国外“早期代数”研究述评

蒲淑萍

（重庆师范大学，重庆 400700）

代数在学校课程中的重要性和学生学习代数面临的困难，是世界各国数学教学具有共性的问题．这使得人们越来越多地关注“数与代数”教学的连贯性和一致性，强调在小学就应为中学的正式代数学习做好充分准备——早期代数（Early Algebra）成为世界各地政策制定者和数学教育者关注的焦点．然而，对于早期代数的研究却是在2000年以后才正式开始[1]．

目前，尽管世界范围的早期代数研究取得了初步的成果与进展，但仍面临着很多的困惑、争议和挑战．就像美国首席研究员、国家科学基金（The National Science Foundation）“低年级的代数（Algebra in early grades）”项目指导者卡雷赫（Carraher, D. W.）等人所指出的那样，“尽管对于代数在小学课程中占有一席之地达成了某些共识，但是将代数纳入早期数学课程需要的研究基础仍旧是新兴的、少被了解的，离巩固还有很大的距离”[2]．在小学如何实施早期代数教学才能发展学生的代数思维并为高年级代数的正式学习做好充分准备，各国课程开发者、教育研究者、教师、政策制定者还处于思考、探索阶段，尚需在很长一段时间内进行持续不断的理论探索与实践验证，才能逐步完善．通观世界各国早期代数研究成果，探寻该研究领域的起源、已经建构的理论基础是什么？取得了那些进展？对现阶段早期代数研究已取得的成果进行梳理、分析，无疑将对算术教学本质与目的的深入认识、早期代数领域的进一步发展，以及中国的早期代数教学和研究具有理论与实践方面的重要意义．

1 早期代数研究的兴起

20世纪50、60年代起，部分国家就已经尝试在小学介绍代数概念，其中俄罗斯等国在早期代数研究领域已取得较为成功的经验[3]．尽管早期代数的相关研究[4～5]在2000年之前已经开展，但这个阶段的研究处于零散状态，尚未形成相应的学术共同体，早期代数研究还没有成为世界关注的焦点问题．2000年以后，早期代数研究正式开始，它体现在相关的国际专题会议、各国的政策文件以及全球范围的重视与参与．

2001年12月在澳大利亚墨尔本举行的国际数学教育委员会第12届系列专题会议（ICMI-12），会议主题为“代数教学的未来”．在这届会议上，“早期代数工作组（The Early Algebra Working Group，简写作：EAWG）”正式成立，EAWG是本届会议所设8个工作组之一．早期代数研究首次以专门工作组的形式出现在国际专题会议上，标志着早期代数研究登上了数学教育研究的国际舞台[6～7]．

早期代数思想出现在各国一些有影响力的政策文件以及课程标准中，如，在美国为解决“代数问题”，早期代数成为美国教育研究的迫切需要，政府亦采取相应的问责措施使之条文化．同时，全美数学教师委员会（National Council of Teachers of Mathematics，简写作：NCTM）建议代数作为所有K-12年级水平的内容，“为人人的代数”要求必须要在低年级为高年级的代数学习做好准备[8]．中国数学课程标准对在小学发展学生的代数思维也有清晰的表述[9]．如今，早期代数已经成为一个全球范围的研究课题，各国从自身实际出发[10～12]，学习借鉴他国的成功经验，探索本国早期代数教学的有效实施．

当前，培养小学生代数思维的早期代数思想与做法已逐渐走进世界各国的小学课堂，相关的研究也逐渐开展起来，其中较有代表性的是早期代数研究专家坎普特（Kaput, J.）和蔡金法等分别于2008年和2011年编辑出版的两部早期代数研究专著[1，12]，两书分别代表了早期代数研究的两个阶段：前者对早期代数的观念、做法进行探讨；后者则具体到课程、教学和认知，两书从不同视角介绍了早期代数研究的成果．研究主要聚焦这两部著作以及相关的重要文献[2，6]，对早期代数的研究进行梳理、分析、评价．

