考虑不确定货流及其影响的轴辐式网络随机规划模型

胡青蜜，胡志华，2＊

（1.上海海事大学物流研究中心，上海201306；2.同济大学经济与管理学院，上海200331）

轴辐式网络是一种典型的物流网络结构，在运输、电信、邮政、零担物流与供应链管理等领域得到广泛应用［1－2］.轴辐式物流网络可分为纯轴辐式网络、复合轴辐式网络、层级轴辐式网络和分级轴辐式网络［3］.二级轴辐式网络是轴辐式网络的基本形式.轴辐式物流网络往往以辐节点之间确定的OD（Origin－Destination）货流为依据进行设计.然而，网络中辐节点之间的货流的不确定性造成辐节点和枢纽的物流资源不足或闲置.因此，本文研究轴辐式网络节点的吞吐能力配置与网络优化，以减少节点资源不足和资源闲置产生的损失或成本.节点能力配置与不确定流量处理能力需求之间的矛盾，引出对轴辐式网络节点贡献的研究，旨在为轴辐式网络布局优化与资源分配提供决策依据.

相对于已有文献，本文的贡献体现在两个方面.首先，虽然轴辐式网络的不确定性流量需求已经得到研究，但是本文基于随机规划方法提出辐节点吞吐能力需求，建立考虑不确定流量的轴辐式网络设计的混合整数随机规划模型.O'Kelly对单分配枢纽中位问题的二次规划模型和启发式算法，是轴辐式网络研究的经典之作［4］.围绕轴枢纽选址和网络设计，轴辐式网络已被深入研究［5－8］.轴辐式网络中的不确定性问题也已被关注.Alumur等［9］通过状态场景及其概率研究不确定性需求下单分配与多分配枢纽中位问题的选址模型.Ge等［10］考虑OD流、运输成本、枢纽容量的不确定性，建立轴辐式网络设计的鲁棒优化模型.为了确定枢纽节点的合理吞吐容量，Correia等［11］假定枢纽具有系列备选容量水平，基于容量受限的单分配轴辐式网络设计模型，建立了枢纽容量水平选择的优化模型.为了进一步扩展不确定性流量下枢纽吞吐能力的研究，本文在确定辐节点吞吐能力的基础上，通过建立轴辐式网络设计的随机规划模型以确定枢纽吞吐能力.

其次，在针对轴辐式网络节点评价的文献的基础上，本文在不确定性货流的基础上研究节点的贡献，并以此为基础研究对网络结构的调整.为建立多功能枢纽中心，Yu等［12］将网络运作效率、顾客吸引度、枢纽覆盖范围有效性、环境资源兼容性等因素融入枢纽评估模型.在枢纽选址问题中，Samula等［13］考虑网络运营成本、设施建设成本、安全性、乘客经济性等多准则评价枢纽.Low等［14］构建枢纽港口地位评价模型.在宏观层面，丁伟等［15］从资源因素、需求因素、环境因素等角度，李文博等［16］从经济社会发展水平、物流产业规模、基础设施建设、信息化水平等角度构建网络节点评价等级指标体系.本文从物流需求量、需求稳定性、节点资源利用率、干线与支线对流平衡度等角度，建立多属性效用评价函数对节点进行等级评价与贡献分析，并以此为基础研究网络布局调整与资源分配优化.同时，通过算例分析以验证网络调整策略对提高网络资源利用率的有效性.

1 节点能力设计

轴辐式网络是一种特殊的图，节点包括枢纽（hub）和辐节点（spoke），节点之间的连线是运输通道，承载货物流.OD货物流通过辐节点集散，而在枢纽节点之间实现货流规模效应，降低系统的总运输成本.轴辐式网络设计问题的核心任务是确定枢纽节点，以及辐节点对枢纽节点的分配关系.在本文研究的轴辐式网络中，辐节点分配且仅分配给一个枢纽节点.

货流受所在区域经济、政策、文化等的影响，具有不确定性.根据历史数据可以估计不同流量需求发生的概率.这种不确定性影响到对辐节点和枢纽吞吐能力的设计.当辐节点吞吐能力设计低于吞吐量需求时，不能满足的货流流失造成损失，称为利润损失；反之，辐节点吞吐能力超过货流吞吐量需求，造成辐节点物流资源利用率过低产生闲置成本，称为缺货损失.由于一个辐节点分配且仅分配给一个枢纽节点，则枢纽节点的吞吐量需求可以根据流经它的辐节点之间的OD货流确定.因此，确定辐节点的吞吐能力是轴辐式网络设计的基础，下面以辐节点的吞吐能力期望利润损失最小为目标建立模型.

