基于Copula函数的多性能参数雷达电路板可靠性评估

李 伟，梁玉英，蔡金燕，吕 萌，张国龙

(军械工程学院电子与光学工程系，河北石家庄 050003)

0 引言

电应力随机冲击是装备发生故障的主要因素之一，大多数大功率高电压电子装备中通常含有容值很大的储能电容，在通断电的瞬间产生很大的冲击电流，影响电路的性能并最终导致电路故障。目前，电应力加速试验主要针对器件级，如二极管[1]、传感器[2]，DC模块[3]等，针对板级以上电应力试验方法研究较少。

目前，大部分基于退化数据的可靠性评估方法都只考虑产品具有单一退化量，而实际工程问题中，产品往往具有多个特征参数，在这种情况下，利用多个性能参数的退化数据对产品进行可靠性分析的工作就变得比较复杂了。解决多性能退化参数可靠性评估的方法主要有两种：一是假设多个性能参数之间相互独立，此时可以按照串联系统的方法进行处理，这种方法具有简单快速的优点，缺点是分析不够全面，评估结果误差较大；二是充分考虑性能参数之间的相关性，如联合概率密度法和状态空间法[4-5]，这些方法的优点是充分考虑了参数之间的相关性，缺点是当特征参数较多时计算量大、建模困难。

为解决上述问题，文中对基于多性能参数退化数据的可靠性评估方法进行研究。在电冲击环境应力作用下，对某型雷达的18V20 kHz信号板进行加速退化试验，对试验结果进行深入剖析，总结出电冲击下电路板退化的一般规律，之后将统计相关理论应用到高可靠长寿命电子装备的可靠性分析中，设计出电子装备可靠性分析的方法及步骤，并以试验数据验证了算法的有效性。

1 基于退化建模的可靠性分析方法

由于现代电子装备高可靠长寿命的特点，一般在加速试验中常有少量失效甚至没有失效出现，传统的方法已经不再适用高可靠长寿命电子装备的可靠性分析。研究表明，大部分产品的失效最终可以追溯到产品潜在的性能退化过程，从产品失效机理出发，通过分析产品失效的相关性和退化规律，获得充分的与寿命相关的性能信息，对加速退化试验数据进行建模、分析，进而有效地外推得到额定工作应力下产品的可靠性[6-7]。

电子产品失效与退化量之间的精确关系使得能够利用退化模型和退化数据对失效时间进行推断和预测。建立退化量X(t)与失效时间分布和可靠度函数R(t)之间的联系需要2个条件：描述性能退化过程的模型和失效阈值D．

设从产品总体中随机抽取m个样品，单个样品的性能退化量随时间的退化轨迹由d(t)，t>0描述，那么第i个样品tj时刻监测得到的退化数据：

Xij=d(tij，Θi)+εij

在目前的加速退化建模研究工作中，利用具有独立增量的随机过程模型描述产品的性能退化过程。对大部分具有性能退化的产品来说，退化过程可用以下模型来描述，其中前3种应用最为广泛：

Wiener过程模型：X(t)=μt+σW(t)；

Gamma过程模型：ΔX(t)～Ga(vt，u)；

随机变量模型：X(t)=g(t；Θ)

边缘分布模型：X(t)～f(θ1(t)，…，θn(t))

Wiener过程模型能够描述很多典型产品的性能退化过程，并且具有良好的统计分析特性，因此成为目前基于性能退化的可靠性建模与分析中最基本、应用最广泛的模型之一。Gamma过程是非负、严格单调的随机过程，可以很好的描述退化过程是严格单调的产品的性能退化过程，例如磨损过程、疲劳过程、腐蚀过程等。累计损伤模型适用于性能退化过程被认为是冲击和微小损伤的累积导致的，因而也称为冲击模型。

设产品的失效阈值为D，产品的寿命T即为性能退化量首次达到D的时间，以递增的退化过程为例，即为T=inf(t|X(t)>D}。

基于退化模型的可靠性分析算法步骤如下：

步骤1：收集试验样本在时间的性能退化数据，对于第i个样品，退化数据为(tj，Xij)(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)；

