相容半连续格

李海龙，姜广浩

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

1 预备知识

1971年因理论计算机的语义问题，Scott提出了连续格的概念［1］，随着后人的研究将其推广到一般范围内，Ray首先提出了半素理想的概念，并研究了它的一些性质［2］.Zhao利用半素理想得到一种新的关系，由此定义了半连续格并研究了它的性质［3］，伍秀华等又进一步研究了半连续格的性质［4］.在此基础上，本文定义了相容半连续格的概念，研究它的一些性质，并得到相容半连续格的任意收缩仍是相容半连续格的结论.

定义1［5］设L是格，I⊆L是理想，若对任意x，y，z∈L，当x∧y∈I，x∧z∈I时，有x∧（y∨z）∈I，则称I为L的半素理想.Rd（L）表示所有半素理想构成的集合.

定义2［6］设L是完备格，∀x，y∈L，称x⇐y，如果对∀S∈Rd（L），y≤supS，有x∈S.

2 相容半连续格

定义3 设L 是格，x，y∈L，如果对∀S∈Rd（L），若supS存在，且y≤supS，有x∈S，则称x弱⇐关系y，记为x⇐wy.对任意的x∈L，记⇓wx＝｛y∈L：y⇐wx｝.

定义4 设L是格，S∈Rd（L）称为L的相容半素集，如果存在x∈L，使得S⊆⇓wx.记Ic（L）＝｛S：S是L的相容半素集｝.

定义5 若格L中任意相容半素集都有并和交，则称L是相容完备格.

定义6 设L是相容完备格，∀x，y∈L，x称为相容⇐关系y，记为x⇐cy，如果对∀S∈Ic（L），若y≤supS，有x∈S.记为⇓cy＝｛x∈L：x⇐cy｝.

定理1 设L是相容完备格，则对∀x，y，z，u∈L，有

1）x⇐wy⇒x⇐cy；

2）u≤x⇐cy≤z⇒u⇐cz.

证 1）由⇐c和⇐w定义易知.

2）对∀S∈Ic（L），若z≤supS，由y≤z知，y≤supS.又由x⇐cy知，x∈S，又u≤x，S为理想，有u∈S，故u⇐cz.

定理2 设L是相容完备格，则对∀x∈L，⇓cx为L的相容半素集.

证 首先证⇓cx为理想.对∀a∈⇓cx，∀b∈L，若b≤a，由定理1知，b∈⇓cx，故⇓cx为下集.对∀y，z∈⇓cx，由⇐c的定义知，∀S∈Ic（L），x≤supS，有y，z∈S.因S为理想，故y∨z∈S，从而y∨z∈⇓cx，所以⇓cx为理想.

再证⇓cx为半素理想.设a∧b∈⇓cx，a∧c∈⇓cx，由⇐c的定义知，对∀S∈Ic（L），若x≤supS，有a∧b∈S，a∧c∈S.由S为半素理想，有a∧（b∨c）∈S.再由⇐c的定义知a∧（b∨c）∈⇓cx，故⇓cx为半素理想.

下证⇓cx为相容半素集.∀a∈⇓cx，由⇐c的定义知，∀S∈Ic（L），若x≤supS，有a∈S，从而⇓cx⊆S.又S为相容半素集，从而∃b∈L，使得S⊆⇓cb，即⇓cx⊆⇓cb，故⇓cx为相容半素集.

引理1 相容完备格的有限个相容半素集的并仍为相容半素集.

证 设L为相容完备格，令S＝∪｛Si：Si∈Ic（L），i∈Λ，Λ为有限集｝.因格L的有限个半素理想的并仍是它的半素理想［3］，故S为L 的半素理想.由Si为相容半素集知，存在xi∈L，使得Si⊆⇓wxi.因L为相容完备格，从而，即xi，有.从而故S，所以S 为相容半素集.

定义7 设L是相容完备格，若对∀x∈L，有x≤sup⇓cx，则称L为相容半连续格.

定义8 设L是相容完备格，B⊆L.若∀x∈L有

1）↓（ ⇓cx∩B）∈Ic（L）；

2）x≤sup（ ⇓cx∩B），

则称B为L的半基.

定理3 设L是相容完备格，若B为L的半基且B⊆B＊，则B＊为L的半基.

