APOS理论在高中数学习题课教学中的应用及启示

田沛雨 鞠海燕

一、引言

新的高中数学课程标准中指出“使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”“要关注学生提出数学问题、分析问题、解决问题等过程的评价”等等，可见新课程理念中对数学解题的重视.传统课堂上的解题，注重结果，强调正确答案；而在新课程理念倡导下“问题解决”则更加注重解决问题的过程、策略以及思维方法，强调学生在解决问题中情感、态度、价值观的培养.这些理念的提出对教师提出了更高的要求，教师就需要不断寻找学生的思维障碍所在，探究障碍形成的原因，把握学生的认知过程，减少机械灌输，实现高效的课堂教学.本文结合美国数学教育家杜宾斯基的APOS理论分析学生解题中的思维过程，探究其对高中数学习题课教学的帮助和启示.

二、APOS理论在解题中的应用

1.高中学生的认知规律

APOS理论是在学生主动建构知识的基础上的学习理论，它强调学生的主动学习而不是被动接受，高中生已能够有计划有预见性地解决问题，元认知能力有了很大的提高，具有了很强的自我反省能力、迁移能力，理解能力已发展到了较高的水平，具备了能动的建构知识的过程.

2.APOS理论在学生解题中的应用

以“求y=sinπ3-12x，x∈[-2π，2π]的单调递增区间”为例介绍一下APOS理论在学生解题过程中的应用.操作阶段：题目类似于问题情境作用在学生身上，引起了学生思考如何求解这个函数的单调区间.过程阶段：学生充分调动知识系统中的图示解决题目的过程.审查、分析题目之后学生就会在思维中再现知识体系，从中寻找合适的图示去解决问题.如果题目简单，比如是定理或概念的直接运用，那么用已有的图示就能顺利地解决问题.如果题目稍微综合一点，学生就会寻找和题目相关的图示，有些题目不是直接考查定理、概念如何使用而是考查学生对定理、概念理解的过程，这时学生就需再现知识形成过程中的思维机制（此时实际是APOS理论逆用的过程），找到正确的理解过程.在这个题目中，学生首先会想到正弦函数的单调性，接着发现此题不单纯是正弦函数的问题而是一个复合函数单调性的求解，学生就会从自己的认知结构中寻找相关的对象：复合函数单调性如何判断？知识提取和运用的过程也是学生不断试误的过程，这过程中的经验就会内化到思维中，当学生纠正了错误的思路找到正确的思路时，学生就能压缩整个过程得到对象——完整的解题思路.这次的解题经验就会和原有的认知结构相融合而形成新的图示.学生能用这时的图示去解决类似的问题，不必再去重现调动知识的全过程.在这个APOS解题的过程中强化了学生对知识的理解、应用能力和实际动手操作的技能，以后就能熟能生巧.

三、APOS理论对教学活动的启示

“在教育教学过程中，教育者要发挥自己的创造性，结合学生的反馈信息，竭力寻求应用理论解决实际教学问题的途径和方法.”教师以理论武装自己，让理论与实践达到完美的结合.APOS的理念有效地融入习题课堂需要教师走近学生，和学生有很好的信息交流和反馈，充分地把握学生的认知，才能在课堂上和学生达成共鸣.综合以上分析得出几点启示：①对于复杂的题目，需要老师提纲挈领地展现大的知识框架，然后及时地发现学生出错误的小知识点即小的Object，有针对性地纠错，从而修正学生思维结构中的大的图示；②通过APOS理论对解题思维障碍的展示，教师进行有针对性的讲解，在课堂上重点突出，有的放矢；③根据学生的思维难点所在设置更加富有层次性、梯度性的题目，让学生由易到难地接受知识；④把握住学生的思维障碍可以因势利导地引导学生自我反思，有利于培养学生的反思能力；⑤通过把握学生的思维过程可以在解题中的不同环节加强数学思想和基本理念的培养，可以把握和引导学生的形象思维、直觉思维、逻辑思维；⑥在学生和教师的互动过程中教师应重视和鼓励学生的发散思维和创新思维，培养学生的问题意识，鼓励学生提问、质疑、释疑，培养学生的探索精神.教师只有把握住学生解题过程中的思维障碍点，针对学生错误的阶段强化讲解和练习，才能达到高效的教学.

四、总结

习题课的讲授不仅要让学生学会具体题目的解法，而且要让学生达到对知识的灵活运用，掌握数学思维和数学思想方法，通过习题加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学的知识体系，完善头脑中已有的认知结构.结合APOS理论的问题解决的过程，能很好地培养学生的数学素养，激发学生的积极性；对教师把握问题的难度、学生的掌握知识的情况以及学生的思维障碍点很有用，让课堂教学更有针对性.课堂情境的实施就是操作阶段的进行，设置有层次、有梯度的问题情境对后续阶段起着重要的作用，教师应通过习题的解决再现基本概念思维的过程，让学生在解题中完善原有的认知结构，给知识以总结，让学生的知识得到升华.