步骤2：依据性能退化曲线的趋势及单位时间退化量的变化趋势，选择适当的退化轨迹模型；

步骤3：利用采集到的性能退化数据估计性能退化模型的参数θ；

步骤4：给定失效阈值D，根据Step2中求得各样本退化轨迹模型，利用T=inf{t|X(t)>D}外推求出样本的寿命特征。

2 基于Copula函数的多性能参数退化数据可靠性评估方法

为全面、系统地分析现代电子产品的故障趋势，其监测的性能参数往往具有多个，这些性能参数间往往存在一定的相关性。Copula函数是一个使多维随机变量的联合分布函数和他们的一维边缘分布函数联系起来的函数，对于刻画相依性，Copula函数具有许多优良的性质。1959年Sklar定理中第一次提到了Copula这个概念，经过数十年的发展，Copula函数广泛应用于风险管理[9]、金融投资[10]、和生物统计[11]领域。在刚刚起步的可靠性领域，Singpurwalla[12]、易文德[13]等研究了用Copula函数表征串联系统、并联系统、串并联混合系统、冷贮备系统部件之间的相依性；Sari[14]、潘正强[15]研究了用Copula函数描述两个性能参数的相关性条件下的二元退化建模问题。文中将Copula函数与退化建模的可靠性评估方法相结合，提出了基于Copula函数的多性能参数退化数据可靠性评估方法。

2．1Copula函数的概念及性质

定义1 二维Copula是一个定义域为[0，1]2，值域为[0，1]的函数，即C：[0，1]2→[0，1]，且满足下列条件：

(1)对任意的u，v∈[0，1]，

C(u，0)=C(0，v)=0，

C(u，1)=u，C(1，v)=v；

(2)对任意的u1，u2，v1，v2∈[0，1]，令u1≤u2，v1≤v2，

C(u2，v2)-C(u1，v2)-C(u2，v1)+C(u1，v1)≥0．

定义2 (Sklar定理)设联合分布函数H具有边缘F和G，存在一个Copula函数C，对任意的x，y∈R有

H(x，y)=C(F(x)，G(y))．

(1)

如果F、G连续，则C是唯一的；否则，C的唯一性在RanF×RandG上确定。相反，如果C是Copula函数，F、G是分布函数，那么式中函数H是一个联合分布函数，它的边缘分布为F、G．

构造Copula函数的方法有很多种，例如代数方法、根据联合分布求边缘分布的逆的方法、几何方法、用Archimedean族[31]的生成元构造等。其中Archimedean Copula函数构造简单、可变性强且具有很好的性质，接下来介绍几种常用的Archimedean Copula．

(1)Frank Copula

Frank Copula是对称的Archimedean Copula，定义为

(2)

式中α∈(-1，∞){0}。

(2)Clayton Copula

Clayton Copula是非对称的Archimedean Copula，定义为

C(u，v)=max(u-α+v-α-1)-1/α，0)

(3)

式中α∈[-1，∞]{0}。

(3)Gumbel Copula

Gumbel Copula是非对称的Archimedean Copula，定义为

C(u，v)=exp{-[(-lnu)α+(-lnv)α]1/α}

(4)

式中α∈[1，∞)。

2．2基于Copula函数的故障预测算法

二元退化是多性能参数退化的特殊情况，也是最基本最重要的情形，是研究多性能参数退化的基础，所以本节考虑两个性能参数时可靠性评估方法。选择两个具有代表性的性能参数，假定它们的退化轨迹可以用Wiener过程描述，相关性可以用Copula函数描述，具体方法如下所述。

设产品有m个特征退化参数X1，X2，…，Xm，它们反映了产品性能的不同特征，受试样本量为n．对于样品i，其在tk(k=1，2，…，p)时刻观测到的m个特征参数值就是一个样本值(x1i，x2i，…，xmi)T，它是一个m维向量。因而，n个受试样本组成了m×n维性能参数矩阵。同时m个特征退化参数的失效阈值为Df=[Df1，Df2，…，Dfm]。

根据Wiener过程的性质

Δτ(tk)=tk-tk-1，j=1，…，m

则相应的概率分布函数为

(5)

式中：θj=(μj，σj)为待估计的模型参数。

考虑两个性能参数，即m=2时，Fi1(t)、Fi2(t)分别为Xi1、Xi2的分布函数。可靠度函数为Rij(t)=P(Tij>t)=1-Fij(t)，j=1，2，H(Xi1(t)，Xi2(t))为联合分布函数。根据Sklar定理，存在一个Copula函数C，使得

H(Xi1(t)，Xi2(t))=C(Fi1(t)，Fi2(t))

