1.引言

数形结合法是一种重要的数学方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.在微积分的教学中，微积分中值定理是教学中的难点，定理很重要，但抽象难懂，证明技巧较高.微积分的授课对象一般都是文科生，他们往往喜欢直观具体的问题，害怕抽象深奥的问题，掌握这三个抽象的微分中值定理有一定的难度.针对这个现象，借助数形结合法的优点，通过数形结合法引进微积分中值定理，将抽象难懂证明技巧较高的三大定理以一种直观的形象摆在学生面前，再对图形进行分析建立简单的数学模型，便得到了三大定理的数学语言上的描述.学生在参与建立模型的过程中可以充分体会到数形结合法的优点，有助于培养学生分析问题的能力和创新能力.与此同时，这种直观的图形有助于学生牢记三大定理，激发学生的学习积极性，从而达到教学的要求.

2.实例

首先在黑板上描绘下面指定函数的图形：函数曲线y=f（x）是一条以A= a，f（a） ，B= b，f（b） 为端点的连续曲线弧段，其中f（a）=f（b）.然后引导学生分析，这样的曲线弧的具体位置与对应法则有关系.无论对应法则怎么变，曲线弧两端点的连线（简记为弦AB）始终平行于x轴，除了端点A，B外，处处有不垂直于x轴的切线.进一步观察发现一结论：在曲线弧上至少能找到一点C，坐标为（ξ，f（ξ）），使得该点处曲线

的切线平行于弦AB.这就是我们建立的数学模型.利用导数和连续性的几何意义，我们

把这一数学模型的特征用数学语言猫述便得到了微分中值定理的第一个定理（即罗尔定理）的前提条件和结论.

定理1：（罗尔定理）若函数f（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）

上可导；（3）f（a）=f（b），则至少ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0.

该定理板书完毕，可以向学生提一个问题：“若定理1的条件（3）不成立，会得到一个什么样的图形以及与之对应的定理怎样改写？”提醒学生条件（3）能保证弦AB平行于x轴.条件（3）不成立，则弦AB是倾斜直线段.在黑板描绘出相应图形，引导学生写出弦AB的斜率.进一步观察发现同一结论：在曲线弧上至少能找到一点C，坐标为（ξ，f（ξ）），使得该点处曲线的切线平行于弦AB.于是学生在老师的引导下立刻写出了微分中值定理的第二个定理（即拉格朗日中值定理）的前提条件和结论.

定理2：（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）上可导，则至少ξ∈（a，b），使 f（b）-f（a） b-a =f′（ξ）.

该定理板书完毕，向学生强调一下，该定理对应的图形是建立在xy平面上的直角坐标系下，并且曲线弧的函数是显示函数y=f（x）.继续向学生提一个问题：“若曲线弧的函数不是显示函数y=f（x），而是由参数方程x=F（t），y=f（t），（a≤t≤b）给定，在xy平面上的直角坐标系下会得到一个什么样的图形？与之对应的定理怎样改写？”通过讨论在黑板上描绘出相应的图形.学生惊喜地发现图形表面上看与定理2的图形一致，只不过曲线弧上的点表示方法复杂些，都与参数t联系在一起，比如端点A=（F（a），f（a）），B=（F（b），f（b）），学生马上就写出弦AB的斜率.并且给出了同一结论：在曲线弧上至少能找到一点C（设对应的参数t=ξ），坐标为（F（ξ），f（ξ）），使得该点处曲线的切线平行于弦AB.利用参数方程的求导公式可以写出过C点处曲线的切线的斜率，如是便得到微分中值定理的第三个定理（即柯西中值定理）的前提条件和结论.

定理3：（柯西中值定理）若函数f（t），F（t）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）上可导，且F′（t）在（a，b）内不为零，则至少ξ∈（a，b），使 f（b）-f（a） F（b）-F（a） = f′（ξ） F′（ξ） .

该定理板书完毕，要求学生分析三个定理的联系.学生很快就反应过来，柯西中值定理和拉格朗日中值定理本是一回事，只不过是曲线弧的函数表示式一个是显示表示，另一个是参数方程表示，弦AB一般是倾斜直线段.若将弦AB拉成水平直线段，则得到罗尔定理.这一结论可以编成口诀“柯西拉格朗日一回事，罗尔是特例，斜率要相等”.然会再跟学生讲解三个定理的应用.

3.结语

本文针对微积分教学过程中学生普遍存在的难点，通过数形结合法引进微积分中值定理，将抽象难懂的三大定理以一种直观的形象摆在学生面前，再对图形进行分析建立简单的数学模型，得到三大重要定理，并且通过图形总结它们之间的联系.学生在参与建立数学模型的过程中可以充分体会到数形结合法的优点，激发学生的学习积极性，有助于培养学生分析问题的能力和创新能力，从而达到教学的目的.

【参考文献】

[1]蔡光兴，李德宜.微积分[M].北京：科学出版社，2008.

[2]尹水仿，方瑛.高等数学应用与提高[M].北京：科学出版社，2011.

[3]李逢高，郑列，等.高等数学应用与提高[M].北京：科学出版社，2009.

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