适时渗透数学思想适时渗透数学思想

马剑飞

【摘要】数学思想方法是数学的灵魂，是数学的精髓所在.掌握了数学思想方法，学生对数学才能有更多的感悟.在平时的教学过程中，要适时地让学生去感悟数学思想方法﹒

【关键词】数学思想方法；感悟

数学思想方法是数学的灵魂，是数学的精髓所在.在我们的教学中，我们力求让学生感受数学思想方法，那么怎样让学生更强烈地感受到数学思想方法呢？在三角函数的一节复习课中，学生经历了一题多解和遇到困惑等情况，笔者进行多种解法的剖析与比较，让学生感受方法的难易及得出的由来.在这个过程中及时渗透数学思想方法，起到了“随风潜入夜，润物细无声”的效果.

片段1

例1（2011苏州三模15改编）如图，以Ox为始边作角α，β（0<β<α<π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为-35，45，若OP·OQ=0，则sin（α+β）=﹒

展示学生的解题过程：

生1：设Q（x，y），则x2+y2=1-35x+45y=0，解得x=45y=35，所以Q45，35.

则sinβ=35，cosβ=45，又sinα=45，cosα=-35，

所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=45×45+-35×35=725.

在展示完生1的解题过程后，笔者请生1给大家讲述一下思维过程.生1从题中的条件得出本题与三角函数的定义有联系，看出角α，β的函数，所以从定义出发研究本题.

在生1解释结束后，笔者指出生1应用了三角函数的定义解决本题，其实就是函数思想，两个角就构造两个函数.

笔者继续询问是否还有其他方法.此时生2给出了另一种解法：

生2：因为OP·OQ=0，所以∠POQ=π2，即α-β=π2，

则sin（α+β）=sin2α-π2=-cos2α=-（2cos2α-1）=725

生2也给出了自己的思维过程，本题中求sin（α+β）的值，由条件可以得到α的三角函数值，但β的三角函数值较难，所以想把β转化为α.

笔者此时指出生2的方法也是函数思想，其中还涉及消元的思想方法.求sin（α+β）的值可以看成研究函数y=sin（α+β），而此函数含有两个自变量，而我们只会研究一个自变量的函数，所以必须进行消元化归为一个自变量.由此可以发现需要寻找两个元α，β的相互关系，结合条件向量数量积与向量图形的关系，数形结合得出α-β=π2.

在给出两种方法后，笔者与学生一起比较这两种方法，学生感觉生1的解法好理解，生2的方法简洁.至此学生就会感受到在数学思想方法的指导下，数学解题会更简洁，同时对函数、不等式等知识有了更好的理解.

片段2

例2（2013重庆9改编）4cos50°-tan40°=.

本题学生均化简到2sin80°-sin40°cos40°，接下来大部分学生就不知道该怎么办.最后有一名学生给出了自己的解答：

生3：

2sin80°-sin40°cos40°=2cos10°-sin40°cos40°=2cos10°-sin（30°+10°）cos（30°+10°）=32cos10°-32sin10°32cos10°-12sin10°=3.

看了生3的解答过程，学生都很惊叹，此时都要求生3给大家讲讲怎么想到的，生3不好意思地说自己也是凑巧得到的.本题虽然有了解答，但是却没有理解其本质.

笔者与大家一起分析生3的解答过程，生3的关键步骤在于“40°=30°+10°”，该式子体现了消元的思想.在式子2cos10°-sin40°cos40°中主要涉及两个元：10°和40°，不难发现这两个元之间满足关系：40°-10°=30°，由此消去一元即可.

此时笔者让学生思考还有哪些方法可以解决该问题.

生4：由40°-10°=30°得10°=40°-30°，消去10°，计算明显减少.

生5：直接由式子2sin80°-sin40°cos40°中的两元80°和40°，由80°+40°=120°消去一元80°即可得到结果.

在这个过程中，学生明白了方法的本质，通过运用，体会了数学思想的内涵，真正意义上地提高了能力.

古语有云：授之以鱼，只供一饭之需，授之以渔，则一生受用.我们所做的就是授之以鱼的同时更要授之以渔，让学生在会学中乐学.