高等数学教学中变限积分函数的求导方法

于风宏

【摘要】针对变限积分函数求导教学的现状，给出了5个变限积分函数导数定理，并依次对其求导方法进行了深入探究.

【关键词】变限积分函数；求导方法；被积函数

引言

变限积分函数是高校高等数学中的重要内容，与其他函数不同，它不但由定积分定义，而且自变量多出现在积分上限或下限.变限积分函数具有产生新函数的功能，可用以表示非初等函数，也能够实现积分学到微分学的转化，在诸多领域都发挥着重要作用.然而实际教学中，由于函数自身过于抽象，求导方法不好掌握，令许多学生都觉得十分困难.为此结合实例对其求导方法进行深入研究.

一、变限积分函数求导定理及实例分析

1.定理Ⅰ

假设有函数f（x），且该函数在区间＼[a，b＼]上连续，则积分上限函数Φ（x）=∫xaf（t）dt是被积函数f（x）的一个原函数，从而可求得Φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x），或dΦ（x）=d∫xaf（t）dt=f（x）dx.

例1若Φ（x）=∫xa2tdt，求Φ′（x）.

解题思路：显然该题的被积函数难度较小，可根据牛顿—莱布尼茨公式先计算出有关x的表达式，然后求导；更简便的方法就是利用定理Ⅰ直接求导.

解法①：

Φ（x）=∫xa2tdt =t2xa =x2-a2，

∴Φ′（x）=（x2-a2）′=（x2）′-（a2）′=2x.

解法②：

根据以上定理，用自变量x替换被积函数中的积分变量t，可直接求出结果Φ′（x）=2x.

2.定理Ⅱ

假设有函数f（x），且该函数在区间＼[a，b＼]上连续，积分下限函数Ψ（x）=∫2xf（t）dt可导，且导数为Ψ′（x）=ddx∫bxf（t）dt=-f（x），或dΨ（x）=d∫bxf（t）dt.

例2若Ψ（x）=∫bx2tdt，求Ψ′（x）.

解法①：