小波水文分析在年降水量分析中的应用

徐敏

（辽宁省水文水资源勘测局本溪分局，辽宁 本溪 117000）

小波水文分析在年降水量分析中的应用

徐敏

（辽宁省水文水资源勘测局本溪分局，辽宁 本溪 117000）

水文工作一项重要任务就是对相关要素进行中、长期水文预报，目前采用的方法一般为参数估计法、多元回归法、线性相关法等。应用小波水文分析理论，探讨降水量时间序列的多时间尺度变化特征，寻找出降水量时间序列不同时间尺度下的演变规律和发展趋势，从而为降水量的中、长期预测提供分析依据。

小波水文分析；时间尺度；降水量

0引言

由于水文要素（降水、流量等）具有大量的不确定性和复杂性，常规的分析方法很难对它们的发展规律和变化特征有清晰的了解和准确的预测。此文介绍一种新的方法—小波水文分析法，小波 分 析（waveletanalysis）是 一 种 由 粗 及 细 的 分 析方法，它可以观测到细微的变化，也可以展示大的变化趋势，同时能获得不同频带的简单序列。将小波分析引入到水文学应用研究中，可以从多方面揭示水文系统的变化规律，从而为防汛抗旱、水资源合理开发利用及配置提供技术支撑。

1 方法原理

小波分析是一种窗口大小固定但形状可变（时宽和频宽可变）的时频局部化分析方法，具有自适应的时频窗口。高频段时，频域窗口增大，时间窗口减小；低频段时，时间窗口增大，频域窗口减小，其关键是在于引入了满足一定条件的基本小波函数以代替 Fourier 变换中的基函数。常用的小波函数有 Morlet小波和 Marr 小波。

对于给定的小波函数 ψ（t），水文时间序列 f（t）∈L2（R）的连续小波变换为：

式中：a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为时间 因 子，反映 小波 时间 上 的 平移 ；wf（a，b）为小 波变换系数；t为时间。

由于时间序列常常是离散的，则其离散形式为：

式中：k 为水文序列数；△t为水文序列数时间间隔；n为水文序列总数。

小波变换系数 wf（a，b）随参数 a，b 变化，可以作出横坐标为 b，纵坐标为 a 的关于 wf（a，b）的二维等值线图，即小波变换系数图，通过此图可得到关于时间序列变化的小波变化特征。运用小流变换系数的分析，可识别水文要素的多时间尺度深变特征。

通过小波方差计算，可以确定一个水文序列中存在的主要时间尺度，即主周期。公式为：

式中：Var（a）为小流方差。

当使用 Morlet 小波 ψ （t）=eicte-t2/2时 ，Morlet小波 ψ（t）伸缩尺度 a 与周期 T 有如下关系：

式中：c 为常数 c=6.2；T 为周期。

2 应用实例

以本溪市 1965—2012 年共 48 年的年降水量资料为例，将小波分析应用于降水量时间序列多时间尺度分析，以了解其不同时间尺度的详细结构和变化趋势，进而来分析丰枯水周期。为方便处理，将降水量按距平处理，见图 1。

图1 本溪市年降水量距平过程图

以上述资料来进行多时间尺度分析，小波函数用 Morlet小波。Morlet小波为复数小波，其小波变换的模和实部是2个重要的变量。模的大小表示特征时间尺度信号的强弱，实部表示不同特征时间尺度信号在不同时间上的分布和位相两方面的 信 息 。 将 年 降 水 量 距 平 过 程 f（k △t）（k= 1，2，3，4，…，48；△t=1）和 Morlet小波函数代入上述离散形公式，取不同的 a，b，计算小波变换的模平方和实部，绘制二维等值线图，见图 2。

图2 本溪市年降水量距平小波变换的模平方时频分布图

图 2 表示了年降水量距平序列 Morlet 小波变换模平方的时频变化，从图中可以看出不同时段各时间尺度的强弱分布，其中 8～13 年时间尺度变化较强，主要发生在 1970—1983 年，振荡中心在1978 年，25～30 年时间尺度也比较强，振荡中心在1978 年。另外 1～5 年时间尺度分别在 1973—1983年和 2002 以后表现明显，其余较弱。同时可知，降水量时间序列的时间尺度在时间域上分布不均匀，具有显著的局部化特征。

取 a=8，计算小波变换系数，绘制随着 a 的变化过程，见图 3。

图3 本溪市年降水量距平序列时间尺度8年Morlet小波变换实部变化过程图

图3 给出了8年时间尺度小波变换系数的变化过程，可以看出，1981—1982，1985—1992，1995—1999 年位于正相位，降水偏多。而 1976—1980，1983—1984，1993—1994，2000—2009 年位于负相位，降水偏少。同时表明，不同尺度下的干湿交替变化不同，干湿变化与时间尺度大小的紧密联系。

3 结语

通过对本溪市 1965—2012 年共 48 年的年降水量 Morlet 小波变换分析可知：本溪市年降水量具有 8～13 年的周期。可见小波分析作为数学工具不仅实用而且具有时频局部化特性，可以利用这种时频窗口变化特性来展现水文要素时间序列的精细结构，成为分析其多时间尺度变化及分布的一种途径，在中长期水文预报中具有很大的应用潜力。

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