2 理论基础及初步达成的共识

在早期代数研究的初期人们有着诸多不解与争论，如，早期代数与代数、算术的关系是什么？小学生能否学习代数？学习效果如何？对中学代数的作用是否符合教育研究者预期的目的？小学教师适应早期代数教学吗？需要做什么才能让小学教师胜任早期代数教学，等等．诸多的疑惑与不解历经十多年的发展，有些问题已逐步明朗，达成共识．而针对早期代数的实施及其效果方面的问题则需更多的研究追踪进行，提供实证数据，不断提高早期代数的教学及研究水平．其中已逐步达成的共识包括：

2.1 课程角度

（1）算术与代数的关系．

算术与代数的割裂是各国教育的传统与现实．这种割裂某种程度上会使小学生忽视现实的代数情境的意义，使得学生失去在小学接受代数思维训练的良好时机，造成了学生后期学习代数的诸多困难[13～14]．从算术与代数的关系出发，主要有两派观点：一派认为代数是算术的推广[12，15]，另一派则认为代数不是算术的推广[16～17]．两派观点各有自己的主张．前者认为在处理量和有关运算的过程中，数量的性质化为了一般化的性质，它强调了代数对象的起源．而反对者则认为算术方法，如“逆向运算”能够解决像只在一边含有一个未知量的方程的过程，代数不是算术的一般化，代数是一个纯符号的体系，它可以按照任意规则，在系统中处理任意的符号及其关系，如解决两边都含有未知量的方程就得使用代数的方法．

从早期代数的研究视角看，豪（Howe, 2005）[17]给代数所下的描述性定义或许对两者的关系能给人们更深刻的启示．他认为代数涉及以下内容：

1）使用变量，尤其是带有变量的算术，以及用变量表示的多项式和有理式的构成．也包括用表达式表示和“建模”的具体情境，建立方程．也常推广至包含开方（求根）．……也包括操作表达式和方程以化简、求解并作出解释．

2）代数结构，主要体现在算术规则中（亦即，原理的领域）．……这些规则，连同方程变形的原则（最原始的技巧产生了人们称之为“代数”的学科），总结了 1）所描述的代数表达式以及方程的代数技巧实施的基础．

“带有变量的算术”“建模”“算术规则”等反应了“代数对于算术是固有的”思想，或者说，算术有着“代数”的固有特征，算术与代数是发展代数思维连贯的、一致的整体．早期代数方式关注“代数困难病源学”，他们认为成年时的代数困难主要原因在于小学的数学（算术）学习时的欠缺[2]．如，布斯（Booth, 1988）[18]认为“学生代数学习中的困难在于代数自身的困难并不比算术中未被修正的问题那样多”．

（2）早期代数与“预代数”的关系．

预代数（Pre-algebra）方式[17，19]意在缓和由算术向代数的突然过渡．他们增加或重新定义数学符号的意义与使用．为减轻初学代数学生的困难，其合理性是在正式代数教学前的谨慎干预．

早期代数与“预代数”两者具有某些共同的性质：都是为代数的正式学习做准备，两者也是不易区分界限的两个概念．然而，进一步比较会发现，早期代数重在借助算术内容的结构、关系等，发展学生的代数思维，它贯穿在小学数学学习的整个过程中；而“预代数”往往就具体的内容，如简易方程，通过算术与代数多种表征方式[20]，在发展算术思维的同时，发展学习用代数思想和方法解决问题的能力，体现并努力实现的是“由算术向代数的过渡”[21～22]，但他们也承认学生在代数学习中的问题部分源自学生以前算术的经验，而且他们通常并不质疑算术在先、代数在后的顺序．

“早期代数”研究的一些卓越贡献是来自于没有作为“早期代数”研究者的一些人，如凯若（Kieran C）[23～24]已经给出了对后续研究有着重大影响的“早期代数”研究．再如菲劳艾和若扎诺（Filoy & Rojano）[17]认为对于一元一次方程一边出现变量和两边出现变量，两者之间有着断层，但是有很多中介可以架接桥梁．

