基于小波神经与随机分析的径流预测

李保琦，周泽江，马妍博

(1 中国水利水电科学研究院，中国 北京 100048；2 广西水利水电勘测设计院，广西 南宁 530000；3 四川大学 水利水电学院，四川 成都 610065)

中长期水文预报通常泛指预见期超过流域最大汇流时间，且在3 d以上1年以内的水文预报[1-2]。水文预报是防洪减灾工作的重要内容，对于降低水自然灾害损失、提高水利设施效益具有重要的意义。开展径流预测(特别是中长期径流预测)、提高预测精度以掌握未来水文情势，对于实现水资源的合理调配、管理及指导防汛抗旱等具有非常重要的意义。特别是在水文情势复杂、水资源状况日益恶化的今天，径流预测的重要性更加突出[3-4]。因此，研究水文规律，预报水文情势，提高预报精度具有重要的现实意义。我国水文预报起步较晚，但是经过几代水文研究者的努力，已取得了一些成就[4]。以时间和技术手段为界限，水文预报方法可分为传统水文预报和人工智能水文预报；以研究基础和物理机制为界限，水文预报方法可分为基于物理模型的过程驱动模型和基于数学统计的黑箱子模型。目前用于中长期水文预报的方法很多[5-7]，一般情况下分为传统方法和新方法2大类，前者主要有成因分析和水文统计方法，后者主要包括模糊分析、人工神经网络、灰色系统分析等方法[4]。传统的预测方法通常要对水文序列结构和概率密度函数形式做某种假定及适当简化，以反映平稳线性时间序列或者简单的非平稳线性时间序列。然而实际中的径流序列由于受大气环流、太阳活动、下垫面情况、地球物理因素和人类活动的影响，往往呈现出高度复杂的非线性空间过程[8]。小波分析和神经网络是目前研究的热点、重点，然而水文序列是非线性的，受到各种不确定性因素的显著影响，对于预测中出现的一系列复杂问题，这些方法显示出了本身的局限性和预测结果的不精确性。因而，本研究运用人工智能预报手段，通过小波分解和神经网络结合随机分析对河川径流进行预测，以期为提高径流预测的准确度提供参考。

1 材料与方法

1.1 小波分析

小波分析(Wavelet analysis,WA)是一种由粗及细的分析方法，它可以观测到水文时间序列的细微变化，也可以展示大的变化规律，同时能获得不同频带的简单序列。通过小波变换，能将水文时间序列分解为确定性成分和随机性成分，这样除了可以进行原始序列主周期识别以外，还能对序列的突变特征进行识别[4]。小波分析时频多分辨率功能突出，它可以通过多尺度对信号进行分析，有效识别各频率成分并提取所有相关信息。因此，小波分析被誉为“数学显微镜”分析方法，能有效揭示水文序列的结构和变化特性[9-10]。

小波分析的关键是对信号实行小波变换，对给定的满足一定条件的小波函数，时间序列(表示能量有限)的连续小波变换为[11-12]：

(1)

水文时间序列通常是离散的，则上式的离散形式为：

(2)

式中：Δt为抽样时间间隔，N为离散系数，k为自然数(1，2，…，N)。当水文时间序列被分解成小波系数后，对时间序列分析就转化为对小波变换系数的研究。

小波换算系数常通过快速变换算法计算，此算法不涉及具体的小波函数，计算简单快捷。

1.2 人工神经网络

近年来，人工神经网络(ANN)在水文时间序列模拟预测中得到广泛的应用[13]。人工神经网络是对人脑进行的一种模仿，通过数学运算的训练处理信息，进而模拟人脑得出结果。因此，它具有大规模的并行计算与分布式储存能力，以及非线性映射能力、较强的鲁棒性与容错性、自适应、自组织、自学习能力和非局域性、非凸性等特点。虽然人工神经网络具有较强的非线性逼近功能和自学习、自适应的特点，但它类似于“黑箱模型”，许多参数无法确定，模拟得到的水文序列结果也无法具体得知，计算结果无法解释[2，7]。

