∞点处留数的计算与有限点的差异

岳红云 刘宏超

【摘要】作为扩充复平面上唯一的无穷远点，与有限点在孤立奇点类型的判定与留数的计算中存在什么差异？如何理解这种差异，本文将给出解答.

【关键词】无穷远点；留数；有限点

一、前言

留数定理是复变函数积分理论的重要内容，由留数定理可知

∮Cf（z）dz=2πi∑nk=1Res[f（z），zk]，

其中z1，z2，…，zn为C内f（z）的孤立奇点，C为一条正向简单闭曲线，其中

Res[f（z），zk]=C-1k，

C-1k为f（z）在以zk为中心的圆环域：0<|z-zk|<δ内的洛朗展式中1z-zk的系数.特别的，

Res[f（z），zk]=0，

若zk为f（z）的可去奇点或解析点，这是因为其洛朗展式不含负幂项，故C-1=0，即留数为零.

当我们发现函数f（z）在闭曲线C内奇点较多，而闭曲线C之外的奇点较少时，由扩充复平面上的留数定理可知

∑nk=1Res[f（z），zk]+Res[f（z），∞]=0，

其中z1，z2，…，zn，∞为f（z）在扩充复平面上的所有孤立奇点.

二、问题

由上述知识可见，Res[f（z），∞]的计算对闭曲线内奇点较多的复变函数的积分计算起到了重要作用，但初学者往往把∞点处留数的计算和奇点类型的判定与有限点混为一谈，这就容易出错，究其原因是没有对二者作出深刻的比较，现在我们就对这个问题进行详细的分析解答.

我们知道，Res[f（z），∞]的计算方法有两种：

方法1：Res[f（z），∞]=-C-1；

方法2：Res[f（z），∞]=-Resf1z1z2，0.

显然这与有限点处留数的计算方法是不同的，下面我们分别讨论分析.

1.特别的，当∞为f（z）的可去奇点时，Res[f（z），∞]不一定为0，这与有限点作为可去奇点留数的结果是不同的，为什么呢？这是因为z=∞是f（z）的可去奇点时，通过令z=1t，相当于t=0为f1t的可去奇点，故f1t在t=0的去心邻域0<|1z（=t）|<δ内的洛朗展式不含1z（=t）的负幂项，但可以含有1z的正幂项.即当1z的系数不为0时，由方法1，

Res[f（z），∞]=-C-1≠0.

例如，f（z）=z+1z以∞为可去奇点，但Res[f（z），∞]=-1.

当1z的系数为0时，由方法1，可得

Res[f（z），∞]=-C-1=0.

例如，f（z）=e1z2以∞为可去奇点，但Res[f（z），∞]=0.

2.除此之外，∞处留数的计算与有限点还是不同的.

将f（z）在∞的去心邻域R<|z|<+∞进行洛朗展开，可得

f（z）=…+C-11z+C0+C1z+…，

令1z=t，则f1t在t=0的去心邻域0<|t|<1R内解析，洛朗展式变为

f1t=…+C-1t+C0+C11t+…，

化为-1t2f1t=…-1tC-1-C01t2-C11t3+…，

由方法1，可知

Res[-1t2f1t，0]=-C-1=Res[f（z），∞].

三、结论

因此，∞作为扩充复平面（z平面）上唯一的无穷远点对应的数，虽然可以通过代换1z=t，与扩充复平面（t平面）上唯一的原点对应的数0对应，使得函数f（z）在∞的去心邻域R<|z|<+∞的洛朗展式与f1tφ（t）在解析区域：0的去心邻域0<|t|<1R的洛朗展式完全相同，从而使得f（z）的奇点∞与φ（t）的奇点0的奇点类型完全一致（因为孤立奇点的类型由洛朗展式完全决定）.但它们留数的求法却迥异，原因很简单，它们都是为了寻求C-1，但Res[f（z），∞]寻求1z的系数C-1，而Res[φ（t），0]寻求1t的系数C-1，虽然有f（z）=φ（t），但Res[f（z），∞]≠Res[φ（t），0]，由∞处留数的计算方法1可知，方法2成立.

注：∞作为作为扩充复平面上（z平面）唯一的无穷远点对应的数，认为是所有函数的奇点.

【参考文献】

＼[1＼]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义.北京：高等教育出版社，1993.

＼[2＼]钟玉泉.复变函数论.北京：高等教育出版社，1995.

＼[3＼]陆庆乐，王绵森.复变函数.北京：高等教育出版社，1996.