应用FFT的高精度FMCW雷达频率测量算法

(中北大学电子测试技术国家重点实验室,山西 太原 030051)

0 引言

随着雷达技术的迅速发展，采用调频连续波(frequency modulated continuous wave,FMCW)雷达体制的测距测速系统已被广泛地应用于日常生活和工业生产中。FMCW雷达测距测速的关键在于测量差频信号的频率，差频信号在理想情况下是单频的正弦信号，通常采用快速傅里叶变换(fast Fourier transform，FFT)的方法分析信号频谱，估计信号的频率。FFT存在能量泄漏和栏栅效应，当信号频谱峰值谱线不能与频谱主瓣的中心重合时，便会产生频率测量误差。为了解决离散频谱分析误差较大的问题，目前国内外学者研究并提出了包括能量重心法在内的离散频谱校正理论与技术[1]。能量重心法能够通过功率谱主瓣内的谱线估计主瓣中心的位置，解决了栏栅现象；但该方法在信号非整周期加窗截断时，能量泄漏增大，频率测量精度较低。

为了进一步减小频率测量误差，本文提出了一种能量重心法和截断长度调整相结合的频率估计算法。该算法首先对以默认长度截断的采样信号做FFT，采用4点能量重心法粗略估计信号频率；然后根据估计的结果调整截断长度，以满足整周期采样；最后再对信号采用离散频谱3点能量重心法精确校正频率。该算法在LabVIEW环境下进行了编程，编写了FMCW雷达频率测量程序，这给信号处理的研究带来了极大的方便。结果表明，该算法具有更高的频率测量精度和更小的测量误差。

1 离散频谱能量重心法原理

能量重心法是根据各种对称窗函数离散功率谱的能量重心无穷逼近坐标原点的特性进行频率校正的，其校正精度与窗函数、参与校正的点数有关。对差频信号采样序列时域加窗截断，并进行离散傅里叶变换，可得到信号的离散频谱Y(k)的表达式为：

(1)

式中：y(n)为差频信号采样序列；w(n)为窗函数序列；N为差频信号y(n)的序列长度，n∈[0,N-1]；Y(k)为差频信号y(n)的离散频谱，k∈[0,N-1]。

信号y(n)的功率谱表达式为：

S(k)=|Y(k)/N|2

(2)

式中:S(k)为信号y(n)的功率谱。

根据对称窗的能量特性[2-3]，当n→∞时,存在：

(3)

式中：k0为信号离散频率所在的位置，即功率谱主瓣中心坐标；m为功率谱峰值谱线的序号。

由式(3)可知：

(4)

式中：Δk为主瓣中心与峰值谱线序号之间的偏差，也就是能量重心法所求的频率校正量，Δk=k0-m，0≤|Δk|≤0.5。则信号的真实频率f0为：

f0=(m+Δk)fs/N

(5)

式中：fs为采样频率；N为FFT参与运算点数。

高血压性视网膜病变(hypertensive retinopathy，HR)是高血压患者的视网膜发生病理性改变，主要表现为视网膜毛细血管狭窄，眼底血管萎缩减少，微循环障碍，血管管壁增厚且缺乏弹性，视网膜缺血缺氧病变坏死等[1，2]。随着全国经济的发展和人民生活水平的提高，高血压的发病率逐年攀升，其中超过69%的高血压患者都有不同程度的视网膜病变[3，4]。

为了提高校正精度，同时减少计算量，在进行能量重心法频率校正时，通常使用主瓣宽度为4个谱线间隔Δf(Δf=fs/N)且旁瓣衰减很快的Hanning窗，参与运算的谱线均以峰值谱线为中心，一般取3条谱线或5条谱线对信号功率谱进行能量重心法校正。当频率偏差Δk接近于0时，能量主要集中于主瓣内幅值最大的3条谱线上，3点、5点能量重心法频率校正精度较高。但当|Δk|接近于0.5时，若采用主瓣内3条谱线进行校正，由于忽略了主瓣内的一条能量较大的谱线，此时的校正频率误差最大[4];若采用5条谱线进行校正,利用了主瓣内4条谱线和第一旁瓣的1条谱线，校正精度较采用3条谱线大为提高，但计算量也随之增加。

考虑到Hanning窗的对称性且能量主要集中在主瓣内4条谱线，可采用主瓣内4条谱线进行能量重心法频率校正，即4点能量重心法[5]。采用3点、4点、5点能量重心法进行频率测量的归一化频率误差如图1所示。由图1可以看出，4点能量重心法频率校正误差明显低于3点能量重心校正法，而与5点能量重心法十分接近。

图1 归一化频率误差比较图

加Hanning窗的能量重心法校正频率的前提是对时域加Hanning窗的信号序列做FFT，但时域加Hanning窗需要构造窗函数，采样点数越多，运算量越大，应设法避免。

Hanning窗函数w(n)的定义为：

w(n)=[1-cos(2πn/N)]/2

(6)

式中：n=0,1,2，…，N-1。

信号序列y(n)加Hanning窗后离散傅里叶变换所得离散频谱为[6]：

(7)