人工神经网络通过神经元作用函数的简单复合能够逼近有界子集上的任意非线性函数，且模型具有自适应能力，更新方便。采用人工神经网络所构造的水文时间序列模型，根据研究对象的多少可分为单变量和多变量人工神经网络时序模型。多变量人工神经网络模型时间序列的矩阵形式可表示为[14-15]：

Xt,r=g(Xt-1,r,…,Xt-1,r,…,Xt-p,r)+εt,r。

(3)

式中：Xt,r为t时刻r截口的水文特征量；g为神经网络非线性映射，为一隐式函数；p为模型输入节点数；εt,r为t时刻r截口的正态独立随机变量(白噪声)，假定其服从独立正态分布。

式(3)中，Xt,r由2部分组成，第1部分反映了水文时间序列包含的确定成分，采用BP网络模型来模拟；第2部分为模型随机项，反映了序列所包含的随机成分。由于εt,r是服从正态分布的随机变量，可采用变换法进行模拟。以第1部分的网络输出加上第2部分的随机项作为模拟值；由{w1,w2,…,wp,cp}(w1,w2,…,wp为分解出的低频部分，cp为剩下的高频部分)重构网络下一次输入，得到网络输出，再加上随机项作为模拟值。

1.3 小波与神经网络的组合

设小波分解序列为：

W1(1),W2(1),…,Wp(1),Cp(1)

W1(2),W2(2),…,Wp(2),Cp(2)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

W1(n),W2(n),…,Wp(n),Cp(n)。

(4)

式中：W1(t),W2(t),…,Wp(t)为低频序列；p为尺读数；n为分界序列的长度；Cp(t)为背景序列(低频)。

以t时刻的小波分解序列W1(t),W2(t),…,Wp(t),Cp(t)作为ANN的输入，t+T时刻的序列作为网络输出(T为预见期)，构造ANN模型。以上述方式建立的模型称为小波与神经网络组合模型(WANN)。其建模步骤如下：

①时间序列的小波分解。设水文时间序列为{Q(t)},令C0(t)=Q(t)，则快速小波算法如下：

(5)

式中：Ci(t)、Wi(t)分别为尺度i下的背景序列和细节序列；h(k)为离散低通滤波器；p为尺度数。

②WANN的构造。ANN的输入为：X=[W1(t),W2(t),…,Wp(t),Cp(t)]T，输出为Y=[Q(t+T)]。网络模型结构为：(p+1)-(p+1)-1，即3层。

1.4 随机分析

水文序列可利用小波分为背景部分和随机部分，背景部分代表的是水文时间序列的具体走势，可用神经网络得出较好的预测结果；随机部分代表的是水文时间序列的偶然因素所影响的那部分径流序列的走势，所以按照神经网络的思路分析，往往预测效果不佳。因此，本研究选取传统方法对高频序列进行预测，此处选取皮尔逊Ⅲ型分布曲线进行预测。将神经网络得到的背景部分和皮尔逊Ⅲ型分布曲线得到的随机部分的结果叠加，得到最终的水文序列预测值，然后和BP神经网络预测的结果进行比较，最后得出结论。

2 结果与分析

2.1 数据来源

本研究的数据为四川省达州市万源市境内渠江二级支流后河的径流数据(表1)。后河发源于万源市城北大横山，由大县毛坝镇开始，纵穿县境西北部，在普光镇与中河汇合，到县城交口再与前河交汇。后河流域面积3 670.7 km2(其中万源县内流域面积(含中河)1 462.3 km2)，干流长56 km，平均坡降1.1‰，多年平均径流量12.47亿m3。

