一类新的LA-群

班桂宁，许永峰，陈 倩，赵丽萍

(广西大学 数学与信息科学学院，南宁 530004)

在有限群理论中，有限p-群是有限群最基本和最重要的分支之一，关于有限p-群的研究，已经有了许多有意义的结果(见文献［1～4］).对于有限p-群的自同构群的阶方面有一个非常著名的LA-猜想：阶大于p2的有限非循环p-群的阶是其自同构群的阶的因子.关于LA-猜想的研究俞曙霞、班桂宁等得到了一系列漂亮的结果.鉴于Rodney James 在文献［5］中给出了阶小于等于p6(p 为奇素数)的有限p-群的完整分类，本文对p6阶群Φ33家族的Φ33(16)进行了推广，得到一类新的p-群，然后利用Schreier 群扩张理论和Van Dyek 自由群理论证明这类群的存在性，并且给出了所得群的一些性质，最后通过计算群的阶小于等于其自同构群的正规子群的阶，以此证明所得到的群为LA-群(满足LA-猜想的群).文中所讨论的群均为有限p-群，p 为奇素数，其余所有参数均为非负整数，相关符号若无特殊说明均是标准的，具体可参考文献［5，7］.

1 相关引理

引理1.1［6］设G 是由生成元x1，x2，…，xr和关系fi(x1，x2，…，xr)=1，i∈I 所定义的群，H=＜a1，a2，…，ar＞(这些ai可能相同)，∀i∈I，fi(a1，a2，…，ar)=1，则存在唯一的满同态σ：G=Fr/N→H使得xi→ai，其中Fr=＜x1，x2，…，xr＞为自由群，Y=＜{fi(x1，x2，…，xr)│i∈I}＞，N=YFr(Y 在Fr中的正规闭包)，G=Fr/N.如果│G│≤│H│＜+∞，则上述的σ为群同构(即H 是由生成元{a1，a2，…，ar}与定义关系fi(a1，a2，…，ar)=1，∀i∈I所定义的群).

引理1.2［7］设G'是G 的全不变子群，并且若N▷G，则G/N是交换群⇔N≥G'.

引理1.3［7］设G 是群，a，b，c∈G 则

(1)［a，b］-1=［a，b］；

(2)［ab，c］=［a，c］b［b，c］；

(3)［a，bc］=［a，c］［a，b］c.

引理1.4［7］设G 是有限p-群，若c(G)＜p，则G 正则.

引理1.5［7］设G 是有限群，则G 的全体中心内自同构组成的Aut(G)的子群，并且它和Z(G/Z(G))是同构的.

引理1.6［8］设G 是PN-群，G/G'和Z(G)的不变型分别为1≤mi≤mi-1≤…≤m1和1≤ks≤ks-1≤…≤k1，则│Ac(G)│=Pa，其中

a=∑min{mj，ki}.

2 主要结果

定理1设G＜α，α1，α2，β1，β2，γ│［α1，α］β1，［α2，α］=β2，［α1，β1］=γ，［β2，α］=γ，αpt=α1pt1==1＞，则G 成为一个群的充要条件是r≤min{s1，s2}，s1≤min{t1，t2}，s2≤min{t2，t}，进一步，在G 成群的条件下有G=＜α，α1，α2，β1，β2，r│［α1，α］=β1，［α2，α］=β2，［α1，β1］=γ，［β2，α］==1，是r≤min{s1，s2}，s1≤min{t1，t2}，s2≤min{t2，t}＞，即其中所给的关系是群 G 的定义关系，且│G │=

证明(I)假设定理中所给的G 是一个群.由［α1，α］=β1［α2，α］=β2［α1，β1］=γ，［β2，α］=γ，得α1α=α1β1，αα1=αβ1-1，α2α=α2β2，=αα2=αβ2-1==β1γ-1β2α=β2γ，αβ2=αγ-1.进而有α=，同理，由此可得因为，所以s1≤t1，r≤t1≤s2≤t2，r≤s2，s1≤t，r≤s1，s2≤t，r≤t.综合上述条件可得r≤min{s1，s2}，s1≤min{t1，t}，s2≤min{t2，t}.