式中：Yw(k)为信号序列y(n)加Hanning窗后的离散频谱。

根据离散傅里叶变换的性质可得：

(8)

式中：Y1(k)为信号加矩形窗FFT得出的频谱序列，k=1，2，…，N-2。

在实现对输入序列y(n)加Hanning窗的离散傅里叶变换时，可不在时域进行y(n)与w(n)相乘，而可在频谱序列Y1(k)上进行线性组合来实现。

由式(8)可知，4点能量重心法可由以下步骤实现：首先对信号直接做FFT，找出离散频谱内的峰值谱线，记其序号为m；然后对k=(m-2，m-1，m，m+1，m+2)做频域组合运算，可得到对应5个点的等效加Hanning窗的频谱序列，并求这5条谱线的功率谱值；接下来比较S(m-1)和S(m+1)的大小，其中较大的谱线就是次大值谱线，由于Hanning窗的频谱函数是对称的，在峰值谱线和次大值谱线两侧各再增加一条谱线，得到的就是Hanning窗主瓣内的4条谱线；最后根据式(4)和式(5)来校正频率。3点能量重心校正法只需在峰值谱线两侧各增加一条谱线，实现相对简单。

2 截断长度调整原理

对信号进行一次能量重心法频率估计，得到的信号频率误差较大。当|Δk|接近于0时，能量主要集中在功率谱主瓣内峰值谱线附近的3条谱线上，旁瓣上谱线能量接近于0，离散功率谱能量泄漏较小，此时频率校正精度较高。所以在进行FFT运算前，可调整序列的截断长度，以满足整周期采样要求，使得调整后频谱峰值谱线在主瓣中心附近，|Δk|→0；然后再用能量重心法精确校正频率[7-8]。

由式(5)可知，存在：

f1/fs=(m+Δk)/N1=m/N2

(9)

式中：f1为首次采用能量重心法测得的信号频率；N1为第一次序列的截断长度；N2为调整后的截断长度。

则调整后的采样点数长度为：

N2=mN1/(m+Δk)

(10)

直接由式(10)得出的N2可能不是整数，还应对N2做就近取整运算。同时两次截断的长度N1、N2应小于信号的采样长度。

3 综合频率测量算法

结合能量重心法和截断长度调整的方法来实现频率估计，可用以下3个步骤来实现：①在默认的采样参数下采集信号，对序列长度为N1的信号做FFT，采用离散频谱的4点能量重心法来估计频率；②根据首次估计校正的结果调整截断长度，求得N2；③对采样信号序列重新截取，再做FFT并用3点能量重心法对频率进行更精确的校正。

按照算法流程编制综合的频率测量算法LabVIEW程序界面如图2所示。该程序采用顺序结构分3帧来实现，确保程序按照一定顺序执行。第一帧包含一些参数的设置和4点能量重心法频率校正，要求采样频率必须满足奈奎斯特采样定理，由于FMCW雷达差频信号频率与目标的距离成正比，在系统要求的测距范围内，目标距离最远时对应的差频信号频率最高，采样频率fs必须大于两倍的距离最远时对应的频率；第二帧用于调整截断长度并传递到下一帧；第三帧是信号整周期截断后频率估计。其中信号源用于仿真测试，VI-1为4点能量重心法的子程序，VI-2为3点能量重心法的子程序。

图2 综合的频率测量程序界面

4 试验与分析

将上述综合频率测量算法在计算机上进行了频率测量试验，用信号源给出接近实际的FMCW雷达差频信号，设置信号幅度为1 V，噪声幅度为0.1 V,采样频率为1 MHz，采样点数为1 100点，第一次截断长度为1 000点，在归一化频率偏差范围Δf=[0，0.5]的区间内分别采用4点能量重心法和本文的综合频率测量算法进行仿真试验，其归一化频率测量相对误差曲线如图3所示。

图3 归一化频率误差比较图

由图1和图3可以看出，3点能量重心法最大相对误差接近0.03个频率分辨率，4点能量重心法最大相对误差接近于0.001个频率分辨率，本文算法最大相对误差小于0.000 2个频率分辨率。因此，本文提出的算法频率测量精度最高。这些误差一方面是由噪声干扰造成的；另一方面由于能量重心法只能对有限的谱线参与频率校正运算，同时第二次调整的截断长度必须取整，不可能完全整周期截断，也造成一定的误差。

5 结束语

本文提出了一种综合的频率测量算法。该算法将能量重心法和截断长度调整相结合来测量FMCW雷达差频信号的频率，通过调整采样序列的截断长度，使得序列满足整周期采样要求，进一步提高了能量重心法的频率测量精度。本文算法可借助于FFT得到信号的频谱，易于实现，同时对FFT结果作一定的变换运算代替时域加Hanning窗运算，简化了算法的复杂度。LabVIEW具有强大的人机界面，程序修改方便，结合数据采集卡可对实际信号进行采集和测量，可应用于FMCW雷达测距测速系统。

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