修正Camassa-Holm方程的Cauchy问题*

张双虎，冯兆永，杨凯波

(1．西南大学数学与统计学院, 重庆 400715;2．中山大学数学与计算科学学院, 广东 广州 510275)

在本文，我们考虑如下直线上修正Camassa-Holm方程(mCH方程)的初值问题

(1)

这里

(2)

表示系统的动量密度。这个非线性方程通过对修正 Korteweg-de Vries方程的bi-Hamiltonian 表示应用 tri-Hamiltonian 对偶方法而导出[1-2]，因此它是具有 bi-Hamiltonian 结构的可积系统。方程(1)描述平直底面上浅水表面波的无向性传播，u(t,x)表示非维数变量的自由表面高度。

Camassa-Holm 方程(CH 方程)

mt+umx+2mux=0,m=u-uxx

CH 方程具有二次非线性项，最近有两个具有三次非线性项的CH型方程被导出：mCH方程(1)和Novikov方程[16]

mt+u2mx+3muux=0,m=u-uxx

(3)

这两个方程都具有尖峰孤立子解并且都能描述波的破裂。最近，mCH方程(1)的几何形成和可积性、局部适定性、爆破准则和破裂机制、尖峰解以及尖峰孤立子的稳定性获得了研究[17-19]。

本文的目标是对(1)的 Cauchy 问题，提出奇异性形成的一些充分条件，建立解不连续依赖于初值意义下的不适定性。首先将mCH方程(1)改写成关于动量密度(2)的运输方程

(4)

运输方程的理论保证了解m保持正常和不爆破，只要斜率

(5)

保持有界；而当斜率(5)下方无界时，解在有限时间爆破[17-18]。当初值保号时，动量密度满足运输方程还隐含了动量m(t,x)和强解u(t,x)保持相同的符号，这对本文爆破结果的提出至关重要。我们提出的新的爆破利用了下述守恒律

以及作者最近建立的更好的估计(见引理4)。受文献[10]启发，我们利用文献[18]中给出的(1)的尖峰孤立子建立了非一致依赖性。这一结果的建立，使得我们对初值所在空间的指标有了一个较为清晰的刻画。

记号在下文中，对给定的 Banach 空间X, 其范数记为‖·‖X。 在不引起混淆的情况下，我们总是省略函数空间的定义域。函数u的Fourier 变换记为u或

1 基本引理

我们回顾修正 Camassa-Holm 方程的基本结果，读者可以通过文献[17-18]查阅细节和证明。首先我们给出局部适定性。

利用上述准则，我们可得以下爆破准则。

(6)

我们可得以下引理。

(t,x)∈[0,T)×R

进一步，

m(t,q(t,x))qx(t,x)=m0(x),(t,x)∈[0,T)×R

2 爆破现象

我们讨论 mCH 方程初值问题的爆破现象。首先引出一个重要引理，通过这个引理我们可以改进其已经确立的爆破结果。

引理4[20]设u0∈Hs(R),s≥2以及T>0是初值问题 (1) 对应的解u(t,x)的最大存在时间，则

(7)

进一步

|ux(t,x)|≤u(t,x)

现在我们陈述本文第一个重要的定理。

(8)

则解u(t,x)在有限时刻T0爆破

(9)

(10)

方程(1)和方程(6)可推出对t∈[0,T),

(11)

并且，结合引理5，(7)式以及(10)式, 易得

(12)

利用(11)-(12)式，通过简单计算可知成立

(13)

以下我们声明对所有t∈[0,T), 总有

(14)

事实上， 如果(14)式不成立，则由初始条件(8)可知，必存在时间t0∈(0,T)使得

(15)

从而

这与(15)式相矛盾。

结合(11)式、(13)-(14)式，对所有t∈[0,T)，有

(16)

上式从0到t积分可得

从而，可推知存在0

进一步，由于

从而

当t→T≤T0

(17)

这就证明了解u(t,x)在有限时间T爆破。

注1 定理1不仅在初始条件上提升了文[18]中定理5.2，并且爆破时间的估计更优

注意到 mCH 方程(1)具有性质：若u(t,x)是(1)的解, 则v(t,x)=-u(t,x)也是(1)的解。因而，通过类似于定理1的分析，可以建立如下m0非正时的爆破结果。

(18)

则解u(t,x)在有限时刻T0爆破

(19)

3 非一致连续依赖性

引理6[18]对任何a≠0, 具尖峰形式的函数

是(1)的一个整体弱解。

为了证明上述定理，我们首先提出一个关键引理。

(20)

以及

(21)

其中

证明由引理6, 对任何c>0 考察

首先，通过计算uc关于x的Fourier变换可知

(22)

因此，当t=0时可得

(23)

另一方面, 当t>0 时，

(24)

其中

则可以推出

(25)

结合(24)-(25)式可知

C2(s)2n1+4|s|+2st3-2s

进一步，得

最后，很容易知道定理2是引理7的一个直接结果。

注2 分析文献[17-18]中的定理和本文中的定理2, 我们知道在局部适定性和非适定性之间的指标存在间隔，这是我们以后研究努力弥补的方向。

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