表1 四川省万源市后河1959-2008年的年平均流量

2.2 小波分解与重构

根据上述原理和步骤建立小波神经网络与随机分析的组合模型，资料采用后河1959-2008年共50年的径流数据，小波分析对水文径流序列进行2层分解，由原始序列分解得到W1(t)和C1(t) 2部分，这是第1次分解；再将W1(t)分解得到W2(t)和C2(t) 2部分，到此第2次分解完毕；然后对各频率部分进行重构，最后以重构得到的C2(t)作为原始序列的背景序列(图1)，以W1(t)和W2(t)的叠加作为原始序列的随机部分(图2)。

图1 四川省万源市后河径流分解后得到的背景序列

图2 四川省万源市后河径流分解后得到的随机序列

2.3 背景序列的模拟预测

选用BP神经网络对背景序列进行模拟预测。应用1959-1993年序列进行网络模拟训练，然后用1994-2008年年平均流量进行验证。背景序列预测结果见表2。

表2 四川省万源市后河径流序列分解后低频序列模拟预测结果

2.4 随机序列的模拟预测

选用皮尔逊Ⅲ型分布曲线预测分离出的随机序列。首先进行参数估计，然后求得不同频率下的随机序列随机值。最后得到后河径流序列在25%，50%和75%频率下随机序列的随机值分别为3.8，0和-8.3。

2.5 年径流序列的模拟预测

将神经网络分析得到的背景序列结果和皮尔逊Ⅲ型分布曲线分析得到的随机序列模拟预测结果叠加，得到不同频率下年平均流量预测的最终结果，同时将实测序列点绘于图3 进行比较。

图3 四川省万源市后河径流小波神经组合模型及BP神经网络预测结果与实测结果的比较

由图3可知：(1)预测结果的整体变化走势与实测序列的变化走势一致，这是由背景序列的预测结果确定和保证的；(2)实测序列基本包含在25%和75%保证率对应预测值的范围内，50%的保证率预测值与实测序列最接近。因此，文中的概率预测结果合理地反映了未来水文径流的走势；(3)由预测结果可直接掌握水文径流量随年份的丰、平、枯变化情况，以及某些具体年份径流的丰枯状况。

2.6 BP神经网络对原始径流的预测

采用BP神经网络模型对原始数据进行预测(结果见图3)，并将其与本研究所建模型的预测结果进行对比，结果见表3。

表3 基于BP神经网络对四川省万源市后河原始径流的预测结果

从表3可以看出，传统的BP神经网络预测结果的平均相对误差为8.75%，最大相对误差为17.08%。根据《水文情报预报规范》(SL 250-2000)[16]对中长期径流预报的精度要求，预测误差在多年变幅的10%以内为合格，BP神经网络预测合格率为46.67%，预测精度不是很高。而组合模型相对于BP神经网络预测模型而言，不但精度更高，预测合格率达73.33%，而且还可以掌握水文径流量随年份的丰、平、枯变化情况，以及某些具体年份径流的丰枯状况。

3 讨 论

基于以上计算和分析，得出以下结论：

1)将小波分析方法引入BP神经网络，利用BP神经网络对小波分离出来的背景序列进行模拟训练和预测，结果显示该组合模型预测结果较为理想，适用于中长期径流预测。

2)应用小波分析对径流序列进行分解，可得到不同尺度下的径流振荡变化和趋势成分。应用皮尔逊Ⅲ型分布曲线对振荡变化部分进行分析，再与分离出的背景序列的预测结果叠加，可得到较好的预测结果，效果明显优于单独应用BP神经网络时的预测结果，因而具有广泛的应用前景。

3)在进行小波分析时，小波函数的选择应慎重，不同的小波函数可导致不同的分析结果；水文序列具有自身的特殊性，高频部分和低频部分的分离依据可由具体的情况决定，其宗旨是分离效果要保证模拟预测结果的可靠性。

4)水文径流序列成分复杂多变，影响因素各种各样。因此，在使用不同的方法时应去除单一方法的受制约部分，将多种方法联合使用，取长补短，以提高预测的准确性。

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