无限区间上有界变差函数的学习探讨

林燕

摘 要： 本文对无限区间上的有界变差函数及其性质进行学习探讨，结合具体实例，将无限区间上的有界变差函数与有限区间上的有界变差函数进行比较，探究两者之间的区别和联系.

关键词： 有界变差函数 无限区间 有限区间

实变函数理论是现代数学的重要基础，是现代分析数学诞生的标志之一.有界变差函数是实变函数中一类重要的常用函数，具有很多好的性质，与单调增函数和不定积分有着紧密的联系.在数学发展的历史上，有界变差函数是在考察弧长的存在问题时首先被引入的.有界变差函数在定积分概念的推广中起着主导作用，在许多其他数学积分问题中也有着重要的意义.

常见的实变函数和微积分学教材（见文献[1]-[3]），大多关注有限区间上的有界变差函数，详细探讨有限区间上的有界变差函数的各种性质，但对无限区间上的有界变差函数涉及较少.在深入学习实变函数及其后续的实分析课程过程中，需要对无限区间上的有界变差函数进行研究，它具有一些与有限区间上的有界变差函数相似的性质，但两者有一些不同之处.下面从无限区间上的有界变差函数的定义和性质出发，通过具体实例的探讨，旨在帮助学生正确理解无限区间上的有界变差函数与有限区间上的有界变差函数的区别和联系.

1.无限区间上的有界变差函数及其性质

本文中将用R表示全体实数，用C表示全体复数，用N表示全体正整数.

我们首先给出全变差函数的定义：

定义1[4]：设函数f∶R→C，令

综上所述，无限区间上的有界变差函数与有限区间上的有界变差函数两个概念之间既有区别又存在着联系.教师在讲授实变函数及其后续的实分析课程过程中，应该以这两个概念的定义为出发点，深入剖析两者的基本性质，并结合具体函数的例子，帮助学生正确理解无限区间上的有界变差函数与有限区间上的有界变差函数这两个容易混淆的概念.

参考文献：

[1]程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]周民强.实变函数论（第一版）[M].北京：北京大学出版社，2001.

[3]菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第三卷）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]Gerald B.Folland.Real Analysis；Modern Techniques and Their Applications 2nd ed.[M].北京：世界图书出版公司北京公司，2007.

资助项目：北京高等学校青年英才计划项目（YETP0946）；北京市人才培养共建项目“数学系人才培养模式的改革与创新探索”；中国矿业大学（北京）2014年“大学生创新训练计划”项目“线性算子理论及其应用”。