（3）代数是从学前教育开始的课程链．

全美数学教师理事会对美国“学校数学的原则和标准”（NCTM，2000）[8]对“代数标准”规定：从学前期至十二年级的数学教育应当能使所有的学生们都能够：① 理解模式、关系和函数；② 用代数符号表征和分析数学情境和结构；③ 用数学模型表征和理解数量关系；④ 分析各种情境中的变化关系．由此不难看出，学校代数不仅是一门课程，而且是一个“从学前教育就开始的课程链”[8]．将代数作为课程链，体现了将“数与代数”作为一个整体的思想，避免了以往因将算术与中学代数割裂开来而造成的代数思维准备不足导致的代数学习困难．

在从课程到课程链的认识变化过程中，体现了课程意识的改变．在此基础上，代数成为：“不仅仅是简单的符号运算．学生需要理解代数概念、支配符号运算的结构和原理以及符号是怎样用于表达观点和洞察情境的．”[8]它体现了两个改变：从将代数当作课程到当作一个课程链，从将代数看作符号操作到看作概念结构和表征系统．

中国义务教育数学课程标准也将“数与代数”作为一个整体看待，分为3个学段逐步发展学生的代数思维能力．

2.2 教学角度

（1）“早期代数”是否等同于“早教（学）代数”．

早期代数的英文写法为：Early Algebra，故而有时简写作：EA．对于“早期代数”是否等同于“早教（学）代数”的问题，卡雷赫（David Carraher）等人明确以Early Algebra Is Not the Same As Algebra Early（早期代数和早教（学）代数不同）为标题作出了回答，清晰地指明不要将早期代数与通常所了解的代数课程1混淆起来．在低年级发展代数思维的手段不是简单地将传统的中学代数课程压进小学数学课程中．而是，在低年级发展代数思维需要根本的变革，怎样看待并教学算术以及更好地理解各种对于学生来说困难的因素使得由算术向代数迁移[1]．

（2）早期代数与算术教学．

早期代数思维，也即“低年级的代数思维”是指：超越熟练掌握计算和流利的计算，注意数学深层次的结构”[1]．在教学中，教师应意识到在低年级发展代数思维需要特殊思维方式的发展，包括分析量之间的关系，注意结构、研究变化，一般化、问题解决、建模，判断，证明以及预测．也即，早期代数学习不仅发展理解数学关系的新工具，也发展新的思维习惯．

早期代数教学必须采取一些不同于传统代数教学采取的方法：① 常规的代数符号不是表达代数思想和关系的唯一手段．表格、数字语句、图表和专门化的语言结构也能表达代数思想；② 物理量的背景和基础在EA教育中或许是需要的，尽管在后面的教育中会合乎情理地缩减或者不再重视；③ 函数为引出现有的许多早期数学主题与活动的代数特征提供了机会[2]．

2.3 认知角度

（1）小学生能否学习“代数”？

Algebra in the Early Grades一书的序言冠以“对早期代数怀疑者的向导”的题目，其目的在于“帮助读者理解为什么引入早期代数的思想常激起教育者和家长的强烈的情绪[12]．“小学生能否学习‘代数’”始终是困扰家长和对早期代数领域缺乏理解的教育者的问题．对此，已有很多关于学习研究证实：有许多明显的、广为接受的理由在小学低年级发展代数思想[11～12]．卡朋特和列维（Thomas Carpenter &Linda Levi）领衔的 NCISLA（the National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science）研究项目“在小学发展代数推理的概念”[25]，是其中最具有代表性的，也是得自长期试验的、对小学生能够接受代数思维训练最有说服力的证据结果．该研究对威斯康星洲麦迪逊市的240名小学生进行长期观察研究，发现小学生具有以建构代数推理能力的方式进行算术推理的能力．同时，他们发现在算术教学中融入早期代数思想，促进了学生对数学对象的一般化、结构化及数量关系的更深刻理解，在增强小学生算术学习能力的同时发展他们的代数思维，缓解了学生因小学阶段代数思维的训练准备不足而造成的中学代数学习时出现的种种困难与障碍，为高年级的代数学习奠定了坚实基础．

