关于Diophantine方程x3±43＝3py2*

普粉丽，尹爱军

关于Diophantine方程x3±43＝3py2*

普粉丽，尹爱军

（普洱学院数学与统计学院，云南普洱665000）

设p为奇素数，运用初等方法得出了Diophantine方程x3±43＝3py2无正整数解的两个充分条件.

丢番图方程；奇素数；同余；正整数解

方程x3±a3＝Dy2（D是无平方因子的正整数）是一类重要的Diophantine方程，其整数解越来越受到人们的关注.杜先存等［1－4］、乐茂华［5，6］对a＝1的情况进行了系列研究，得到了一系列结果；但a＝4时的研究结果还不多见，目前只有很少人进行过研究，且一般集中在研究D无平方因子，且不含6k＋1型素数时整数解的情况.其结论主要为：1994年，李复中［7］给出D只含一个6k＋1型素数因子时，Diophantine方程x3±64＝3Dy2在一些条件下无非平凡解的充分条件；1994年，张海燕、李复中［8］给出D不能被3或6k＋1型的素数整除且D≠k＋2时，Diophantine方程x3±64＝Dy2无非平凡解的充分性条件.本文主要研究D能被3整除，同时还能被6k＋1型素数整除时，方程x3±43＝Dy2无非平凡解的情况.

引理1［5］设奇素数p适合p＝12r2＋1，则方程x3－1＝3py2，x，y∈N无解（x，y）.

引理2［6］设p为奇素数，如果p＝12r2＋1，其中r∈N＋时，则方程x3＋1＝3py2，x，y∈N＋无正整数解.

引理3 设为奇素数，则Diophantine方程x3±8＝2Py2，gcd（x，y）＝1无 2x的正整数解.

证明：当2x时，有8 x3，由x3－8＝2Py2知，4 y2，即2y，可得gcd（x，y）＝2，与gcd（x，y）＝1矛盾，所以Diophantine方程x3±8＝2Py2，gcd（x，y）＝1无2x的正整数解.

定理1 设奇素数p＝12r2＋1，其中2r，则Diophantine方程x3－43＝3py2无正整数解.

定理2 设奇素数p＝12r2＋1，其中2r，则Diophantine方程x3＋43＝3py2无正整数解.

定理1证明：当x≡0（mod 4）时，有y≡0（mod 8），令x＝4x1，y＝8y1，则Diophantine方程x3－43＝3py2可以化为x31－1＝3py22，由引理1知，Diophantine方程x3－43＝3py2无 x≡0（mod 4）的正整数解.

当2x时，有4y，则gcd（x，y）＝2，从而x3－43＝3py2可以化为1，由引理3知，Diophantine方程x3－43＝3py2无2x的正整数解.

当x≢0（mod 2）时，由x3－43＝3py2知，y≢0（mod 2），因为x3－43＝（x－4）·（x2＋4x＋16），而gcd（x－4，x2＋4x＋16）＝1或3，从而得出下列八种可能的情形：

情形Ⅰ：x－4＝u2，x2＋4x＋16＝3pv2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅱ：x－4＝3u2，x2＋4x＋16＝pv2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅲ：x－4＝pu2，x2＋4x＋16＝3v2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅳ：x－4＝3pu2，x2＋4x＋16＝v2，y＝uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅴ：x－4＝3u2，x2＋4x＋16＝9pv2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅵ：x－4＝9u2，x2＋4x＋16＝3pv2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅶ：x－4＝3pu2，x2＋4x＋16＝9v2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅷ：x－4＝3pu2，x2＋4x＋16＝3v2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1

情形Ⅰ，因为x≡1（mod 2），则u≡1（mod 2），故u2≡1（mod 8），由第一式得x≡u2＋4≡5（mod 8），代入第二式得5≡3pv2（mod 8），而奇素数p＝12r2＋1，且2r，知p≡1（mod 8），又因3pv2≡pv2≡1（mod 2），知v2≡1（mod 2），则v2≡1（mod 8），所以3pv2≡3（

mod 8），因此5≡3（mod 8），矛盾.所以该情形方程x3－43＝3py2无x≢0（mod 2）的正整数解.

情形Ⅱ，由第一式有x＝3u2＋4≡u2≡1（mod 2），所以x≡7（mod 8），则5≡pv2（mod 8），又因为pv2≡1（mod 2），故p≡1（mod 8），所以v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），因此pv2≡1（mod 8），所以5≡1（mod 8），矛盾，所以该情形方程x3－43＝3py2无x≢0（mod 2）的正整数解.

