浅谈一元线性函数在大坝分析监测资料中的应用

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(四川省长葫灌区管理局，四川 威远，642450)

大坝的观测设备安装埋设投入工作以后，原型观测包括现志、成果整理、资料分析三个环节。能真实反映实际情况并具有一定精度的现场观测，是整理分析工作的基础和前提，而将观测资料加工成理性认识的分析成果，则是观测目的的体现。

水工建筑物原型观测中所观测的变量，影响因素一般都比较复杂，且观测误差在所难免。因此，在观测资料分析中变量之间的关系，大多是统计相关关系，变量之间的统计规律称为回归关系。

一元线性回归是分析中最简单的情况，它处理两个变量之间的统计关系，即因变量和一个自变量之间的统计关系，如果两个变量之间的统计关系基本上是线性的，就可以用一元线性关系来分析。但在实际中相关关系往往不是直线相关，而是曲线相关，这就要作简化处理。

举一个葫芦口大坝观测中的实例。

在葫芦口大坝坝顶横缝上安装有三向测缝计，测得横缝沿坝轴线方向的开合度与坝体外界气温状况有关，以月平均气温x为横座标，横缝开度y为纵座标，绘出各散点，可以看出y与x呈曲线关系，而非直线关系，通过连线以后，各点与曲线仍有偏离，可以认为是随机因素影响所引起。而该曲线是一条光滑的对数函数曲线，其函数方程应为：y=b0+blnx，而标准的一元线性回归方程应为：y=bo+bx，这时可以将对数函数变为一元线性方程关系，化曲线方程为直线方程。

令c=lnx，则有：y=bo+bc，通过回归计算，葫芦口水库1#缝在气温上升时的归方程为：

Y=9.9429-3.4062lnx，复相关系数R=0.9946

1#缝在气温下降时回归方程为：

Y=9.1553-3.1924lnx，复相关系数R=0.9994

通过求出缝开合度与气温之间的关系方程式，找出它们之间的定量关系。

再举一例，在分析葫芦口水库坝基扬压力与库水位的关系时，取1m坝段，以库水位为横座标，以扬压力占坝体重的百分比为纵座标，绘制其实测散点趋势图，发现其相关性很好，经光滑连线后，发现它是一典型的幂函数曲线图，幂函数方程为：

Y=cxb

式中，x为水位；y为扬压力。

这又是一元非限性回归方程，也需化为标准的一元线性回归方程。将上方程两边取对数得：

lny=lnc+blnx

令：H=lny，A=lnc，X=lnx

则有：H=A+Bx

该式就变成了直线回归方程。

通过回归计算，求得A=-10.4714，b=3.1925，复相关系数R=0.99246。因为A=lnc，A是c以e为底的对数，因此：c=eA=e-10.4714=2.8834×10-5

将c和b代入原方程y=cxb，即有：

Y=2.8834×10-5x3.1925

这就是葫芦口水库库水位与坝基扬压力之间的回归方程。

通过上两例，可归纳线性变化变换步骤如下：

(1)绘制测值y与自变量x的散点图，选定y与x间的曲线关系式；

(2)找出适当变换式，令y′=f(y)，x′=ψ(x)，使y′=bo+bx′；

(3)根据变换式，由yi及xi算出各y′i及x′i，绘出y′～x′散点图，如趋势为线性，则可用一元线性回归方法，求出y′=bo+bx′。如散点图趋势不为直线，则改变曲线式重作变换，直到符合线性趋势为止；

(4)由y′与x′的线性回归方程，推出y与x的曲线方程，并求出相应于各xi的yi值，点绘到散点图上，连成一元回归曲线。

我们在整理观测资料时，如何确定变量间关系曲线类型呢？解决这个问题通常采用以下三种途径：

(1)根据坝工专业知识，从理论上推导其物理关系，从而确定两个变量之间的曲线类型。例如，坝的位移和时间的关系，当水位和温度的影响一定时，可以认为是指数或对数型函数关系的位移和水位关系；当温度影响一定，时效变形可忽略，可认为是高次抛物线关系；

(2)参与已有实际经验，如对土坝沉陷与时间的关系，有人用双曲线来拟合，有人用抛物线来拟合，均取得一定效果。那么，解决此类问题时，就可采用双曲线或抛物线的曲线关式来试做；

(3)从观测数据散点图的分布形状和特点，对一些曲线来选择恰当的曲线试做拟合。我们通过观测资料分析，经常有以下几种曲线方程通过变量变换成回归直线方程：

①双曲线1/y=bo+b/x，可令y′=l/y，x′=1/x，则有y′=bo+bx；②幂函数y=cxb，取对数lny=lnc+blnx，可以令y′=lny，x′=lnx，bo=lnc，则有y′=bo+bx′；③指数函数y=cebx，取对数lny=lnc+bx，可以令y′=lny，bo=lnc，则有y′=bo+bx；④对数曲线y=bo+blogx，可以令x′=logx，则有y=bo+bx′；⑤指数函数y=ceb/x，取对数lny=lnc+bl/x，可以令y′=lny，x′=l/x，bo=lnc，则有y′=bo+bx′。

一元线性函数为我们工程观测建立回归方程起到了很大的作用，它是一个重要的分析手段，只要我们把握好，它就能为我们的工作服务。当然，回归方程的运用范围一般仅局限于原来观测数据的变动范围，而不能随意外推。例如，大坝沉陷开度在温度达到某一较高温度时，将因缝的接触而不再相应减小。