（2）发展早期代数思维，对高年级的代数学习有用吗？

已有研究表明[1]，经过早期代数思维训练的学生，比之没有经过早期代数思维训练的学生，更能胜任中学代数学习．

尽管此类研究并不多，需要有更多人从事这方面研究，还需进一步验证、并在验证反馈的基础上对早期代数教学做出调整、改进，但是这样的实验结果无疑是令人振奋的消息．

总结来看，“早期代数”并不是一门学科，更确切地说，“早期代数”是一种思想、一种做法．它主要是指在小学的算术教学中，融入代数思维培养的做法，体现了将“数与代数”当作一个整体看待，连贯地进行代数思维训练，以改善以往算术与代数割裂的状态，以及由此造成的由算术思维向代数思维过渡存在的困难与障碍的思想与做法．卡雷赫与史列曼（Carraher & Schliemann）[24]总结了作为早期代数的数字算术主要特点：① 算术有着固有的代数特征，可被看作代数的一部分而不是与代数不同的领域；② 儿童有时进行代数的一般化并不通过代数符号（尽管自然语言常常不适合表达代数关系）；③ 尽管许多问题有待厘清，但算术作为代数切入点的研究前景广阔．

3 相关研究进展与成果

已有的早期代数研究主要涉及3个方面：课程、教学与认知．课程方面主要解决教学内容的问题；认知方面主要关注学生的学习方式；教学层面则主要关注教师的意识、能力、策略等和早期代数教学有关的问题．已有的成功案例及经验或可为中国的早期代数教学提供借鉴．

3.1 课程内容选取——寻找早期代数思维的切入点

课程内容对于学生所学的东西有显著的影响[8]，并已通过跨国比较研究发现课程对于数学成绩有重要影响[26]．如何在低年级发展学生的代数思维？就课程内容而言，早期代数教学面临着对传统算术内容合理选取以及从新的视角、用新的策略设计教学的问题．

坎普特（Kaput, J.）是早期代数领域的创始者之一，他长期致力于早期代数与学校代数的研究．他认为将代数与代数思维以一种一般化的方法组织起来有3种方式：

（1）将代数看作从计算和关系，包括那些产生自算术数量推理中，提取出来的结构与系统研究；（2）作为函数、关系、协同变化的代数；（3）作为表达和辅助对模型化的情境的推理特定模型语言集结的代数[27]．

第一种方式重在抓住代数的结构，第三个方式是外部数学模型，第二种方式提供了进入代数的切入点．

在具体内容和材料的选取使用上，研究[2]呈现了几个带有导向性质的进入代数的切入点：关于加法和乘法的公理：交换律、结合律、分配率、等式（a+0=a=0+a，a×1=1×a）、逆元（相反数）（a+(-a)=0=(-a)+a，a×a-1=1=a-1×a，若a≠0）．其中的a，b可看作特殊的占位符，但是它们却能够代表任意的、或者所有的数字．表达这些公理用的是形式化的数学语言，这与代数概念本身有很多共性．但是4种运算却需要特定的符号系统的形式化“语法”．再如，除法等式，a=bq+r（a非负整数，b为正数，0≤r≤b）是寻找两个整数的最大公因数的欧几里得算法的基础等思想突出了算术和代数之间的联系，是发展学生代数思维的极好素材．

卡彭特（Carpenter）等[28]，巴斯特布尔（Bastable）等[12]给出了利用数字的一般化渗透代数思维的具体例子．日本的藤井（Fujii）和澳大利亚的史蒂芬（Stephen）[6]给出了有关“准变量”的研究，这一术语用于算术背景下的隐含变量，如算式：71-13=71-(10+(10-7))=71-(20-7)=(71-20)+7=51+7=58．其中，13可被表达成 10+(10-7)的过程能让学生重新审视数系的结构．“准变量”可为算术和代数之间架接起桥梁，这也引起中国早期代数研究人员的关注[29]．再如，恩普森（Empson）等人建议将分数的教学用作增强学生代数结构理解的时机[1]．

