应用中线性质解几何题

陆建亮

一、三角形中线将原三角形面积分半.

图1【例1】如图1，在三角形ABC中，BD是中线，AD=CD=112AC，BE⊥AC于E，即BE是△ABC的边AC上的高，同时BE也是△ABD高，也是钝角三角形BCD的高.

解：根据三角形的面积公式，S△ABD、S△BCD的面积可表示为S△ABD=112AD×BE=112×112AC×BE=112DC×BE=S△BDC=112S△ABC.所以△ABD、△BCD的面积相等，都等于△ABC面积的一半.

本题由中线可得D是AC的中点，由性质就有底AD、DC相等，而高BE是同一条的，故面积相等.可以简记：等底同高积相等.

图2【例2】如图2，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线.（1）在△BED中作BD边上的高；（2）若△ABC的面积为20，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？

解：因为AD是△ABC的中线，

所以S△ABD=112S△ABC.同理，S△BDE=112S△ABD.

所以S△BDE=112×112S△ABC=112BD×EF=112×112×20，EF=2.

这题考查的知识点并不是很多，一是要会做三角形的高，另外就是理解点E到BC边的距离就是△BED底边上的高EF；二是掌握中线能把三角形分成两个面积相等的小三角形的性质，本题就是两次运用这一性质很快求出结果.

二、证明或计算三角形中线的问题，常作的辅助线是延长中线使延长的线段比原中线长一倍，或过中点作第三边的平行线，构造成全等三角形或平行四边形.

图3【例3】如图3，已知：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD.

解：延长AD到点E，使DE=AD，即DE是AE的一半.

∵D是CB的中点，

∴CD=BD.

∵△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE..

在△ABE中，AB+BE>AE，∴AB+AC>AE，即AB+AC>2AD.

本题如果直接证明就会很困难，但是考虑到AD是中线，通过延长线段的方法，使得AD=DE，再连结BE，构成三角形，就能将原来分散的条件集中在一起，结合三角形两边之和大于第三边的性质，问题得以解决.

三、由三角形中位线定义可知，同一条件下有两层关系：位置和数量.在运用这个定义时，根据问题的求解进行选择，是平行关系还是数量关系.若遇到三角形两条中线（或两边的中点）同时出现时，可以考虑加辅助线，构造成中位线，再利用三角形中位线的性质来解题.

【例4】如图4，已知△ADC是锐角三角形，分别以AD、AC为边向外侧作两个等边△ABC和△AED，H、G、F分别是CD、BC、DE的中点，连结GH，HF，求证：HF=GH.

图4解：连结CE、BD.

∵△ABC、△ADE都是等边三角形，

∴∠CAB=∠DAE=60°，CA=BA，DA=EA.

又∵∠CAD是公共角，∴∠CAE=∠DAB.

∴△CAE≌△BAD（ASA），∴CE=BD.

又∴G、H、F都是中点，∴2HF=CE，2GH=BD.

∴HF=GH.

本来GH、HF看似与三角形的边没有关系，但想到了点G、H、F都是点，就联想到三角形中位线，由此连结BD、CE，则GH、HF就成了△BDC、△CED的中位线，故此题得以解决.

由三角形中位线可想到梯形的中位线，它也有类似的性质.在考试中常见的有（1）顺次连结对角线相等的四边形（常见有等腰梯形）的中点四边形是菱形；（2）顺次连结对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形.

从以上一些例题看出，由中点到中线再到中位线的过程中都渗透了归纳、类比等数学思想，学生只要在探究学习中学会了分析，懂得了应用性质，就能快速找到解题的突破口.

（责任编辑金铃）endprint