两圆外切问题教学中的研究

杨臣光

【摘要】 两圆外切是一个重点部分，通过变式探究，可得出很多不同的结论.

【关键词】 两圆外切；变式探究；基本结论；变式结论

初中数学“圆”的内容中，两圆外切是一个重点部分，课本中给出的例题只是一些简单的结论，但老师们在教学中发现，通过变式探究，可得出很多不同的结论.

如图1，☉O1与☉O2外切于点A， BC为两圆外公切线，B，C为切点，AD为内公切线，AD与BC相交于点D，则有结论BA⊥AC.

这只是一个基本结论，以图1为基本图，我发现此图形有许多的变式结论.

如图2，连接BO1，CO2，连接DO1，交☉O1于E点，连接DO2，交☉O2于F点.

则有DO1垂直平分BA， E为弧AB中点， DO1平分∠BDA， E为△DBA内心；

同理有DO2垂直平分AC， F为弧AC中点，DO2平分∠ADC，F为△DAC内心；

若记☉O1半径为R，☉O2半径为r， 则有DA2 = R·r，或者BC = 2DA = 2.

以圖2为基本图，如图3：BC与O1O2的延长线相交于点P， 直线O1O2与☉O1交于点G，与☉O2交于点H， 连接BG， CH.

图3中，变式结论有：

（1）找相似直角三角形：Rt△BGA∽Rt△ABC∽Rt△CAH∽Rt△DO1O2∽Rt△BO1D∽Rt△AO1D∽Rt△CDO2∽Rt△ADO2等.

（2）找平行：BG∥DO1∥CA，BA∥DO2∥CH，BO1∥CO2等.

（3）找比例关系形成的等式：PA2 = PG·PH = PC·PB，

PO2·PG = PA·PO1或PA·PO2 = PO1·PH， = = = ，等等.

（4）找相等的角：∠ADO1 = ∠BDO1 = ∠ABO1 = ∠BAO1 =∠DAC = ∠DCA = ∠AO2D = ∠CO2D = ∠O2CH = ∠O2HC，∠ADO2 = ∠CDO2 = ∠PCH = ∠ACO2 = ∠CAO2 = ∠DAB = ∠DBA = ∠BO1D = ∠AO1D = ∠O1BG = ∠O1GB，等.

以图2为基本图，如图4：延长DO1交☉O1于M点，延长BO1 交☉O1于N点，过N点作☉O2的切线NK，切点为K.

由切割线定理可得DE·DM = DA2，由图（2）的结论可知 DE·（DE + 2R） = Rr ，那么在已知R与r的情况下，根据求根公式可求得DE长度. 同理可求DF.

另一变式结论：由切割线定理和射影定理可得NK2 = NA·NC = NB2 = （2R）2，推出NK = 2R. 同理可得另一相似结论.

以图2为基本图，如图5：

直线O1O2与☉O1交于E点，与☉O2交于F点，延长EB，FC交于点G，可证明G，D，A三点在同一条直线上，且可证明四边形ABGC为矩形，此图形常与二次函数相结合，考查学生的综合解题能力，襄樊市2004年数学中考压轴题即为此题型.

两圆外切的变式是很有趣味的，笔者在此抛砖引玉，敬请大家指正.