连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析

母德强 范以撒

摘 要：文章深入分析国内外连续体结构拓扑优化的研究现状，介绍了拓扑优化方法的发展及实现过程中存在的问题。对比分析了均匀化方法，渐进结构优化法，变密度法的优缺点。研究了连续体结构拓扑优化过程中产生数值不稳定现象的原因，重点讨论了灰度单元，棋盘格式，网格依赖性的数值不稳定现象，并针对每一种数值不稳定现象提出了相应的解决办法。

关键词：连续体，拓扑优化，均匀化法，渐进结构优化法，数值不稳定

0 引言

结构拓扑优化设计的主要对象是连续体结构，1981年程耿东和Olhof在研究中指出：为了得到实心弹性薄板材料分布的全局最优解，必须扩大设计空间，得到由无限细肋增强的板设计[1]。此研究被认为是近现代连续体结构拓扑优化的先驱。

目前，国内外学者对结构拓扑优化问题进行了大量研究[2]，这些研究大多数建立在有限元法结构分析的基础上，但由于有限元法中单元网格的存在，结构拓扑优化过程中常常出现如灰度单元，网格依赖性和棋盘格等数值不稳定的现象[3]。本文介绍了几种连续体结构拓扑优化方法及每种方法存在的问题，并提出了相应的解决办法。

1.拓扑优化方法

连续体结构拓扑优化开始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均匀化方法，此后许多学者相继提出了渐进结构优化方法、变密度法等拓扑优化数学建模方法。

1.1.均匀化方法

均匀化方法即在设计区域内构造周期性分布的微结构，这些微结构是由同一种各向同性材料实体和孔洞复合而成。采用有限元方法进行分析，在每个单元内构造不同尺寸的微结构，微结构的尺寸和方向为拓扑优化设计变量。1988年Bendsoe研究发现 [4]，通过在结构中引入具有空洞微结构的材料模型，将困难的拓扑设计问题转换为相对简单的材料微结构尺寸优化问题。

很多学者发展了均匀化方法，Suzhk进行了基于均匀化方法结构形状和拓扑优化协同设计[5]。Hassani等全面系统的总结了基于均匀化理论的拓扑优化理论和算法[6]。该方法的优点：数学理论严谨，在理解拓扑优化的理论框架方面有重要的意义。缺点：（1）均匀化弹性张量的求解操作繁琐，内部微结构的形状和方向难以确定。（2）计算结果容易产生棋盘格和多孔材料等数值不稳定性问题，可制造性差[7]。

1.2.渐进结构优化法

渐进结构优化的设计理论与方法，是由谢亿民于1993年提出的，主要用于连续体结构拓扑优化设计问题。ESO方法通过逐渐将无效或低效的材料删除，实现连续体结构拓扑优化，避免了多变量数学规划求解问题。ESO方法中主要有三种方法删除无效或低效单元。

近年来ESO由于突出的优点而得到迅速的发展，同时存在的问题也不容忽视。主要优点有：不仅可以解决各类结构的尺寸优化，还可以实现形状和拓扑优化；拓扑形式清晰，迭代过程在计算机上实现，可以对有限元分析结果进行后处理近似得到灵敏度值，且在优化过程中避免二次划分网格问题。缺点是：迭代次数较多，计算效率较低，且通用性、数值稳定性差。

1.3.变密度法。

密度法是人为假定单元的密度和材料物理属性之间的某种对应关系，以连续变量的密度函数形式表达这种对应关系。变密度法是基于各向同性材料，以每个单元的相对密度作为设计变量，将结构拓扑优化问题转化为材料最优分布设计问题，应用优化准则法或数学规化方法来求解材料最优分布设计。

1999年Sigrnund等证实了该方法物理意义的存在性。变密度法主要优点有：设计变量少；程序实现简单；以结构重量为目标，不存在多目标问题。不足有：（1）优化过程中存在相对密度在[0，1]之间单元。对于中间密度的单元，是否删除就变得难以抉择；（2）以柔度最小为优化目标，在解决含有强度和刚度约束的优化问题时不够方便。

2.拓扑优化中数值不稳定现象及其解决方法

2.1.灰度单元

灰度单元是在优化结构中大量存在密度介于0-l之间的单元，导致优化结果难以确切的给出拓扑构型，从而使优化结果难以在工程实际中应用。存在灰度单元的根本原因是连续模型同原离散模型的逼近问题，灰度单元主要存在于SIMP等变密度法中，两种主要解决办法：（1）加大SIMP模型中的惩罚因子，随着惩罚因子的增大，使设计变量的值越来越接近于拓扑优化特征函数期望的值。（2）滤波半径过大会产生灰度单元，合理确定滤波半径的值，可以抑制灰度单元的生成。

2.2.棋盘格式

棋盘格式是指结构优化过程中单元材质密度周期性高低分布，拓扑呈现为黑白相间，如同棋盘。Bendsoe认为，棋盘格式的出现与优化问题解的存在性以及有限元近似的收敛性密切相关，是连续问题的解以弱收敛方式逼近原离散问题的真实解时出现的一种现象。为了获得清晰的图形，一些解决的方法如：（1）灵敏度过滤技术（2）采用较为稳定的有限元模式，改变优化目标函数的泛函，使优化过程趋于顺畅。（3）Kikuchi等提出 使用“超参元”，可以在一定程度上抑制棋盘格。

2.3.网格依赖性

网格依赖性是指拓扑优化计算结果与计算区域的网格密度有关，选择不同的网格密度，可能会产生不同的优化结果，且随着网格的剖分密度增加，优化结果的几何复杂性增加，几何尺寸逐步减小。网格依赖性使得计算结果的可制造性下降。

3.总结

文章对拓扑优化的方法、优化时存在的问题及解决问题办法进行了分析。通过分析可知拓扑优化设计的理论和技术需要进一步的发展。在应用研究中不断拓展和延伸优化研究的广度和深度，将是拓扑优化研究工作的必然发展方向。

参考文献：

[1]Cheng K T， Olhoff N. An investigation concerning optimal design of solid elastic plates [J]. International Journal of Solids and structures， 1981， 17（3）： 305-323.

[2]郭中泽， 张卫红， 陈裕泽. 结构拓扑优化设计综述[J]. 机械设计， 2007， 24（8）： 1-6.

[3]Bendsoe M P， Sigmund O. Topology Optimization： Theory， methods， and applications [M]. New York： Springer， 2003.