(II)利用群的扩张理论证明在定理所给的条件下群G 的存在性，分以下两步完成：

(1)先证明G1=＜α1，α2，β1，β2，γ│［α1，β1］==1，r≤min{s1，s2}，s1≤t1，s2≤t2＞的存在性，且G1中所给的关系即为群G1的定义关系.令，显然，N 为型不变量的交换群.设F=＜a＞为阶循环群.再设映射τ 如下作用在N 上γ'=γτ=γα1=γ.则根据条件r≤s1，有，此时，故τ∈Aut(N).显然1τ=1.

下证τpt1=1.根据条件τ≤s1≤t1，有=γ，从而=1.若此时记扩张函数f：F×F→N 和α：F →Aut(N)有如下形状：f(ai，aj)=

α(ti)=τi，i=0，1，…，pt1-1，则由Schreier 扩张理论得到N 被F 的一个扩张且F≌G1/N.设在同构σ：F→G1/N 之下a 的像为为陪集中选定的代表元，满足，令=α1，则有G1=＜α1，α2，β1，β2，γ＞，即=1.因此G1是存在的，且

下面利用自由群理论证明G1中所给的关系即为群G1的定义关系.

设F={x1，x2，y1，y2，z}是一个自由群，S={z-1［x1，y1］，［x1，x2］，［x1，y2］，［x1，z］，［x2，y1］，［x2，y2］，［x2，z］，［y1，y2］，［y1，z］，［y2，z］，，则因此，且的子集于是，故由引理1.1 知所以G1=1，γ≤min{s1，s2}，s1≤t1，s2≤t2.

(2)再证明G=〈α，α1，α2，β1，β2γ|［α1，α］=β1，［α2，α］=β2，［α1，β1］=γ，［β2，α］==1，r≤min{s1，s2}，s1≤min{t1，t}，s2≤{t2，t}〉的存在性，且G 中所给的关系即为群G 的定义关系.令

=1，r≤min{s1，s2}，s1≤t1，s2≤t2}〉.设F=〈a〉为pt阶循环群，再设映谢τ 如下的作用在N上，α1'=α1τ=α1α=α1β1，α2'=α2τ=α2α=α2β2，β1'γ，［α1'，β1'］=［α1β1，β1］=β1-1α1-1β1-1α1β1β1=根据条件r≤min{s1，s2}，s1≤t1，s2≤t2，有此时有N=〈α1'=α2'，β1，'=β2'，γ〉，故τ∈Aut(N)，显然1τ=1，

下证根据条件r≤min{s1，s2}，s1≤t，s2≤t，有从而τ pt=1.若此时记扩张函数f：F×F→N 和α：F→Aut(N)，有如下形状

1，则由Schrdier 扩张理论得到N 被F 的一扩张G=Ext(N，pt；1，τ)且F≌G/N.设在同构σ：F→G/N 之下a 的像为为陪集中选定的代表元，满足α，则有即即［α2，即［β2，α］=γ，因此G 是存在的，且

下面利用自由群理论证明G 中所给的关系即为群G 的定义关系.

设F={x，x1，x2，y1，y2，y2，z}是一个自由群，S={y1-1［x1，x］，y2-1［x2，x］，z-1［x1，y1］，z-1［y2，x］，［x，y1］，［x，z］，［x1，x2］，［x1，y2］，［x1，z］，［x2，y1］，因此且的子集于是|G|.由引理1.1 知所以G=〈α，α1，α2，β1，β2，γ|［α1，α］=β1，［α2，α］=β2，［α1，β1］=γ，［β2，{s1，s2}，s1≤min{t1，t}，s2≤min{t2，t}〉.

定理2群G 有下列性质：

(1)G'=G2=〈β1，β2，γ〉，G3=〈γ〉，G/G'=〈αG'，α1G'，α2G'〉，P(G)=〈gp|g∈G〉，Φ(G)=〈β1，β2，γ〉〈αp，α1p，α2p〉；

(2)G 为亚交换p-群；

(3)若p＞3，则G 为正则p-群；

(4)，且其中m=max{s1，s2}；

(6)若t=t1=t2=s1=s2=r=1，则G ≌Φ31(16).

