浅析函数的一类“凸”性质
2014-04-10 07:39陈志强
考试周刊 2014年11期
陈志强
摘 要： 本文结合凸函数和平方凸函数的概念，给出了N次幂凸函数的定义和判断N次幂凸函数的三个定理.
关键词： 凸函数 平方凸函数 N次幂凸函数
凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在A凸函数和平方凸函数的概念提出N次幂凸函数的概念，给出了关于对数函数的三个“凸”性质，进一步拓展了凸函数的研究领域，扩大了凸函数的应用价值，使凸函数在不等式研究中发挥更广泛的作用.
定义：设f（x）在区间I上有定义，如果对任意x■，x■∈I，有f（■）≤■
则称f（x）在区间I上是下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是上凸函数.
拓展定义1[1]：设f（x）在区间I上有定义，如果对任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有
f（tx■+（1-t）x■）≤tf（x■）+（1-t）f（x■）
则称f（x）在区间I上是下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是上凸函数.
一、预备知识
在引入新概念之前，我们再给出一个常用概念——平方凸函数.通过算术平均值、几何平均值、调和平均值可以分别用来定义凸函数、几何凸函数、调和凸函数的概念，运用这一规律，我们利用凸函数与平方凸函数的概念模式，再结合N次幂平均值，进一步建立了N次幂凸函数的概念.
定义2[2]：设f（x）是定义在区间I？哿R■上的正值函数，如果对任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有
f（■）≤■
则称f（x）在区间I上是平方下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是平方上凸函数.
定义3：设是定义在区间I？哿R■上的正值函数，如果对任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有
f（■）≤■
则称f（x）在区间I上是N次幂下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是N次幂上凸函数.
二、N次幂凸函数性质
我们已经给出了N次幂凸函数的概念，这里针对凸函数的特点，根据N次幂凸函数的概念，进一步研究N次幂凸函数y=f（x），其反函数、复合函数、倒数函数的凸性.
定理1：设区间1，M？哿R■，f：I→M.
（1）若y=f（x）为I上严格增加的N次幂下（上）凸函数，则反函数y=f■（x）为M上严格增加的N次幂上（下）凸函数.
（2）若y=f（x）为I上严格减少的N次幂下（上）凸函数，则反函数y=f■（x）为M上严格减少的N次幂下（上）凸函数.
证明：这里仅证定理1（1）的前一种情况，其他同理可证.
因为y=f（x）在I上为严格递增函数，所以反函数y=f■（x）在M上为严格增函数.
任取y■，y■∈M，则存在x■，x■∈I
使x■=f■（y■），x■=f■（y■），y■=f（x■），y■=f（x■）
因为y=f（x）为I上是N次幂下凸函数，所以对任意t∈（0，1），
有f（■）≤■
即f（■）≤■？摇？摇（*）
且f（■）∈M，■∈M
又y=f（x）的反函数y=f■（x）在M上是严格增函数，于是（*）式化为
f■（f■）≤f■（■）
即f■（■）≥■
根据定义3及y=f■（x）在M上是严格增函数，可知函数y=f■（x）在区间M上是严格增加的N次幂上凸函数.
定理2：设f（u）是定义在区间I？哿R■上的正值函数，g：A→B，区间A？哿R■，区间B？哿I.
（1）若y=f（u）为I上严格增加的N次幂下（上）凸函数，u=g（x）为A上的N次幂下（上）凸函数，则y=f（g（x））为A上的N次幂下（上）凸函数.
（2）若y=f（u）为I上严格减少的N次幂下（上）凸函数，u=g（x）为A上的N次幂上（下）凸函数，则y=f（g（x））为A上的N次幂下（上）凸函数.
证明 这里仅证定理2（1）的前一种情况，其他同理可证.
任取x■，x■∈A，t∈（0，1）
因为u=g（x）为A上的N次幂下凸函数，则
g（■）≤■
且g（■）∈B，■∈B
又y=f（u）为I上严格增加的N次幂下凸函数，于是
f（g（■））≤f（■）
且f（■）≤■
故f（g（■））≤■
根据定义3，y=f（g（x））为A上的N次幂下凸函数.
定理3：设f（x）是定义在区间I？哿R■上的正值函数，若f（x）是区间I上的N次幂上凸函数，则y=■在区间I上是N次幂下凸函数.
证明：任取x■，x■∈I，t∈（0，1）
因为f（x）是区间I上的N次幂上凸函数，所以
■≤■
又由Cauchy不等式，可得
■·■≥1
于是
■≤■≤■
根据定义3，y=■在区间I上是N次幂下凸函数.
三、小结
本文利用凸函数与平方凸函数的概念模式，结合N次幂平均值，建立了N次幂凸函数的概念，给出了关于N次幂凸函数的三个性质，主要是N次幂凸函数其反函数、复合函数、倒数函数的凸性.
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.197.