证 只 要 证 对 ∀x∈L，有 ↓ （⇓cx∩B）＝↓（ ⇓cx∩B＊）.一 方 面，因 B⊆B＊，所 以（⇓cx∩B）⊆ （⇓cx∩B＊），于 是 ↓ （⇓cx∩B）⊆↓（ ⇓cx∩B＊）.另一方面，对∀y∈↓（ ⇓cx∩B＊），有y⇐cx.因B 为L 的 半基，所 以 ↓ （⇓cx∩B）∈Ic（L），且x≤sup （⇓cx∩B）.又由y⇐cx知，y∈↓（ ⇓cx∩B），于 是 ↓（ ⇓cx∩B＊）⊆ ↓（ ⇓cx∩B），故↓（ ⇓cx∩B）＝↓（ ⇓cx∩B＊），所以B＊为L的半基.

定理4 设L是相容完备格，则L为相容半连续格⇔L存在半基.

证 必要性.设L为相容半连续格，则对∀x∈L，有⇓cx为相容半素集和x≤sup⇓cx，于是有↓（ ⇓cx∩L）＝⇓cx∈Ic（L），x≤sup（ ⇓cx∩L），故L为其本身的半基.

充分性.设B为L的半基，则对∀x∈L，有x≤sup（ ⇓cx∩B），由⇓cx∩B⊆⇓cx，所以x≤sup⇓cx，从而L为相容半连续格.

定理5 设L是相容完备格，B⊆L.则B为L的半基⇔对∀x∈L，有↓（ ⇓cx∩B）∈Ic（L），且对∀x，y∈L，若y／≤x，则∃b∈B，使得b／≤x，b⇐cy.

证 必要性.若B为L的半基，则对∀y∈L，有↓（ ⇓cy∩B）∈Ic（L），且y≤sup（ ⇓cy∩B），对∀x∈L，若y／≤x，则sup（⇓cy∩B）／≤x，从而∃b∈B∩⇓cy，使得b／≤x.

充分性.只要证对∀x∈L有x≤sup（ ⇓cx∩B）.假设∃a∈L，使得a／≤sup（⇓ca∩B），由条件知∃b∈B∩⇓ca，使得b／≤sup（⇓ca∩B），矛盾.从而对∀x∈L，有x≤sup（ ⇓cx∩B），又↓（ ⇓cx∩B）∈Ic（L），故B为L的半基.

定义9 设L是相容完备格，x∈L，B是L的相容半素集，B称为x处的相容半素极小集，若B≠∅且满足

1）x≤sup B；

2）∀S∈Ic（L），若x≤supS，则∀b∈B，∃s∈S，使得b≤s.

定理6 设L是相容完备格，x，y∈L，则x⇐cy⇔∀S∈Ic（L），若y≤supS，则∃s∈S，使得x≤s.

证 必要性.由x⇐cy知，∀S∈Ic（L），若y≤supS，有x∈S.只需取s＝x∈S，从而有x≤s.

充分性.对∀S∈Ic（L），若y≤supS，则∃s∈S，使得x≤s.由S为相容半素集，从而S为理想，故x∈S.再由⇐c的定义知，x⇐cy.

定理7 设L是相容完备格，∀x∈L，B是x处的相容半素极小集⇔B⊆⇓cx且x≤sup B.

证 必要性.因B是x处的相容半素极小集，由定义知，x≤sup B.∀S∈Ic（L），若x≤supS，则∀b∈B，∃s∈S，使得b≤s，从而b⇐cx，即b∈⇓cx，故B⊆⇓cx.

充分性.由B⊆⇓cx，∀b∈B有b⇐cx.由定理6知，∀S∈Ic（L），若x≤supS，则∃s∈S，使得b≤s.又x≤sup B，故B是x处的相容半素极小集.

定理8 设L是相容半连续格，∀x∈L，若x处有相容半素极小集，则⇓cx是x处的最大相容半素极小集.

证 由于L是相容半连续格，故x≤sup⇓cx.对∀a∈⇓cx，由定理6知，∀S∈Ic（L），若x≤supS，则∃s∈S，使得a≤s，故⇓cx为x处的相容半素极小集.再由定理7知，对x处的任意相容半素极小集B，有B⊆⇓cx，故⇓cx是x处的最大相容半素极小集.

定义10 设L，Q是相容完备格，f：L→Q是保序映射.若对∀S∈Ic（L），有f（supS）＝supf（S），则称f为相容半连续的.

定理9 设L，Q是相容半连续格，映射f：L→Q是相容半连续的且保⇐c关系⇔f保相容半素极小集.