由于辐节点的吞吐量需求由不确定OD货流构成，如果能够针对每一不确定OD流确定一期望利润损失最小的OD流流量（即最佳OD流流量），则辐节点的吞吐能力就可以根据最佳OD流流量确定.下面确定具有使节点期望利润损失最小的最佳OD流流量.首先将不确定的OD流流量离散化，将可能出现的OD流随机需求量按从小到大顺序排列，分别编号为1，2，…，n.设i＊表示编号为i所对应的随机需求量，k为随机变量，h为单位利润损失，s为单位缺货损失，y为待确定的最佳OD流流量，P （k）为随机变量k的发生概率，E为期望利润损失，C（y）为利润损失函数，则期望利润损失由利润损失和缺货损失两部分构成，根据随机规划方法通过式（1）计算.然后，通过式（2）－（6）确定y的最佳取值y＊.通过式（2）可以得到式（3），同理由式（4）得到式（5），综合式（3）和式（5）得到式（6），从而得到y＊.

2 模型

在下面考虑的轴辐式网络中，每个辐节点指派且仅指派给一个枢纽点；OD流流量为离散随机变量，并假定可以预测出相应节点之间的OD流流量及相应发生概率.

集合与参数.N＝｛1，2，…，n｝为集散点集合；I⊆N为所有始发点集合；J⊆N为目的点集合；K，L⊆N为备选枢纽点集合；K＊⊆K为已确定的枢纽点集合；I＊⊆I为已确定的辐节点集合.sw为状态场景集合，s表示一个状态场景.hi，k为节点i与节点k的距离，用两点之间的欧式距离表示.zi为节点i最佳集的吞吐量；ti为节点i最佳散的吞吐量；为始发节点i对应于目的节点j的最佳OD流流量；为目的节点i对应于始发节点j的最佳OD流流量；gi表示辐节点的设计吞吐能力（最佳集散吞吐量）；mk表示枢纽k点的最佳吞吐量.pi，s，j为状态场景s下节点i到节点j的OD流发生概率，其中∀i，j∈N：为枢纽节点k的建设固定成本，为吞吐设计能力的函数.oi，s为在状态场景s下节点i的集的流量；di，s为在状态场景s下节点i的散的流量.为在状态场景s下节点i分配到节点j的流量（即状态场景下的OD流流量）.a为非枢纽点到枢纽点的单位运输成本；b为枢纽点之间的单位运输成本，其中（b＜a）；v为枢纽点的单位运营成本（卸、分拣、重装）；r为所建枢纽点个数.

决策变量.xi，k∈｛0，1｝，为1表示节点i指派给枢纽k，否则0；为在状态场景s下从节点i出发流经枢纽点k与枢纽点l到达目的点j的流量；Xi，j，k，l∈｛0，1｝，为1表示节点i指派给枢纽点k，且节点j指派给枢纽点l，即节点i与j之间的OD流流经枢纽k与l，否则0.

辐节点的吞吐量通过最佳OD流流量计算，最佳OD流流量可根据式（6）确定，则辐节点吞吐量由式（7）计算.枢纽节点的吞吐能力由指派给它的辐节点的吞吐能力构成，如式（8）所示.

基于节点吞吐能力的计算方法，考虑OD流的不确定性，轴辐式网络的随机规划模型建立如式（9）～（25）所示.

式（9）定义总运输营运建设成本最小化的目标函数，其由4部分组成：式（10）定义枢纽建设成本，该成本为枢纽设计吞吐能力的函数；式（11）定义辐节点到枢纽的运输成本；式（12）定义枢纽之间的运输成本；式（13）定义枢纽点处理货物运营成本.

约束函数式（14）表示每个辐节点只能指派给一个枢纽；式（15）表示一旦一个辐节点被指派给另一个节点，则被指派给的节点是枢纽；式（16）约束枢纽总数；式（17）－（19）表示如果节点i指派给枢纽点k，且节点j指派给枢纽点l，则从节点i到节点j的流量必须经过枢纽k与l；式（20）表示节点i到节点j的流量必须经过枢纽（i≠j），即节点i到j只有一条路径相通；式（21）表示相同节点之间不能有货流；式（22）和（23）分别表示节点i在场景s下的期望集货需求量与期望散货需求量；式（24）表示在场景s下从始发节点i到目的节点j的流经过枢纽点k与l，则y值等于在状态场景s下i到j的OD流流量；式（25）表示决策变量约束.