情形Ⅲ，因为x≡1（mod 2），所以3v2≡v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），由第一式得x＝pu2＋4，又因为p≡1（mod 8），所以x＝pu2≡1（mod 2），即u2≡1（mod 2），所以x≡5（mod 8），则5≡3v2（mod 8），又因为3v2≡3（mod 8），因此5≡3（mod 8），矛盾，所以该情形方程x3－43＝3py2无x≢0（mod 2）的正整数解.

情形Ⅳ，第二式可化为（x＋2）2＋12＝v2，可得x＝0或－4，代入第一式可知x＝0或－4，均不适合此式，所以该情形方程x3－43＝3py2无x≢0（mod 2）的正整数解.

情形Ⅴ，由第一式知x＝3u2＋4≡u2≡1（mod 2），所以u2≡1（mod 8），进而可知x≡7（mod 8），则5≡9pv2（mod 8），又p＝12r2＋1≡1（mod 2），9pv2≡pv2≡1（mod 2），所以v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），所以9pv2≡1（mod 8），因此5≡1（mod 8），矛盾，所以该情形方程x3－43＝3py2无x≢0（mod 2）的正整数解.

情形Ⅵ，由第一式知x＝9u2＋4≡u2≡1（mod 2），又因为，即u2≡1（mod 2），知u2≡1（mod 8），所以x≡5（mod 8），则5≡3pv2（mod 8），而奇素数p＝12r2＋1，且2r，即p＝4r2＋1≡1（mod 8），又因为3pv2≡1（mod 2），所以v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），因此3pv2≡3（mod 8），所以5≡3（mod 8），矛盾，所以该情形方程x3－43＝3py2无x≢0（mod 2）的正整数解.

情形Ⅶ，由第一式知x＝3pu2＋4≡pu2（mod 2），又因为p＝4r2＋1≡1（mod 2），所以u2≡1（mod 2），即u2≡1（mod 8），得x≡7（mod 8），则5≡9v2（mod 8），又因为9v2≡v2≡ 1（mod 2），即v2≡1（mod 8），因此9v2≡1（mod 8），所以5≡x2＋4x＋16＝9v2≡1（mod 8），矛盾，所以该情形方程x3－43＝3py2无x≢0（mod 2）的正整数解.

情形Ⅷ，由第一式得x＝9pu2＋4≡pu2（mod 2），又因为p≡1（mod 2），x≡1（mod 2），所以u2≡1（mod 2），即u2≡1（mod 8），所以x≡5（mod 8），则5≡3v2（mod 8），又因为3v2≡v2≡1（mod 2），即v2≡1（mod 8），所以3v2≡3（mod 8），因此5≡3（mod 8），矛盾，所以该情形方程x3－43＝3py2无x≢0（mod 2）的正整数解.

从以上讨论得知，Diophantine方程x3－43＝3py2在题设条件下无正整数解.

综上，定理1得证.

类似可证定理2.

［1］杜先存，吴丛博，赵金娥.关于Diophantine方程x3±1＝3Dy2［J］.沈阳大学学报（自然科学版），2013，（1）：84－86.

［2］杜先存，管训贵，杨慧章.关于不定方程x3＋1＝91y2［J］.内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2013，（4）：397－399.

［3］杜先存，万飞，杨慧章.关于丢番图方程x3±1＝1267y2的整数解［J］.数学的实践与认识，2013，（15）：288－292.

［4］杜先存，赵东晋，赵金娥.关于不定方程x3±1＝2py2［J］.曲阜师范大学学报（自然科学版），2013，（1）：42－43.

［5］乐茂华.关于Diophantine方程x3－1＝3py2［J］.广西师范学院学报（自然科学版），2004，（3）：32－33.

［6］乐茂华.关于Diophantine方程x3＋1＝3py2［J］.保定师范专科学校学报，2004，（2）：12－13.

［7］李复中.关于丢番图方程x3±64＝3Dy2［J］.东北师范大学学报（自然科学版），1994，（2）：16－17.

［8］张海燕，李复中.关于丢番图方程x3±64＝3Dy2［J］.哈尔滨科学技术大学学报，1994，（3）：107－109.

On the Diophantine Equation x3±43＝3py2

PU Fenli，YIN Aijun
（School of Mathematics and Statistics，Pu’er College，Pu’er Yunnan 665000，China）

Let p be an odd prime.With the elementarymethod，two sufficient conditions are obtained when the Diophantine equation x3±43＝3py2has no integer solutions.

Diophantine equation；odd prime；congruence；positive integer solution

O156.1

A

1008－4681（2014）02－0009－02

（责任编校：晴川）

2014－03－02

普粉丽（1980－），女，云南江川人，普洱学院数学与统计学院讲师，硕士.研究方向：数学教育、初等数论.