关于导集性质在不同空间的讨论*

罗 飞， 金渝光

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

1 预备知识

1.1[1] 拓扑空间的定义

定义1 设X是一个集合，ζ是X的子集族,如果ζ满足如下条件

(1)X，∅∈ζ.

(2) 若A，B∈ζ，A∩B∈ζ.

(3) 若ζ1⊂ζ，则∪A∈ζ1A∈ζ.

则称ζ是X的一个拓扑，(X，ζ)为拓扑空间.

1.2[2] 拓扑空间导集性质

设(X，ζ)是一个拓扑空间，A⊂X，则

(1)d(∅)=∅.

(2)A⊂B，d(A)⊂d(B).

(3)d(A∪B)=d(A)∪d(B).

(4)d(d(A))⊂A∪d(A).

1.3 拓扑空间符号记法

(1)n阶导集符号的记法.

记d(A)=d(A)，d(2)(A)=d(d(A))，…，d(n)(A)=d(d(n-1)(A)).

(2) 邻域的记法.

设(X，ζ)是一个拓扑空间，x∈X，x∈U，U是x的开集，则称U是X的一个邻域，记Ux={U|U是x的邻域}.

2 相关性质

2.1 欧式空间和度量空间的导集与拓扑空间中的不同之处

(1) 在度量空间中，d(d(A))⊂d(A)是成立的.

证明因为在度量空间中，d(A)是闭集[3]，按照闭集定义可知d(d(A))⊂d(A),故得证.

(2) 在一般拓扑空间d(d(A))⊂d(A)是不成立的.

例1 在拓扑(X，ζ)中，设X={a，b，c，d}，ζ={∅，X，{b，c}，{a，b，c}，{b，c，d}}，取A={a，b}，求d(A)和d(d(A)).

解(1)设x∈d(A)，∀U∈Ux有U∩(A|{x})≠∅，故d(A)={a，c，d}.

(2) 设x∈d(d(A))，∀U∈Ux有U∩(d(A)|{x})≠∅，故d(d(A))={a，b，d}.

例1给出在一般拓扑空间中d(d(A))⊂d(A)不成立，因为d(d(A))⊂d(A)∪A.这个例子满足在拓扑空间d(d(A))⊂d(A)∪A是成立的.

2.2 拓扑空间d(d(A))⊂d(A)∪A的证明方法

给出两种方法证明在一般拓扑空间中，证明d(d(A))⊂d(A)∪A是成立的.

(方法一：用逆否命题法进行证明，即x∉A∪d(A)，推出x∉d(d(A)).)

证明设x∉A∪d(A)，有x∉d(A)且x∉A.∃U开属于x的邻域，使得U∩(A|{x})=∅且x∉A，得U∩A=∅，即U中无A的点. ∀y∈U开，U∩(A|{y})⊂U∩A=∅，得到y∉d(A)，即U中没有A的聚点，即U∩d(A)=∅，推出U∩(d(A)|{x})⊂U∩d(A)=∅，即x∉d(d(A))，故d(d(A))⊂A∪d(A).

(方法二：用直接法证明，即x∈d(d(A))，推出x∈d(A).)

证明对∀U开属于x的邻域，∀x∈d(d(A))，有U∩(d(A)|{x})≠∅，则有∅≠U∩(d(A)|{x})⊂U∩d(A)，推出U∩d(A)≠∅，∃x0∈U∩d(A)推出x0∈U且x0∈d(A).

(1) 当x∈A，有d(d(A))⊂A∪d(A).

(2) 当x∉A，因为x0∈d(A)，则有U∩(A|{x0})≠∅，∅≠U∩(A|{x}|{x0})⊂U∩(A|{x})，有U∩(A|{x})≠∅，推出x∈d(A).故d(d(A))⊂A∪d(A).

故d(d(A))⊂A∪d(A).

3 主要结论的分析及其证明

此处所要研究的主要问题是设(X，ζ)是一个拓扑空间，A⊂X，A1，A2，A3，…，An⊂X，分析并证明结论：

(Ⅰ) ∀A1，A2，A3，…，An⊂X,d(n)(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d(n)(A1)∪d(n)(A2)∪…∪d(n)(An).

(Ⅱ) ∀A⊂X，d(n)(A)⊂A∪d(A)∪d(d(A))…∪d(n-1)(A).

下面就对上面两个结论(Ⅰ)(Ⅱ)进行分析和证明.

(Ⅰ) ∀A1，A2，A3，…，An⊂X，d(n)(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d(n)(A1)∪d(n)(A2)∪…∪d(n)(An).

要证d(n)(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d(n)(A1)∪d(n)(A2)∪…∪d(n)(An)，先证d(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d(A1)∪d(A2)∪…∪d(An)，再证d(n)(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d(n)(A1)∪d(n)(A2)∪…∪d(n)(An)即可.

证明当n=2时，A1，A2⊂X，有d(A1∪A2)=d(A1)∪d(A2)，显然.假设n=k时，d(A1∪A2∪…∪Ak)=d(A1)∪d(A2)∪…∪d(Ak)成立.当n=k+1时，d(A1∪A2∪…∪Ak∪Ak+1)=[d(A1)∪d(A2)∪…∪d(Ak)]∪d(Ak+1)=d(A1)∪d(A2)∪…∪d(Ak)∪d(Ak+1),故d(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d(A1)∪d(A2)∪…∪d(An).

当n=1时，d(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d(A1)∪d(A2)∪…∪d(An)成立.

当n=2时，d(2)(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d[d(A1)∪d(A2)∪…∪d(An)]=d(2)(A1)∪d(2)(A2)∪…∪d(2)(An)成立.

假设当n=k时，d(k)(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d(k)(A1)∪d(k)(A2)∪…∪d(k)(An)成立，当n=k+1时，

d(k+1)(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d[d(k)(A1∪A2∪A3∪…∪An)]=

d[d(k)(A1)∪d(k)(A2)∪…∪d(k)(An)]=d(k+1)(A1)∪d(k+1)(A2)∪…∪d(k+1)(An)

故

d(n)(A1∪A2∪A3∪…∪An)=d(n)(A1)∪d(n)(A2)∪…∪d(n)(An)

(Ⅱ) ∀A⊂X，d(n)(A)⊂A∪d(A)∪d(2)(A)∪…∪d(n-1)(A).

证明当n=2时，d(d(A))⊂A∪d(A)已证.

假设n=k时，d(k)(A)⊂A∪d(A)∪d(2)(A)∪…∪d(k-1)(A)时成立. 当n=k+1时，

d(k+1)(A)⊂d[A∪d(A)∪d(2)(A)∪…∪d(k-1)(A)]=

d(A)∪d(2)(A)∪…∪d(k)(A) ⊂A∪d(A)∪d(2)(A)∪…∪d(k)(A)

故d(n)(A)⊂A∪d(A)∪d(2)(A)∪…∪d(n-1)(A).

参考文献：

[1] 熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社，2003

[2] 尤承业.点集拓扑讲义[M].北京：北京大学出版社，1997

[3] 梁基华，蒋继光.拓扑学基础[M].北京：高等教育出版社，2006