3 节点（等级与贡献）效用评价

为了进一步研究不确定性货流需求对网络布局与资源分配的影响，以及验证随机规划方法对网络优化的有效性，为此本文在上述随机规划模型设计的网络结构基础上，通过设计综合评价指标来进行节点等级与贡献评价，旨在为优化网络结构、提高网络资源利用率、降低不确定性货流风险提供决策支持，以增强不确定性货流需求下网络结构的鲁棒性.

3.1 节点等级评价

1）货流效用

设Qi为节点i的货流，对货流划分等级，不同等级具有不同的规模效用值；在同一规模等级下，效用值与货流成正比.式（26）定义货流效用分段函数V（Qi），其中，；Qn表示为第n等级的货物流量；Ωn是第n等级的效用系数，且0＝Ω0≤Ω1＜Ω2＜…＜Ωn≤1；如果x为真，则取sign（x）＝1，否则0.

2）货流稳定性

货流不稳定将导致物流节点产生缺货损失与利润损失，间接反映节点所在地区经济的稳定状况.设δi为节点i的货流不稳定度，采用该节点最大货流需求量与最小货流需求量差值占总期望需求量的比例衡量，即采用式（27）表示货流稳定性效用V（δi）.

3）节点资源利用率

节点的资源利用率采用该节点实际服务量占节点吞吐能力的比例衡量.资源利用率越高，节点产生的资源闲置成本就越低.设λi表示节点i的资源利用率，而节点资源利用率效用采用式（28）所示函数V（λi）表示.

其中［a，b］－＝min a，｛b｝.

4）远距离和低货流量的OD流效用

轴辐式网络的集聚规模效应，有助于降低远距离和低货物流量的OD流物流运输成本.采用节点i远距离和低货流的OD流比例系数σi作为效用函数，如式（29）所示，并定义w′为低需求界定量，h′为远距离界定量，其中j＊取值应满足≤w′且≥h′.

综合式（26）～（29）定义的四种效用，建立式（30）节点等级评价的多属性效用函数［17－18］，其中k为权重系数.

3.2 节点贡献评价

1）支线和干线对流平衡的贡献

辐节点通过支线集散货流，而枢纽节点通过干线集散货流，集散两方向对流平衡将有效降低运输车辆空载率，减少运输成本.设τi＊为辐节点支线对流平衡度，ϑk＊为枢纽节点干线对流平衡度，则支线对流平衡效用函数V（τi＊）与干线对流平衡效用函数V（ϑk＊），分别由式（31）与式（32）确定，该指标旨在反映运输资源的利用效率.其中i＊与k＊分别表示已设计的网络结构的辐节点与枢纽节点；支线与干线对流平衡效用函数的分式部分中，其分母表示货流集散两方向流量之和，分子表示货流集方向与散方向流量之差的绝对值.

2）节点利用率的贡献

节点利用率通过节点实际货流与吞吐能力的比值衡量，其比值越大，表明节点资源利用率越高.节点利用率由已确定的辐节点i＊与枢纽节点k＊利用率构成，而式（28）计算的节点利用率为网络结构未确定之前所有节点的利用率.设φi＊为辐节点i＊的利用率，则其效用函数V（φi＊）可由式（28）确定；ηk＊为枢纽节点k＊的利用率，其效用函数由式（33）确定.

3）节点等级效用的贡献

下面设计节点等级效用函数使得不同节点等级具有不同的效用值.设为辐节点i＊的等级；为枢纽节点k＊的等级；ℜn为划分的第n等级；Ψn为第n等级效用系数.则辐节点i＊的效用函数由式（34）确定，同理枢纽节点k＊效用函数V（ρk＊）同式（34）.其中，ℜ1等级低于ℜ2，其它同理，0≤Ψ1＜Ψ2＜…＜Ψn≤1.

根据式（28）、（31）与（34）可得节点i＊的综合评价（综合考虑节点等级、资源利用率等）多属性效用函数，由式（35）确定.由式（32）－（34）可得节点k＊综合评价多属性效用函数，由式（36）确定.

综上所述，辐节点i＊与枢纽节点k＊对整个物流网络的贡献评价函数与分别由式（37）与（38）确定.

