优化思想，解决含参问题

王如刚

摘要：在高考数学中，含参问题既是考查的重点又是考查的难点。对此，笔者在本文中运用一系列具体的例题加以解释说明，以便为学生的解题提供可参考的思路。

关键词：含参问题；讨论点；例题解析

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0124

含参数的一元二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，如何选择讨论标准是学生不易掌握的内容。其实，学生只要把握下面的三个“讨论点”，一切便可迎刃而解。

讨论点一：二次项系数是否为零、正数或负数，目的是讨论不等式是否为二次不等式及二次函数图像的开口方向。

讨论点二：判别式是否为正数、零或负数，目的是讨论二次方程解的个数问题。

讨论点三：两根差的正负，目的是比较根的大小。

示例1. 解下列不等式：

（1）m（x-1）（x+3）>0；

分析：该小题在三个“讨论点”中，只需按“讨论点一”讨论即可，即对二次项系数是否为零、正数或负数进行分类讨论。

解答：①m=0，无解

②m>0，解为{x x>1或x<-3}

③m<0，解为{x -3

（2）x2+mx+1<0；

分析：该小题在三个“讨论点”中，只需按“讨论点二”讨论即可，即对判别式是否为正数、零或负数进行分类讨论。

解答：①当△>0，即m2-4>0，m>2或m<-2时

解为{x ■

②△=0，即m=±2时，解为

③△<0，即-2

（3）x2-x-a（a-1）>0

分析：该小题在三个“讨论点”中，只需按“讨论点三”讨论即可，即对相应的二次方程的两根大小进行分类讨论。

解答：（x-a）（x+a-1）>0

相应一元二次方程两根x1=a，x2=-（a-1）

作差：a-[-（a-1）]=2a-1

令2a-1>0，即当a>■时，a>-（a-1）

∴不等式解为{x x>a或x<-（a-1）}；

当a=■，不等式解为{x x≠■}；

当a<■，不等式解为{x x-（a-1）}，

以上三个小题展现了含参一元二次不等式问题讨论的三种最基础类型，即讨论二次项系数、讨论判别式、讨论两根的大小。学生熟练掌握这三种分类讨论标准，对其他的一些变式或拓展也可进行分析解答。

示例2. 解关于x的不等式：mx2-3（m+1）x+9>0（m∈R）

分析：通过因式分解得相应方程有两解，因此该题无需讨论判别式，但仍需要讨论二次项系数及两根大小。

解答：m=0时，解为{x x<3}

m≠0时，相应方程两根x1=■，x2=3

①当m<0时，∵■<3∴解为{x ■

②m>0时，

当■<3时，即m>1时，解为{x x>3或x<■}；

当■=3时，即m=1时，解为{x x≠3}；

当■>3时，即0■或 x<3}；

当一个问题中需要两个及以上的分类标准时，学生必须按顺序对每个分类标准进行分类。一般地，这三个分类标准的顺序依次为：先讨论二次项系数，然后讨论判别式，最后讨论两根大小。

有些题目表面看不是含参一元二次不等式问题，但经过转化与化归后其实质仍是含参的一元二次不等式问题。

示例3. 已知函数f（x）=ax+■+c（a>0）的图像在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1.

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围.

解答：（1）解得b=a-1c=1-2a

（2）由（1）知，f（x）=ax+■+1-2a.

令g（x）=f（x）-ln x

=ax+■+1-2a-ln x，x∈[1，+∞），

则g（1）=0，

g′（x）=a-■-■

=■=■

①当01.

若1

②当a≥■时，■≤1.

若x>1，则g′（x）>0，g（x）是增函数，所以g（x）>g（1）=0，即f（x）>ln x，故当x≥1时，f（x）≥lnx.

综上所述，所求a的取值范围为[■，+∞）。

在解题过程中，学生应不断提升自己的思维品质，尤其是在我国高考选拔的制度下，这样对某一类问题归纳总结，优化思想的方法特别重要。一句话，高考数学是命题专家与带领学生复习应考的教师以及考生之间的一种微妙的“猜题与（下转第126页）（上接第124页）反猜题”，“试图运用套路与反套路”的一场“游戏”，这就要求学生必须洞察数学问题、方法、思想的来龙去脉，即设法发现数学问题的本质。唯有如此，学生才能在高考中立于不败之地。

例如，2010年全国高考辽宁卷理科第21题第1小题：已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1讨论函数f（x）的单调性。

解答：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=■+2ax=■；

当a≥0时，f ′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；

当a≤-1时，f ′（x）<0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；

当-10；x∈（■，+∞）时，f ′（x）<0，故f（x）在（0，■）单调递增，在（■，+∞）单调递减。

我们反思这道高考题的解答过程，虽然其表面是含有参数的对数函数问题，但化简之后其实质仍然是含有参数的一元二次不等式问题。因此，学生在解题过程中，应擦亮双眼，认清事物的本质，从而利用有效的解题方法使问题迎刃而解。

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区钱清中学 312000）