证 必要性.设f：L→Q是保⇐c关系的相容半连续映射，B是x处的相容半素极小集，则x≤sup B.由 f 保 序，故 有 f（x）≤f（sup B）＝sup f（B）.由定理7知B⊆⇓cx.于是，∀b∈B 有b⇐cx.由f 保⇐c关系，f（b）⇐cf（x），即f（b）∈⇓cf（x），从而f（B）⊆⇓cf（x）.再由定理7知，f（B）是Q中f（x）处的相容半素极小集.

充分性.设f：L→Q是保相容半素极小集的相容半连续映射，对∀x∈L，由定理8知，⇓cx是x处的最大相容半素极小集.又由f保相容半素极小集，从而f（⇓cx）为Q中f（x）处的相容半素极小集，且由定理7知，f（⇓cx）⊆⇓cf（x）.于是，对任意y⇐cx，有y∈⇓cx，则f（y）∈f（⇓cx），于是f（y）∈⇓cf（x），即f（y）⇐cf（x），故f保⇐c关系.

定理10 设L，Q是相容半连续格，f：L→Q是保相容半素极小集的保序映射，则f是相容半连续的.

证 对∀S∈Ic（L），由L是相容半连续格和f保序，故有f（supS）≥supf（S）.下证f（supS）≤supf（S）.设B是supS处的相容半素极小集，f（B）是f（supS）处的相容半素极小集，则由定义9，对∀b∈B，∃s∈S，使得b≤s，于是f（b）≤f（s）≤sup f（S），从而supf（B）≤supf（S）.再由定义9，f（sup S）≤supf（B），故f（supS）≤supf（S），即f是相容半连续的.

定理11 设L是相容半连续格，Q是相容完备格，f：L→Q是相容半连续的和保⇐c关系的满射，则Q是相容半连续格.

证 ∀y∈Q，由f为满射，则∃x∈L，使得y＝f（x）.由L为相容半连续格，有x≤sup⇓cx.又f为相容半连续的，故y＝f（x）≤f（sup⇓cx）＝sup f（⇓cx）.由 f 是保 ⇐c关系，有f（⇓cx）⊆⇓cf（x），从而y≤supf（⇓cx）≤sup⇓cf（x）＝sup⇓cy，故Q是相容半连续格.

定义11 设L，Q是相容完备格，f：L→Q是保序映射，若对∀S∈Ic（L），有f（supS）＝supf（S），且↓f（S）∈Ic（Q），则称f为强相容半连续的.

定义12 对相容完备格L，Q，若存在强相容半连续映射r：L→Q，h：Q→L，满足r◦h＝iQ（Q上的恒等映射），则称Q为L的收缩.

定理12 相容半连续格的任意收缩仍是相容半连续格.

证 记⇓Qcx＝｛z∈Q：z⇐cx｝，只要证对∀x∈Q，有x≤sup⇓Qcx.由于Q为L的收缩，故存在强相容半连续映射r：L→Q，h：Q→L满足r◦h＝iQ.对∀x∈Q，x＝r◦h（x），h（x）∈L.因为L 是相容半连续格，故h（x）≤sup⇓ch（x）.因r为强相容半连续的，有x＝r◦h（x）≤r（sup⇓ch（x））＝supr（⇓ch（x））.对∀y⇐ch（x），∀S∈Ic（Q），x≤supS，由h为强相容半连续的，有h（x）≤h（supS）＝suph（S）＝sup↓h（S）和↓h（S）∈Ic（Q），故y∈↓h（S），进而∃s∈S，使y≤h（s）.因r为强相容半连续的，从而r保序，故有r（y）≤r（h（s））＝s，进而r（y）∈S，又x≤supS，于是r（y）⇐cx，即 r（⇓ch（x））⊆ ⇓Qcx.由 x≤sup r（⇓ch（x）），有x≤sup（⇓Qcx），故Q为相容半连续格.

［1］Scott D S.Continuous lattices［M］／／Lawvere F W.Toposes，algebraic geometry and logic.Berlin：Springer，1972：97－136.

［2］Ray Y.Semiprime ideals in general lattices［J］.J Pure Appl Algebra，1989，56（2）：105.

［3］Zhao Dongsheng.Semicotinuous lattice［J］.Algebraic Universalis，1997，37（4）：458.

［4］伍秀华，李庆国，许任飞.半连续格的性质［J］.模糊系统与数学，2006，20（4）：42.

［5］李高林，徐罗山，陈昱.半连续格上的半基和局部半基［J］.模糊系统与数学，2010，24（1）：51.

［6］姜广浩.半连续格上的一个注记［J］.模糊系统与数学，2008，22（1）：15.