期望矩在陕北地区洪水频率分析中的应用

王俊珍，宋松柏

(西北农林科技大学 水利与建筑工程学院，陕西 杨凌 712100)

洪水是我国最频繁和严重的自然灾害之一。洪水因暴雨形成，具有突发性、破坏性和危险性，可以使村镇、城市及人民生命财产毁于一旦[1-2]。修建水库和堤防等水利工程是常用的防洪措施，而推求设计洪水是防洪规划、管理和建设的基础[3-6]。设计洪水计算通常采用频率分析方法，其内容包括线型和参数估计方法等[7-9]。我国《水利水电工程设计洪水计算规范》[10]中规定，我国的洪水频率曲线线型一般采用P-Ⅲ型分布，而参数估计方法主要有矩法、适线法、概率权重矩法和权函数法等，实际应用中这些方法各有优劣。限于我国水利事业发展状况，现有的实测资料序列均较短，影响着设计洪水的计算精度。有研究结果显示，在洪水资料系列中考虑历史洪水资料可以提高洪水频率的计算精度[11-12]。因此，矩法、概率权重矩法和权函数法等方法中，具有历史洪水资料的计算式被相应推导出来，但其中实测资料被赋予的权重大于历史洪水资料。期望矩法(Expected Moments Algorithm,简称EMA法)是Cohn等于1997年提出的，该方法提高了历史洪水资料的权重[13-16]。因此，采用EMA法进行具有历史洪水的设计洪水计算时，可以有效利用历史洪水资料，提高设计洪水值的计算精度。

陕北一带小面积洪水发生次数多，洪峰模数大，尤以黄河沿岸神木一带和无定河、延河、洛河中上游最为突出[17]。针对陕北地区的洪水灾害问题，本研究选用该区6个水文站的洪峰流量序列，以EMA法和普通矩法进行洪水频率曲线拟合，进而评价所得洪水频率曲线的拟合效果及实测值与设计值误差，旨在为该区水利工程设计中洪水频率的准确计算提供理论依据。

1 EMA矩简介

假设有一个s年的实测系列，具有h年的历史洪水资料系列。以N表示洪水调查期(包括历史和实测期的年数)，xi表示洪峰流量，e1为历史洪水系列的特大洪水次数，xh-e1为历史洪水期中小于门限值x0(一般认为很大的流量)的洪峰流量，e为实测系列的特大洪水次数，则在N年内，特大洪水(超过门限值x0)的总次数为k=e1+e。

1.1 样本矩初始值的估计

P-Ⅲ型分布的概率密度函数为：

(1)

式中：α，β,a0分别为P-Ⅲ型分布的形状、尺度和位置参数。

完全伽马函数Γ(α)为：

(2)

实测资料的权重系数(大于1)W的计算公式为：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：g为洪水的总次数，符号“^”表示参数估计值。

P-Ⅲ型分布的参数α、β、a0可以联合式(7)～(9)进行求解。

(7)

(8)

(9)

设计频率p的分位数估计值为：

(10)

1.2 EMA矩计算

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：E[xh-e1]表示xh-e1的期望矩，可用不完全伽马函数Γ〈x|α〉表示为：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中：K为期望矩的阶数，j=0,1,2…。

③ 利用迭代法计算，直到前后2次参数迭代估计结果满足迭代计算精度要求为止。

2 实例应用

2.1 研究区概况

洪水主要由暴雨形成，受西太平洋副热带高压与西风带低槽相互作用的影响，陕北地区的暴雨具有明显的季节性，该区洪水多出现在7-8月，最大洪峰流量的变化较大，最大与最小年洪峰流量的比值达到23～82，由于水文地质条件较差，水灾频繁且危害严重。

本研究选取陕北交口河、赵石窖、绥德、刘家河、张村驿和志丹6个水文站的洪峰流量资料，经还原处理后，所用资料满足代表性和可靠性及一致性要求。根据《陕西省洪水历史洪水资料》，确定各水文站的历史洪水考证期，分析P-Ⅲ型分布的EMA法和普通矩法应用于洪水序列的拟合效果。陕北地区6个水文站最大洪峰流量资料的基本概况如表1所示。

表 1 陕北地区6个水文站年最大洪峰流量资料系列长度

2.2 参数的估计

应用EMA法估计上述6个水文站洪峰流量序列参数(序列均值(ex)、变差系数(Cv)，偏态系数(Cs))，并与普通矩法进行对比分析，其中普通矩法的原理和算法参见文献[4]。计算结果如表2所示。由表2可知，除了交口河和张村驿站，其他4个站EMA法的均值ex均大于普通矩法，偏态系数Cs则与之相反，而变差系数Cv没有明显的规律。

2.3 洪峰流量频率曲线的绘制

根据表2估算出的参数值，推求洪峰流量设计值xp，并绘制洪峰流量频率曲线，结果如图1所示。

表 2 陕北6个水文站洪峰流量序列参数的估算结果

图 1 陕北地区6个水文测站的洪峰流量频率曲线

根据表2中的参数估计结果，进一步分析比较2种方法估计的洪峰流量频率曲线对经验点据的拟合情况，结果(图1)显示，2种方法在交口河和张村驿站上的拟合效果十分接近，而在其他站点均以EMA法的拟合效果较普通矩法好，这与参数估计结果的变化规律相符，表明EMA法能较好地应用于陕北地区洪水频率曲线的拟合。

2.4 误差分析

(22)

表3显示，除交口河站外，其他5个站点的设计值偏差均以EMA法较普通矩法小，表明EMA法能充分利用历史洪水资料，降低了设计值的计算偏差。结合洪峰流量频率曲线拟合图结果可知，EMA法不仅能较好地拟合经验点据，同时还可有效降低设计值的计算偏差，使估计结果更为稳定、可靠。

表 3 EMA法和普通矩法估计陕北6个水文站洪峰流量频率设计值偏差的比较

3 结 论

本研究以陕北地区6个水文测站的年最大洪峰流量序列为例，选用P-Ⅲ型分布，以EMA法和普通矩法对洪峰序列参数进行估计，评估洪水频率曲线拟合效果及设计值与实测值的偏差。结果表明，EMA法能用于研究区洪水频率曲线的拟合，且设计值偏差小，可为研究区防洪工程建设提供理论依据。但在实际应用时，需注意区分洪水序列样本中实测特大洪水值和历史洪水考证期的长度，以确保其可靠性。

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