4 实验研究

4.1 参数设置

1）取a＝v＝1，b＝0.6，s＝3，h＝5，r＝4，ck，k＝C （mk）＝150mk（k∈K）；Q1＝3500，Q2＝7000；Ω1＝0.3，Ω2＝0.6，Ω3＝1；w′＝50，h′＝60，Ψ1＝0.3，Ψ2＝0.6，Ψ3＝1；ℜ1＝C，ℜ2＝B，ℜ3＝A.

2）考虑3种OD货流的场景：场景1为节点货流需求量在某区间大范围波动，表示货流不稳定情形；场景2为节点货流需求量在某区间小范围波动，表示货流较稳定情形；场景3为节点具有货流低需求量或货流高需求量的情形.例如，在表1中集散点1到集散点5的OD流值在场景1下OD流值随机取自区间［110，180］，场景2下OD流值随机取自区间［120，150］，场景3下OD流值随机取自区间［160，180］.

OD流在各状态场景下取值取自表1，其中集合D1表示除节点5、7、13、18以外的其它任意节点，例如始发点为1节点时，D1＝｛2，3，4，6，8，9，10，11，12，14，15，16，17，19，20｝，集合D2，D3和D4同理.

表1 货物流流量设置Tab.1 Settings for OD flows

3）始发地为集散点8、11、14和19中任意一个，目的地为其它不同集散点的OD流值，在状态场景1下，状态场景概率随机取自［0.1，0.15］；在状态场景2下，状态场景概率随机取自［0.15，0.2］；在状态场景3下，状态场景概率随机取自［0.65，0.75］.

5）节点等级系数，将节点等级划分为3个等级，如表2所示.

表2 等级系数配置Tab.2 Coefficients for classifying the nodes into degrees

从以上数据可知集散点8、11、14和19具有最高期望总需求量，同时货流最不稳定；集散点1、6、9、15和20具有较高的远距离且低需求的OD流比例.

4.2 实验步骤

采用如图1所示的流程进行实验研究.首先，根据式（6）计算最佳OD流流量；然后，在辐节点吞吐能力设计的基础上，求解网络设计模型，确定各货流流量场景下枢纽节点位置分布、辐节点指派关系、枢纽节点吞吐能力，最终确定轴辐式网络的结构；其次，根据确定的网络结构，求解节点资源利用率、支线与干线对流平衡度等，并由式（30）进行节点等级评定，得到节点等级；最后，在此基础上根据式（37）进行节点贡献分析，探讨相应网络调整与资源分布策略，并设计算例以验证调整策略的有效性.

图1 实验流程图Fig.1 A flow chart of the experimental steps

为了更好的进行分析，相比于构造大规模算例和采用启发式算法［19］，下面采用小规模算例，通过混合整数规划求解器进行求解和计算，能够直接在最优解的基础上分析对不确定性货流的处理及其影响，并分析节点等级及其贡献.图2为考虑不确定性货流，求解式（9）～（25）所示的随机规划模型所得的网络结构图.图3是根据设计的网络调整策略对图2进行调整后的网络结构图.

图2 不确定性需求网络结构图Fig.2 A network structure with uncertain OD flows

图3 基于网络调整策略的网络结构图Fig.3 A network structure based on network adjustment strategies

4.3 结果分析

根据第2节和第3节的计算方法，将以上各状态场景下节点等级与节点贡献对比分析结果分别汇总为表3和表4.其中实验1、2、3分别为场景1、2、3以概率1发生时所进行的实验，而实验4为各场景的不同概率组合实验，实验5是根据设计的网络调整策略对实验4所规划的网络结构进行调整的实验.

表3 节点分级结果Tab.3 The degrees of the nodes for five experiments

1）节点等级评价分析

当货流是确定时，则将节点吞吐能力设计为其货流量，则各节点资源利用率为100%.此时，节点等级就取决于节点的货流规模、远距离且低货流的货流比例.而集散点1、6、9、15和20的远距离且低货流的货流比例较高；在场景1下节点5、7、13和18具有较大货流规模；在场景2与3下，节点8、11、14和19具有高货流规模，所以在各场景实验中，节点5、6、8、11、14和18具有高等级（见表3）.对于不确定性货流而言，节点资源利用率不均衡，节点综合等级依赖于各个评价指标，其评价结果相比确定状态场景节点等级有很大出入（见表3）.这种差别反应不同的多指标综合评价方法将对分析结果产生影响.

