分块初等矩阵及应用

王蕾

【摘要】由于矩阵分块运算在线性代数中有重要作用，文章讨论了由分块初等矩阵给出的分块矩阵初等变换及其在矩阵的行列式、矩阵求逆及特征多项式方面的应用.

【关键词】分块矩阵；分块初等矩阵；初等变换

1.分块初等矩阵和分块矩阵的初等变换

矩阵的分块是处理阶数较高矩阵时常用的方法，分块矩阵有相应的加法、乘法、数乘、转置等运算的定义，也可进行初等变换.

我们以常用的2×2分块初等矩阵为例，来对分块初等矩阵作定义.

定义1对某个单位矩阵作分块Em00En，对它进行两行（列）对换，某一行（列）左乘（右乘）一个矩阵P，一行（列）加上另一行（列）的P （矩阵）倍数，得到的以下五类分块的矩阵：

即0EnEm0，P00En，Em00P，EmP0En，Em0PEn

称为分块初等矩阵.

注1显然，上述各类分块初等矩阵中的每一个都是若干初等矩阵的乘积.

引理1分块初等矩阵都是可逆的.

引理2用分块初等矩阵左乘（或右乘）某一矩阵相当于对其作相应的分块初等行（或列）的初等变换.

注2在使用分块初等矩阵时，要注意所作的分块必须使得分块乘法等运算能够进行.

2.分块矩阵初等变换的应用

用分块初等矩阵所作的分块矩阵的初等变换，是矩阵运算中极为重要的手段，它能够使一些困难的问题变得容易处理.下面分别给出它在矩阵的行列式、矩阵求逆及特征多项式方面的应用.

命题1设Α，Β分别是n×m和m×n矩阵，则En-ΑΒ=Em-ΒΑ.

命题2设A，B，C，D都是n阶可逆方阵，则ABCD=A·D-CA-1B.

例1计算n阶行列式

Tn=a1+λ1a1…a1a2a2+λ2…a2…………anan…an+λn（λi≠0，i=1，2，…，n）.

解Tnc2-c1c3-c1=…cn-c1a1+λ1-λ1-λ1…-λ1a2λ20…0……………an00…λn.

设A=（a1+λ1），B=（-λ1，…，-λ1），C=（a2，…，an），D=λ20λ30λn，

则D可逆，所以Tn=D·A-BD-1C=λ2λ3…λn（a1+λ1+a1λ1λ2+…+anλ1λn）=λ1λ2…λn1+∑ni=1aiλi.

命题3设A，D，C分别是m×m，n×n，n×m矩阵，A，D均可逆，则 A0CD-1=A-10-D-1CA-1D-1.

例2求矩阵A=abab-cd-cdab-a-b-cdc-d，且ad+bc≠0的可逆矩阵.

解设P=ab-cd，则A=PPP-P.

PPE0P-P0E→PPE0P-2P-EE→PPE00-P12E-12E→

P012E12E0P12E-12E→E012P-112P-10E12P-1-12P-1.

故A-1=12P-1P-1P-1-P-1，又P-1=1ad+bcd-bca，

所以A-1=12（ad+bc）d-bd-bcacaa-b-dbca-c-a.

命题4设A，B为任意两个n阶方阵，证明AB与BA有相同的特征多项式.

证明由分块矩阵乘法知E00λEE-A0EAλEEB=0λE-ABλEλB

两边取行列式得：λnAλEEB=λn（-1）nλE-AB.①

E0-BEE00λEAλEEB=AλEλE-BA0，

两边取行列式得：λnAλEEB=λn（-1）nλE-BA.②

比较①②得λE-AB=λE-BA.故AB与BA有相同的特征多项式.

以上我们虽然仅讨论了分块初等矩阵及相应的分块矩阵初等变换的几种常见应用，但已经足以看出分块矩阵的初等变换在矩阵运算中是很重要的，其应用也是非常广泛的.

【参考文献】

＼[1＼] 徐仲，陆全，张凯院，等.高等代数（北大·第三版）考研教案＼[M＼].西安：西北工业大学出版社，2006（2007重印）.

＼[2＼] 徐仲，陆全，张凯院，等.高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考（第2版）＼[M＼].西安：西北工业大学出版社，2006（2007重印）.