另外，数值的相等、变化和模式，算术与数值推理，量的推理等也是渗透代数思维的极好切入点．作为数学对象的量和大小的推理依赖于模型化．模型化在小学数学中起着十分重要的作用．

3.2 如何教才能渗透早期代数思想

渗透早期代数思维最为重要的环节体现在教学上，传统算术内容面临着如何教的问题．全球范围的学习借鉴、交流沟通不失为一条快捷有效的途径．《早期代数化—来自多元观点的全球对话》一书[1]正是基于此目的，将 2005年以后各国早期代数研究汇编而成．此处撷取书中来自世界不同国家：美国、俄罗斯、日本和印度的4个案例，展示4国就课程途径将代数思维融进小学数学的思路与做法，希望能为中国早期代数教学提供课程内容、教学方式的素材与思路．

美国案例中，研究者认为“应将函数思维融入小学数学课程与教学”，“改变教师的资源基础帮助发展学生的函数思维”，“变化任务特征将代数思维引入课程”才能将代数思维融入小学数学课程，为学生在高年级更好地学习代数做好准备．

史密托（Schmittau）介绍了俄罗斯的做法．他们的研究基于俄国心理学家维果茨基（Lev Vygotsky）和戴维多夫（V.V. Davydov）的研究基础之上．就像史密托所指出的，“这种方法与新近寻求将代数的成分融进算术学习的做法不同”．他们一反以往将数作为学生早期代数发展的基础，而是将代数的结构当作基础．用这种方法，学生能将他们的代数理解应用于算术，对传统的算术有更深的理解．

渡边（Watanabe）给出了日本小学1—6年级数学课程的材料，指出函数关系（模式）的学习在日本小学数学课程里是核心重点．日本课程认为与数学表达式有关的思想是学校初等代数的支柱．

在印度的案例中，他们从印度悠久数学历史中获得启示，呈现了一个揭示算术与代数关系的教学框架，展示了如何借鉴数学史向小学生渗透结构、关系等代数思想的做法．他们也将代数看作算术的基础，而不是算术的一般化，这与俄罗斯的做法有些相似之处．然而就关注的侧面来说，前者关注学习心理，后者更关注史学价值的发挥．

以上案例从课程角度展示了如何在小学在低年级为发展学生的代数思维做好准备．美国著名数学教育家基尔帕特里克（Kilpatrick, J.）认为，关于早期代数学习案例给出的课程视角是：“代数不是延迟到掌握算术之后，而是应该从开始学习算术起就应在课程中呈现”“在所有例子中算术都不仅是当作学、做计算的场所，而是当作发展儿童关于量的思想以及它们之间相互关系表征和使用的竞技场”[1]．

3.3 学生的认知

早期代数思维教学实践能否成功实施，在很大程度上依赖于教师对于学生代数思维发展所掌握的信息．为使早期代数教学与研究朝着卓有成效的方向发展，需做好材料上和实证数据上的准备．多数的实证研究都在寻找适合发展学生早期代数素材的基础上，重点关注学生的认知状况．他们从心理的、历史的、认识论的等侧面分析学生早期代数认知状况，揭示学生对相关知识代数思维成分的理解与把握．

澳大利亚的研究案例主要针对学生对各种各样的基于算术情境和表征形式的一般化能力，研究结果显示理解与表征形式的特征在学生一般化能力中的重要性．加拿大的研究描述了学生线性函数和协同变化的思维发展，对于理解传统算术课程中的乘法有着积极的作用．拉德福（Radford）在加拿大南部城市做了研究，从认识论的视角分析了算术思维和代数思维的关系，并在儿童第一次遇到代数概念的背景下讨论了在低年级引入代数思维的可能性与局限性[1]．

对于发展学生的早期代数思维，以上研究尽管视角不同，却向人们传达了一个共同的信息：学生在低年级（先于形式化代数）能够学会代数地推理，课程与教学需建立在这样的能力基础之上．

