矩阵的秩与零化多项式

丁博辉， 曹 炜

(宁波大学数学系，宁波315211)

1 引 言

矩阵的秩与特征值是大学高等代数课程中的两个重要内容，二者之间又有着深刻的内在联系. 如满秩的矩阵必不存在零特征值.而对于一般的矩阵，利用Jordan标准形不难证明，其秩等于矩阵的阶数减去零特征值的几何重数. 矩阵的零化多项式与特征值密切相关(如下引理2.4). 因而，在一些特殊情况下，可利用矩阵的零化多项式来确定矩阵的秩，反之亦然. 这类问题也常出现在历年的考研数学试题中. 下面的定理1.1即为北京大学2005年的考题.

定理1.1设矩阵A∈n×n，则A3=I的充要条件是

rank(I-A)+rank(I+A+A2)=n.

若矩阵A满足A2=I，则A也称为对合矩阵. 在文献[1]中，给出了关于对合矩阵的类似性质：

定理1.2设矩阵A∈n×n，则A2=I的充要条件是

rank(I-A)+rank(I+A)=n.

定理1.1和定理1.2推广可得到

定理1.3设矩阵A∈n×n,k≥2为整数，则Ak=I的充要条件是

rank(I-A)+rank(I+A+…+Ak-1)=n.

实事上，以上三个定理均为下面定理的特殊情形.

定理1.4设矩阵A∈n×n.若多项式f(x)=(x-1)g(x)且g(1)≠0，则f(A)=O的充要条件是

rank(A-I)+rank(g(A))=n.

经过进一步的研究，我们发现，定理1.1-1.4都是下面定理1.5的推论. 因此，本文将只证明定理1.5.

定理1.5设矩阵A∈n×n.若f(x)=h(x)g(x)满足gcd(h(x),g(x))=1，则f(A)=O的充要条件是

rank(h(A))+rank(g(A))=n.

2 预备知识

本节中的相关定义及引理参见文献[2，3].

定义2.1设矩阵A∈n×n，定义A的核(又称零空间)为

ker(A)={X∈n|AX=0}.

注 矩阵A的核的维数，即dim(ker(A))又称为A的零度.

引理2.2(秩—零度定理) 设矩阵A∈n×n，则有

rank(A)+dim(ker(A))=n.

秩—零度定理是一个非常重要的定理，将在下文的证明中发挥关键作用. 且由该定理，不难得到下面的引理2.3：

引理2.3设n阶矩阵A与B满足AB=O，则有

rank(A)+rank(B)≤n.

引理2.4已知n阶矩阵A的特征值为λi(i=1,2,…,n),则矩阵多项式f(A)的特征值为f(λi) (i=1,2,…,n).

我们还需要一个有关多项式互素的充分必要条件.

引理2.5多项式h(x)与g(x)互素，即gcd(h(x),g(x))=1，当且仅当存在多项式u(x)与v(x)，使得u(x)h(x)+v(x)g(x)=1.

3 定理1.5的证明

首先证必要性.将x=A代入f(x)=h(x)g(x)，可得

f(A)=h(A)g(A)=O.

由引理2.3知

rank(h(A))+rank(g(A))≤n.

(1)

另一方面，

rank(h(A))+rank(g(A))≥rank(h(A)-g(A))

(2)

设B=h(A)-g(A)，我们断言B的特征值不可能为0. 设λ是A的特征值. 由引理2.4可知，与λ相对应的B的特征值λ′=h(λ)-g(λ). 假设λ′=0,则有h(λ)=g(λ)，从而(x-λ)|h(x)-g(x)，这与gcd(h(x),g(x))=1相矛盾. 故λ′≠0，断言得证. 因而由(2)可得

rank(h(A))+rank(g(A))≥n.

(3)

由(1)和(3)可证得必要性.

再证充分性.令

W1=ker(h(A)),W2=ker(g(A)),W=ker(f(A))，

由题设f(x)=h(x)g(x)可知

W1⊆W,W2⊆W.

现取X∈W1∩W2，即

h(A)X=0,g(A)X=0.

因为gcd(h(x),g(x))=1，由引理2.5知，存在多项式u(x)与v(x)，使得u(x)h(x)+v(x)g(x)=1.将x=A代入，并两边同时右乘X，可得X=0，即W1∩W2={0}.故和空间W1+W2是直和.由引理2.2及已知条件，可得

dim(W1)+dim(W2)=2n-(rank(h(A))+rank(g(A)))=n.

又因为dim(W)≤n，所以dim(W)=dim(W1)+dim(W2)=n. 从而再次由引理2.2知，rank(f(A))=n-dim(W)=0. 故有f(A)=O.

[参 考 文 献]

[1] 张禾瑞，郝鄢新.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，1983.

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[3] 程云鹏，张凯院，徐仲.矩阵论[M].2版.西安：西北工业大学出版社，1999.