2）节点贡献分析

不同节点的货流规模、资源利用状况影响节点贡献率，贡献值大的节点货流规模大、节点资源利用率高，反之相反.从表4看出，各场景实验中节点贡献不均衡，如不确定性需求下（实验4）节点2的贡献率为6.96%，远大于其它节点贡献值.此外，当各节点物流需求规模大、货流相对稳定、节点资源利用率高、支线与干线对流平衡度高时，节点的贡献率将趋于一致，即具有n个节点的物流网络，节点的贡献率将趋于理想值（100／n）%.此时，货流规模效应明显，网络资源得到均衡利用.因此，可以根据网络中趋于贡献率理想值的节点数量来衡量整个网络的运营状况.例如，实验1中节点1与9贡献率趋于5%，而不确定需求情况下（实验4）节点1、5、6、10与15贡献率趋于5%，这表明虽然货流不确定，但是网络整体运营状况较好.

表4 节点贡献评价Tab.4 The contribution rate of node for five experiments%

3）网络调整策略分析

根据不确定货流下的节点贡献率，对网络结构进行调整，是降低不确定货流风险的有效策略.为了应对辐节点货流规模的不确定性与支线对流的不平衡问题，可以采取适时增减和合并网络节点；为了应对枢纽节点资源利用的不均衡问题，调整枢纽能力规模，甚至考虑暂时关闭枢纽；对于干线对流不平衡问题，可以根据不确定货流调整辐节点到枢纽点的分配关系；最后，可以通过调整辐节点的分配关系和降低货流运输时间等应对货流的不确定性.例如，针对枢纽节点资源利用率低与干线对流不平衡问题，可以采取以下的具体调整准则：

a）枢纽节点关闭准则.当枢纽节点k＊的利用率ηk＊（计算见式（33））小于某一利用率阀值Φ时，关闭枢纽节点k＊（即xk＊，k＊＝0），否则不关闭该枢纽（即xk＊，k＊＝1）.

b）枢纽吞吐能力调整准则.由于季节性货流、双十一活动等货流的不确定性可能导致某些枢纽节点需处理的货流量超过枢纽设计吞吐能力，即此时，考虑增大枢纽设计吞吐能力为（1＋∂）mk＊，其中∂为枢纽吞吐能力调整系数.

c）干线对流不平衡调整准则.通过将干线货流集方向与散方向流量之差的绝对值限制在某一较低水平ℑ，以缓解干线不平衡，其由式（41）表达.

因此，基于上述调整准则与xk＊，k＊的取值，网络调整规划模型可以由式（39）－（41）确定.

设定Φ＝0.5，∂＝0.2，ℑ＝0.08；考虑到货流的波动性，假定由始发节点4、6与14发送至其它节点的货流量减少30%，由始发节点1、7、17与20发送至其它节点的货流量增加20%.求解网络调整模型，并分析其结果可以得到：首先，枢纽节点位置发生改变，枢纽节点9关闭，而非枢纽节点8转变为枢纽节点；其次，辐节点的分配关系发生变化，如辐节点7指派给枢纽节点8，辐节点17指派给枢纽节点16（见图3）；最后，由于约束条件式（40）与（41）的限制，使得网络中节点贡献率趋于贡献率理想值的节点数量由调整前的5个（节点1，5，6，10与15）增加到调整后的8个（节点5，7，8，10，11，13，15与17），见表4.这进一步表明枢纽节点资源利用率得到提高，干线对流不平衡得到有效缓解，网络整体运营状况进一步得到改善，从而上述网络调整准则的有效性得到验证.

5 结论

本文主要研究考虑不确定货流的轴辐式网络设计的随机规划模型，并设计综合评价指标研究不确定性货流的影响.相对于已有文献的贡献主要集中于3点：首先，考虑货流不确定性，运用随机规划方法设计辐节点的吞吐能力，并考虑货流的离散场景，建立混合整数随机规划模型，优化轴辐式网络结构与枢纽吞吐能力.其次，从节点货流规模、节点资源利用率、支线与干线对流平衡等角度对节点进行等级评价，建立多属性效用函数评估节点对网络的影响.最后，基于节点贡献率分析不确定货流场景对轴辐式网络结构和运营的影响，探讨应对策略，并通过算例验证了调整策略对提高网络资源利用率的有效性.从轴辐式网络研究的文献和产业应用出发，本文虽然针对轴辐式网络节点设计了多种效用评价函数，但是这些评价方法的有效性以及其参数的合理性，在后续研究中，将结合调查与理论模型进行分析.

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