[2]吴善和.平方凸函数与琴生型不等式[J].自然科学.2005，26（1）：16.endprint
摘 要： 本文结合凸函数和平方凸函数的概念，给出了N次幂凸函数的定义和判断N次幂凸函数的三个定理.
关键词： 凸函数 平方凸函数 N次幂凸函数
凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在A凸函数和平方凸函数的概念提出N次幂凸函数的概念，给出了关于对数函数的三个“凸”性质，进一步拓展了凸函数的研究领域，扩大了凸函数的应用价值，使凸函数在不等式研究中发挥更广泛的作用.
定义：设f（x）在区间I上有定义，如果对任意x■，x■∈I，有f（■）≤■
则称f（x）在区间I上是下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是上凸函数.
拓展定义1[1]：设f（x）在区间I上有定义，如果对任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有
f（tx■+（1-t）x■）≤tf（x■）+（1-t）f（x■）
则称f（x）在区间I上是下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是上凸函数.
一、预备知识
在引入新概念之前，我们再给出一个常用概念——平方凸函数.通过算术平均值、几何平均值、调和平均值可以分别用来定义凸函数、几何凸函数、调和凸函数的概念，运用这一规律，我们利用凸函数与平方凸函数的概念模式，再结合N次幂平均值，进一步建立了N次幂凸函数的概念.
定义2[2]：设f（x）是定义在区间I？哿R■上的正值函数，如果对任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有
f（■）≤■
则称f（x）在区间I上是平方下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是平方上凸函数.
定义3：设是定义在区间I？哿R■上的正值函数，如果对任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有
f（■）≤■
则称f（x）在区间I上是N次幂下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是N次幂上凸函数.
二、N次幂凸函数性质
我们已经给出了N次幂凸函数的概念，这里针对凸函数的特点，根据N次幂凸函数的概念，进一步研究N次幂凸函数y=f（x），其反函数、复合函数、倒数函数的凸性.
定理1：设区间1，M？哿R■，f：I→M.
（1）若y=f（x）为I上严格增加的N次幂下（上）凸函数，则反函数y=f■（x）为M上严格增加的N次幂上（下）凸函数.
（2）若y=f（x）为I上严格减少的N次幂下（上）凸函数，则反函数y=f■（x）为M上严格减少的N次幂下（上）凸函数.
证明：这里仅证定理1（1）的前一种情况，其他同理可证.
因为y=f（x）在I上为严格递增函数，所以反函数y=f■（x）在M上为严格增函数.
任取y■，y■∈M，则存在x■，x■∈I
使x■=f■（y■），x■=f■（y■），y■=f（x■），y■=f（x■）
因为y=f（x）为I上是N次幂下凸函数，所以对任意t∈（0，1），
有f（■）≤■
即f（■）≤■？摇？摇（*）
且f（■）∈M，■∈M
又y=f（x）的反函数y=f■（x）在M上是严格增函数，于是（*）式化为
f■（f■）≤f■（■）
即f■（■）≥■
根据定义3及y=f■（x）在M上是严格增函数，可知函数y=f■（x）在区间M上是严格增加的N次幂上凸函数.
定理2：设f（u）是定义在区间I？哿R■上的正值函数，g：A→B，区间A？哿R■，区间B？哿I.
（1）若y=f（u）为I上严格增加的N次幂下（上）凸函数，u=g（x）为A上的N次幂下（上）凸函数，则y=f（g（x））为A上的N次幂下（上）凸函数.
（2）若y=f（u）为I上严格减少的N次幂下（上）凸函数，u=g（x）为A上的N次幂上（下）凸函数，则y=f（g（x））为A上的N次幂下（上）凸函数.
证明 这里仅证定理2（1）的前一种情况，其他同理可证.
任取x■，x■∈A，t∈（0，1）
因为u=g（x）为A上的N次幂下凸函数，则
g（■）≤■
且g（■）∈B，■∈B
又y=f（u）为I上严格增加的N次幂下凸函数，于是
f（g（■））≤f（■）
且f（■）≤■
故f（g（■））≤■
根据定义3，y=f（g（x））为A上的N次幂下凸函数.
定理3：设f（x）是定义在区间I？哿R■上的正值函数，若f（x）是区间I上的N次幂上凸函数，则y=■在区间I上是N次幂下凸函数.
证明：任取x■，x■∈I，t∈（0，1）
因为f（x）是区间I上的N次幂上凸函数，所以
■≤■
又由Cauchy不等式，可得
■·■≥1
于是
■≤■≤■
根据定义3，y=■在区间I上是N次幂下凸函数.
三、小结
本文利用凸函数与平方凸函数的概念模式，结合N次幂平均值，建立了N次幂凸函数的概念，给出了关于N次幂凸函数的三个性质，主要是N次幂凸函数其反函数、复合函数、倒数函数的凸性.
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.197.
[2]吴善和.平方凸函数与琴生型不等式[J].自然科学.2005，26（1）：16.endprint
摘 要： 本文结合凸函数和平方凸函数的概念，给出了N次幂凸函数的定义和判断N次幂凸函数的三个定理.
