浅谈方向导数的几何意义

张辉　敬斌　赵伟舟　王静

【摘要】利用向量代数和二元函数微分法几何应用，分析得到二元函数方向导数的几何意义，旨在学生对方向导数有更深的理解.

【关键词】 方向导数；可微； 方向向量

【中图分类号】O172.1

关于方向导数，教材仅对概念和计算方法作一介绍.方向导数不仅是多元函数微分学的重要理论知识，而且是实践和应用的理论基础.为更好地理解方向导数的本质，下面研究二元函数方向导数的几何意义.

设f（x，y）在点P0（x0，y0）的某邻域内有定义，且在点P0（x0，y0）可微，则f（x，y）在点P0（x0，y0）沿任意方向l的方向导数都存在，且有

fl（x0，y0）=fx（x0，y0）cosα+fy（x0，y0）cosβ，

其中el=（cosα，cosβ）是与l同方向的单位向量.

由空间解析几何得，方向l所确定有向射线P0P的一般方程为

（x-x0）cosβ-（y-y0）cosα=0，z=0.

记z=f（x，y）所确定的曲面为π1.过有向射线P0P作与xOy坐标面垂直的半平面π2，则半平面π2的方程为（x-x0）cosβ-（y-y0）cosα=0.

记半平面π2与曲面π1的交线为Q0Q，其中点Q0（x0，y0，f（x0，y0））在曲面π1上，且在xOy坐标面的投影为点P0.在半平面π2上，过点Q0作与有向射线P0P平行的有向射线Q0Q1，过点Q0再作曲线Q0Q的有向切线Q0Q2，如图所示.

记有向切线Q0Q2与有向射线P0P的夹角θ，则θ∈[0，π2）.由于P0P∥Q0Q1，则有向切线Q0Q2与有向射线Q0Q1的夹角也为θ.取有向射线Q0Q1的一个方向向量为s1=（cosα，cosβ，0）.

由于交线Q0Q的一般方程为

z-f（x，y）=0，（x-x0）cosβ-（y-y0）cosα=0.

由二元函数微分法的几何应用，取有向切线Q0Q2的一方向向量为

s2=i→j→k→-fx（x0，y0）-fy（x0，y0）1cosβ-cosα0

=（cosα，cosβ，fx（x0，y0）cosα+fy（x0，y0）cosβ），