证明(1)由G 的定义关系显然〈β1，β2，γ〉≤G'，且〈β1，β2，γ〉▷G'.令N=〈β1，β2，γ〉，则G/N=〈αN，α1N，α2N〉，因为［α1，α］=β1∈N，［α2，α］=β2∈N，［α1，α2］=1∈N，所以［α1N，αN］=［α2N，αN］=［α1N，α2N］=N，故G/N 为交换群，由引理1.2 知G'≤N，即G'=G2=〈β1，β2，γ〉，从而可得G/G'=〈αG'，α1G'，α2G'〉；又因为［α1，β1］=γ，［α，β2］=γ-1，从而G3=［G，G2］=〈γ〉；G4=［G，G3］=1，可得c(G)=3.由有限群G 的子群P(G)定义有P(G)=〈gp|g∈G〉，即P(G)=所以

(2)因为［β1，β2］=［β1，γ］=［β2，γ］=1，所以G″=［G'，G'］=1，故G 为亚交换P-群.

(3)当p＞3 时，由(1)知c(G)=3＜p，所以G为正则群.

(4)∀g∈Z(G)，设则同理由此可得pr|y2，ps2|x2，ps1|x1，pr|y1，ps1|x，ps2|x，pr|x1pr|x，这使得γ〉，即由g 的任意性可得Z(G)，于是γ〉.进而，所以，其中m=max{s1，s2}.

(5)因为Z2(G)/Z1(G)=Z(G/Z1(G))，所以［Z2(G)，G］⊆Z1(G)=Z(G)，对任意的g=αxα1x1，由此可得pr|x1，pr|x2，pr|x，这使得β2，γ〉，即由g 的任意性可得于是，进而Z2(G)=，所以|，所以|G/Z2(G)|=p3r.

(6)为直接验证，见文献［5］.

定理3在以下六种情形下群G 均为LA-群.情形1：t≤t1≤t2；情形2：t1≤t≤t2；情形3：t1≤t2≤t；情形4：t2≤t1≤t；情形5：t2≤t≤t1；情形6：t≤t2≤t1.

证明取Aut(G)的正规p 子群R=Inn(G)Ac(G)(Ac(G)为G 的中心自同构)，由引理1.5 有|R|(G)|·|G：Z2(G)|，于是只需证明|R|≥|G|，即可知G 为LA-群，而由定理2 知：G/G'=〈αG'，α1G'，α2G'〉=〈αG'〉×〈α1G'〉×〈α2G'〉，其不变型为(t，t1，t2)；，其不变型为(t-m，t1-s1，t2-s2，s1-r，s2-r，r)，其中m=max{s1，s2}；|G：Z2(G)|=p3r.下面只证明情形1 下群G 为LA-群，其他情形下可类似情形1 的证明过程来证明群G 为LA-群.

在情形1 t≤t1≤t2下，G/G'的不变型为t≤t1≤t2，需讨论t，t1，t2，t-m，t1-s1，t2-s2，s1-r，s2-r，r 的大小关系.

(I)当s1≤s2时，m=s2.

(i)不妨设Z(G)的不变型为r≤s1-r≤s2-r≤t-s2≤t1-s1≤t2-s2.

(1)当t1-s1≤t2-s2≤t≤t1时，由引理1.6，a=min{t，t2-s2}+min{t，t1-s1}+min{t，t-s2}+min{t，s2-r}+min{t，s1-r}+min{t，r}+min{t1，t2-s2}+min{t1，t1-s1}+min{t1，t-s2}+min{t1，s2-r}+min{t1，s2-r}+min{t1，s1-r}+min{t1，r}+min{t2，t2-s2}+min{t2，t1-s1}+min{t2，t-s2}+min{t2，s2-r}+min{t2，s1-r}+min{t2，r}=3t+，故群G 为LA-群.

(2)当t1-s1≤t≤t2-s2≤t1时，由引理1.6，a=4t+3t1+2t2-2s2-3r，因此＞|G|，故群G 为LA-群.

(3)当t1-s1≤t≤t1-t2-s2≤t1时，由引理1.6，a=4t+4t1+t2-s2-3r，因此|R|=|G|，故群G 为LA-群.

(4)当t≤t1-s1≤t1≤t2-s2时，由引理1.6，a=5t+3t1+t2+s1-s2-3r，因此|R|=|G|，故群G 为LA-群.

(5)当t≤t1-s1≤t2-s2时，由引理1.6，a=5t+2t1+2t2+s1-2s2-3r，因此＞|G|，故群G 为LA-群.

(ii)同理，对于Z(G)的其它不奕型，类似于(i)的讨论过程可以证群G 为LA-群.

(II)当s2≤s1时，类似于(I)的讨论过程可以证群G 为LA-群.

故在情形1 下群G 为LA-群；对于情形2 到情形6 做类似于情形1 同样的讨论，可以证明群G 为LA-群.