关键词： 凸函数 平方凸函数 N次幂凸函数
凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在A凸函数和平方凸函数的概念提出N次幂凸函数的概念，给出了关于对数函数的三个“凸”性质，进一步拓展了凸函数的研究领域，扩大了凸函数的应用价值，使凸函数在不等式研究中发挥更广泛的作用.
定义：设f（x）在区间I上有定义，如果对任意x■，x■∈I，有f（■）≤■
则称f（x）在区间I上是下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是上凸函数.
拓展定义1[1]：设f（x）在区间I上有定义，如果对任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有
f（tx■+（1-t）x■）≤tf（x■）+（1-t）f（x■）
则称f（x）在区间I上是下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是上凸函数.
一、预备知识
在引入新概念之前，我们再给出一个常用概念——平方凸函数.通过算术平均值、几何平均值、调和平均值可以分别用来定义凸函数、几何凸函数、调和凸函数的概念，运用这一规律，我们利用凸函数与平方凸函数的概念模式，再结合N次幂平均值，进一步建立了N次幂凸函数的概念.
定义2[2]：设f（x）是定义在区间I？哿R■上的正值函数，如果对任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有
f（■）≤■
则称f（x）在区间I上是平方下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是平方上凸函数.
定义3：设是定义在区间I？哿R■上的正值函数，如果对任意x■，x■∈I，t∈（0，1）有
f（■）≤■
则称f（x）在区间I上是N次幂下凸函数；反之，则称f（x）在区间I上是N次幂上凸函数.
二、N次幂凸函数性质
我们已经给出了N次幂凸函数的概念，这里针对凸函数的特点，根据N次幂凸函数的概念，进一步研究N次幂凸函数y=f（x），其反函数、复合函数、倒数函数的凸性.
定理1：设区间1，M？哿R■，f：I→M.
（1）若y=f（x）为I上严格增加的N次幂下（上）凸函数，则反函数y=f■（x）为M上严格增加的N次幂上（下）凸函数.
（2）若y=f（x）为I上严格减少的N次幂下（上）凸函数，则反函数y=f■（x）为M上严格减少的N次幂下（上）凸函数.
证明：这里仅证定理1（1）的前一种情况，其他同理可证.
因为y=f（x）在I上为严格递增函数，所以反函数y=f■（x）在M上为严格增函数.
任取y■，y■∈M，则存在x■，x■∈I
使x■=f■（y■），x■=f■（y■），y■=f（x■），y■=f（x■）
因为y=f（x）为I上是N次幂下凸函数，所以对任意t∈（0，1），
有f（■）≤■
即f（■）≤■？摇？摇（*）
且f（■）∈M，■∈M
又y=f（x）的反函数y=f■（x）在M上是严格增函数，于是（*）式化为
f■（f■）≤f■（■）
即f■（■）≥■
根据定义3及y=f■（x）在M上是严格增函数，可知函数y=f■（x）在区间M上是严格增加的N次幂上凸函数.
定理2：设f（u）是定义在区间I？哿R■上的正值函数，g：A→B，区间A？哿R■，区间B？哿I.
（1）若y=f（u）为I上严格增加的N次幂下（上）凸函数，u=g（x）为A上的N次幂下（上）凸函数，则y=f（g（x））为A上的N次幂下（上）凸函数.
（2）若y=f（u）为I上严格减少的N次幂下（上）凸函数，u=g（x）为A上的N次幂上（下）凸函数，则y=f（g（x））为A上的N次幂下（上）凸函数.
证明 这里仅证定理2（1）的前一种情况，其他同理可证.
任取x■，x■∈A，t∈（0，1）
因为u=g（x）为A上的N次幂下凸函数，则
g（■）≤■
且g（■）∈B，■∈B
又y=f（u）为I上严格增加的N次幂下凸函数，于是
f（g（■））≤f（■）
且f（■）≤■
故f（g（■））≤■
根据定义3，y=f（g（x））为A上的N次幂下凸函数.
定理3：设f（x）是定义在区间I？哿R■上的正值函数，若f（x）是区间I上的N次幂上凸函数，则y=■在区间I上是N次幂下凸函数.
证明：任取x■，x■∈I，t∈（0，1）
因为f（x）是区间I上的N次幂上凸函数，所以
■≤■
又由Cauchy不等式，可得
■·■≥1
于是
■≤■≤■
根据定义3，y=■在区间I上是N次幂下凸函数.
三、小结
本文利用凸函数与平方凸函数的概念模式，结合N次幂平均值，建立了N次幂凸函数的概念，给出了关于N次幂凸函数的三个性质，主要是N次幂凸函数其反函数、复合函数、倒数函数的凸性.
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.197.
[2]吴善和.平方凸函数与琴生型不等式[J].自然科学.2005，26（1）：16.endprint