3.4 针对早期代数教学的教师培训

尽管，课程可提供早期代数教学的素材，教师对于学生实际所学才是最重要的因素．教师的代数教学知识和培养学生代数思维的能力在很大程度上影响着学生代数地学习算术的能力．为在低年级发展学生的代数思维，教师需做出巨大努力以确保学生拥有进行代数推理的机会．正如布兰顿（Blanto）和坎普特（Kaput）所强调的：为了理解和运用算术中的这些代数思维机会，小学教师尤其需要培养“代数的眼睛和耳朵”[60]．有针对性地进行培训是增强教师在早期代数教学能力的基础与保障．已有案例或可为早期代数的教师培训提供思路和视角．

美国的“认知引导的教学项目”（Cognitively Guided Instruction，CGI）[30]，对12位教师进行长达15年的研究，系统帮助他们致力于学生的数学思维，尤其是对基本结构和算术性质的表达、表征并说明一般化的能力．研究者与教师一起分析了算术的结构、基本性质，思考了能促进学生清晰表达这些性质的一般化学习的环境，以及学生怎样思考具体问题并试图证明所给出的一般化是正确的等等，实现帮助教师专业发展的目的．

弗兰克（Franke）等人的研究[12]设计和实施了聚焦教师专业发展“内容所涉及的问题”，从算术与代数两个领域自身之间的不同，强调在数及运算上所做的，与在代数中所做的两者之间的不同．他们认为与代数相联系的文化与学校实践规划了教师参与专业发展的方式．布兰顿（Blanto）和坎普特（Kaput）考察了教师学习与能够帮助或约束那种学习的学校或地区环境之间的互惠关系．他们将教师的学习“看作存在于由来已久的背景中的过程”．为期5年的小学教师专业发展项目帮助教师将实践经验代数化[12]．

4 需进一步加强研究的方面

4.1 教师早期代数教学能力研究

已有研究对于学生的认知关注较多，但对于小学数学教师教学早期代数的相关研究相对缺乏，而小学教师发展学生代数思维的能力参差不齐，如何提高小学教师在早期代数方面的教学能力，是早期代数研究应重点关注的问题．如，教师进行早期代数教学所需的教学内容知识、教师为培养代数思维所使用的课堂机会、与代数有关的教学方式、教师对某种文化适应的重要性等都需加强研究．

4.2 “数与代数”课程链实施的连贯性与一致性研究

目前，在政策文件中，世界各国几乎都把算术和代数合并为一个名称“数与代数”．在教学实施中，如何将这条课程链前后连贯、一致起来，对于发展学生的代数思维是至关重要的．2006年9月NCTM公布了一份文件：《学前期到8年级的数学课程焦点：追求一致性》，此文件作为对《原则和标准》的补充，它确定了每个年级有3个焦点，以及“与焦点内容连接”的要点．反映出NCTM制定课程焦点的核心理念，“确定这些年级课程焦点的目的是使学生能够学习集中和连贯的课程，以此作为分析与解决问题、逻辑推理并进行批判性思考的基础”[31]．要将文件的思想贯彻实施好，还需做大量的实践研究．

4.3 早期代数对代数教学的作用与影响研究

早期代数教学的主要目的在于为代数的正式学习做准备．其效果如何，需要及时进行总结．这包括对早期代数教学本身效果的研究，也包括早期代数教学后的初、高中学生代数思维能力的跟踪研究与调查．教学效果的研究用以反馈教学，为及时地、有针对性地调整早期代数教学的方方面面等都是极为重要的．

5 早期代数的国际研究对中国教学的启示

应该看到，在中国，早期代数的相关研究还很少．早期代数的思想与做法似乎并未深入人心．研究者分别以“代数思维”“早期代数”等为关键词或主题查阅中国学术期刊网，发现此类文章数量极少．相关的研究专著在中国更是无从寻找．与国外正在蓬勃开展的大量相关研究相比，使研究者感到在中国开展早期代数研究的必要性与迫切性．或许学习借鉴应是目前中国开展早期代数研究的一条思路．早期代数国际研究给予人们的启示是：

