对一道课后题解法的探究

江宝龙

【摘要】 高中数学教学的基础在教材，发展能力也要依靠教材. 教材的例题和习题是经过专家精心筛选的，应充分利用好教材习题，做到一题多解、多题一解、一题多变，往往会起到事半功倍的效果.

【关键词】 教材；方法；探究

本文对人民教育出版社出版的《普通高中新课程标准实验教科书数学选修2—2》89页练习2解法做简单研究.

题目 求证 + > 2 + .

分析 其实这个题非常简单，很多同学都会仿照该节课的例题2，利用平方的手段对其证明.

证明 （平方手段）

要证 + > 2 + ，

只需证（ + ） 2 > （2 + ）2成立，

只需证13 + 2 > 13 + 4 成立，

即 > 2 成立，即42 > 40成立.

∵ 42 > 40显然成立，

∴ + > 2 + .

变式一 - > - .

此变式很容易发现就是对该题做一个移项处理，但是却蕴含着大文章.

法一 （移项平方） 证明略.

法二 （分子有理化）

解析 要证 - > - 成立，

只需证 > 成立，

只需证 + < + 成立.

∵ < ， < ，

∴ + < + ，

∴ > ，

∴ - > - .

法三 （巧用斜率）

要证 - > - 成立，

只需证 > 成立.

令k1 = ，k2 = .

其中，k1表示连接（5， ），（7， ）两点直线的斜率，k2表示连接（6， ），（8， ）两点直线的斜率.

∵ 函数f（x） = 在定义域内为增函数，且在任意一点处切线的斜率逐渐减小，

∴ k1 > k2，所以 > .

法四 （巧用构造函数）

构造函数f（x） = - .

要证 - > - 成立，

只需f（5） > f（6）成立.

∵ f（x） = - 在定义域内为减函数（由单调性定义或者导数或者分子有理化都容易说明其单调性），

∴ f（5） > f（6），∴ - > - .

变式二 - < - （n∈N*）.

此变式是利用本章刚刚讲过的归纳推理，可以归纳出一个简单结论，利用上面的方法均能证明.

《普通高中数学课程标准》对高中数学教学建议第2条提到：帮助学生打好基础，发展能力. 高中数学教学的基础就在教材，发展能力也要依靠教材，教材是高中数学教学的基础. 对书上例题和课后题的把握和深度研究就显得尤为重要，充分利用好例题和课后题，能取得事半功倍的效果，既巩固了基础知识，又发展了学生的能力.