5.1 需要对算术教学的本质和目的及方法进行深入探讨

实施早期代数的思想与做法，首先需要对算术教学的本质、目的和方法进行重新探讨与定位．

早期代数视角下，算术教学必须要“超越熟练掌握计算和流利的计算，注意数学深层次的结构”[1]．在教学中，教师应有意识地采取相应的策略发展学生代数思维，包括分析量之间的关系，注意结构、研究变化，一般化、问题解决、建模，判断，证明以及预测等．算术教学的目标不再局限于熟练、准确的计算能力培养这一浅层目标，它同时发展理解数学关系的新工具，也发展新的思维习惯[32]．

早期代数教学必须采取一些不同于传统代数教学的方法：（1）常规的代数符号不是表达代数思想和关系的唯一手段．表格、数字语句、图表和专门化的语言结构也能表达代数思想；（2）物理量的背景和基础在早期代数教育中或许是需要的，尽管在后面的教育中会合乎情理地缩减或者不再重视；（3）函数为引出现有的许多早期数学主题与活动的代数特征提供了机会[2]．

5.2 要研究“数与代数”教学的一致性与连贯性的方法与途径

如同世界多数国家的课程表述一样，中国也将“数与代数”作为课程内容的一个整体对待．然而，在中国的数学教科书、数学课堂教学，甚至“课程标准”中却并没有“有机地”将“数与代数”联系起来，在数与代数之间没有“实质性的联系”，二者仍处于相对分离的状态．尤其学段 1（即1～3年级）中仍以“数”为主，很难找到“代数”的成分[33]．加强“数与代数”的有机联系，探讨将其作为一个连贯的课程链设计课程内容与教学，实现代数思维培养的一致性应成为“数与代数”教学的目标．

5.3 学习借鉴并增加教师早期代数教学能力的培训

尽管中国的小学数学教学有着渗透代数思维的良好传统[5]，但要系统地进行早期代数教学，教师的教学能力尚有很大的提高空间．在学习借鉴他国经验的基础上，结合中国数学教育自身特点，对教师进行早期代数教学的培训，不断提高中国小学教师进行早期代数教学能力与水平．

[1]Cai J, Knuth E. Early Algebraization: A Global Dialogue from Multiple Perspectives [M]. Springer: Verlag Berlin Heidelberg, 2011.

[2]Carraher D W, Schliemann A D. Early Algebra and Algebraic Reasoning [A]. In: Lester F. Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics [C].Vol II. Charlotte, NC: Information Age Publishing, 2007.

[3]Davydov V V. Psychological Abilities of Primary School Children in Learning Mathematics [M]. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1991.

[4]Kieran C. Concepts Associated with the Equality Symbol [J]. Educational Studies in Mathematics, 1981, (12): 317–326.

[5]Matz M. Towards a Process Model for School Algebra Errors [A]. In: Sleeman D, Brown J S. Intelligent Tutoring Systems [C]. New York: Academic Press, 1982.

[6]Chick H, Stacey K, Vincent J, et al. Proceedings of the 12th ICMI Study Conference. The Future of the Teaching and Learning of Algebra [M]. Melbourne: University of Melbourne, 2001.

[7]Olive J, Izsák A, Blanton M. Investigating and Enhancing The Development of Algebraic Reasoning in The Early Grades (K-8): The Early Algebra Working Group [EB/OL]. http://www.pmena.org/2002/Olive_Full.doc_DSM.rb.doc

[8]National Council of Teachers of Mathematics. Principles and Standards for School Mathematics [S]. Reston, VA: Author.2000, 36.

[9]朱乐平．改革数与代数数学适应时代发展要求——比较《数学课程标准》和《数学教学大纲》“数与代数”的教学[J]．教学月刊·小学版，2002，（4）：4-6．

[10]Max Stephens. Numeracy in Practice: Teaching, Learning and Using Mathematics [EB/OL]. http://www.education.vic.gov.au/studentlearning/research/researchpublications.htm

[11]Cai J, Knuth E. Developing Algebraic Thinking: Multiple Perspectives [J]. Zentralblatt fuer Didaktik der Mathematik(International Journal on Mathematics Education), 2005, 37(1), Special Issue.

[12]Kaput J, Carraher D, Blanton M. Algebra in the Early Grades [M]. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 2007.

[13]Kieran C. The Learning and Teaching of School Algebra [A]. In: Grouws D A. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A Project of the National Council of Teachers of Mathematics [C]. Macmillan.

[14]Kieran C. Learning and Teaching Algebra at the Middle School through College Levels [A]. In: Lester F. Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A Project of the National Council of Teachers of Mathematics [C]. Vol II. Charlotte, NC: Information Age Publishing, 2007.

[15]Howe R. Comment on NAEP Algebra Problem [EB/OL]. http://www.brookings.edu/～/media/Files/Centers/bcep/AlgebraicReasoningConferenceHowe.pdf

[16]Filoy E, Rojano T. From Arithmetical to Algebraic Thought [M]. Proceedings of the 6th Annual Meeting for the Psychology of Mathematics Education, North American Chapter, Madison,WI, 1984.

[17]Filoy E, Rojano T. Solving Equations: The Transition from Arithmetic to Algebra [J]. For the Learning of Mathematics,1989, (2): 19-25.

[18]Booth L R. Children’s Difficuties in Beginning Algebra. In: Coxford A F, Shulte A P. The Ideas of Algebra, K-12: 1998 Yearbook [S]. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1988.

[19]Herscovics N, Linchevski L. A Cognitive Gap between Arithemetic and Algebra [J]. Educational Studies in Mathematics,1994, (27): 59-78.

[20]李静，刘志扬，宋乃庆．基于多元表征发展代数思维的教学模式研究[J]．西南师范大学学报（自然科学版），2011，（3）：268-271．

[21]van Amerom B A. Reinvention of Early Algebra—Developmental Research on the Transition from Arithmetic to Algebra [D]. University of Utrecht, 2002.

[22]周颖娴．初一学生从算术思维过渡到代数思维中的困难分析[D]．苏州大学，2009．

[23]Chazan D, Edwards A R. Mathematics Educators Respond to Kaput’s “Algebra Problem”: A Review of Algebra in the Early Grades [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 2010, 41(3): 203-208.

[24]Carraher D W, Schliemann A D. Early Algebra and Algebraic Reasoning [A]. In: Lester F. Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics [C].Charlotte, NC: Information Age Publishing, 2007.

[25]Carpenter T P, Levi L. Developing Conceptions of Algebraic Reasoning in the Primary Grades (Res. Rep. 00-2).Madison, WI: National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science [EB/OL].www.wcer.wisc.edu/ncisla.

[26]Schmidt W H, McKnight C C, Raizen S A. A Splintered Vision: An Investigation of U.S. Science and Mathematics Education [M]. Boston: Kluwer, 1996.

[27]Kaput J. Transforming Algebra from an Engine of Inequity to an Engine of Mathematical Power by “Algebrafying” the K-12 Curriculum. National Council of Teachers of Mathematics, The Nature and role of Algebra in the K-14 Curriculum [M]. Washington, DC: National Academy Press, 1998.

[28]Carpenter T P, Franke M L, Levi L. Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic and Algebra in Elementary school[M]. Portsmouth, NH Heinemann, 2003.

[29]徐文彬．试论算术中的代数思维：准变量表达式[J]．学科教育，2003，（11）：6-10．

[30]Carpenter T P, Fennema E, Franke M L, et al. Children’s Mathematics: Cognitively Guided Instruction [M]. Portsmouth,NH: Heinemann, 1999.

[31]National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum Focal Points for Prekindergarten Through Grade 8 Mathematics: A Quest for Coherence [EB/OL]. http://www.nctmmedia.org/cfp/cfp_presentation.pdf

[32]Kieran C. Algebraic Thinking in the Early Grades: What Is It [J]? The Mathematics Educator (Singapore), 2004, 8(1):139-151.

[33]徐文彬，杨玉东．“本原性问题”及其在数学课堂教学中的应用[J]．数学教育学报，2005，14（3）：14-16．