由上式可得试验数据的似然函数

(6)

式中θ=(μ1，σ1，μ2，σ2，α)为模型参数；c(Fi1(tk)，Fi2(tk))为参数为α的Copula函数概率密度函数。

根据式(6)利用MCMC方法进行参数估计，产品2个性能参数的失效阈值为Df1，Df2，则产品在额定工作应力下的可靠度函数为

R(t)=P(X1(t)≤Df1，X2(t)≤Df2)

=C(F1(t，Df1，θ1)，F2(t，Df2，θ2))

(7)

当两个性能参数相互独立时，产品的可靠度函数为

R(t)=R1(t)·R2(t)

由式(7)即可对产品的故障时间和趋势做出预测，得到产品的各种寿命特征值。

3 实例分析

以电冲击作用下某型雷达18V20 kHz信号产生及放大电路的加速退化试验数据为例。试验中共安排了8个样本，每24 h检测1次数据，检测到2 040 h有性能参数出现明显的退化，试验终止。图1为各参数的试验数据。

该电路的功能为信号产生及放大，为下一级提供18V 20 kHz的正弦信号，实际使用时该信号可又有一定的裕度。对于正弦信号，结合工程上判断及给出失效阈值的习惯，可以有直流分量、幅度、频率、相位4个特征值。根据其在装备系统中发挥的作用，相位不予考虑，主要衡量其余3个特征量。观察试验数据，在电冲击的作用下，经过3个月的时间，频率参数有了明显的退化过程，幅度参数退化不明显，而偏移量参数没有明显的规律，所以这里选择幅值参数和频率参数作为退化特征参数进行数据处理。

由图1可以看出试验数据没有明显的离群点，频率试验数据中最上方的样本数据曲线无论从数值上还是退化趋势上与其他样本有明显的区别，同时发现此样本对应的幅值试验数据最下方的样本曲线，也存在离群现象，所以将此样本的试验数据做剔除处理。

(a)

(b)

(c)

(d)

接下来对幅值参数和频率参数的退化数据进行Wiener过程辨识，根据Wiener过程的性质ΔΧ=X(t+Δt)-X(t)～N(μΔt，σ2Δt)，对单位时间内的退化量进行拟合优度检验，退化数据的直方图和对数据服从正态分布的拟合优度检验效果图如图2所示，从分布假设概率图可以看出数据基本分布在一条直线上，并且利用Lilliefors检验法的结果为0，这些都表明试验数据的单位时间变化量服从正态分布，即幅值与频率的退化过程符合Wiener过程。

(a)幅值数据正态分布拟合优度检验

(b)频率数据正态分布拟合优度检验

(c)幅值数据直方图

(d)频率数据直方图

由于Frank Copula具有良好的对称性，这里考虑使用Frank Copula来描述幅值与频率退化数据的相关性，其中Copula参数α与时间无关，利用MCMC方法估计式(6)中的模型参数θ．

利用Winbugs软件实现MCMC方法的Gibbs抽样。所有参数均为无信息先验分布，设置迭代次数为50 000次，参数θ=(μ1，σ1，μ2，σ2，α)估计的均值、标准差、MCMC误差以及分位点如表1所示，图3为参数的后验密度函数的核估计。

该型雷达技术勤务手册中规定该电路板输出信号的标准幅值为9 V，频率为20 kHz，手册中并未给出其失效标准，因此根据经验将失效阈值定位标准值的80%～120%，即幅值的失效阈值为7．2 V和10．8 V，频率的失效阈值为24 kHz．

图4为单独考虑幅值和频率性能参数时电路板的可靠度曲线。将参数的估计值与两个性能参数的失效阈值代入公式，得到电路板Frank Copula相关时的可靠度曲线如图5所示，并与2个性能参数独立情形下的可靠度曲线做了对比。

图3参数验后分布概率密度分布图

表1 冲击模型模型参数估计结果

图4 幅值、频率可靠度曲线

图5 综合可靠度曲线对比图

由上述分析及图5可以得到，同一时刻，不考虑幅值与频率相关时的可靠度比考虑两者相关时小，表明有多个性能参数发生退化时，同时考虑多个性能退化参数是十分必要的，文中提出的Copula函数有效地综合了多个性能参数的变化信息进而实现了多性能参数退化数据的可靠性分析。当t=20 000 h时的可靠度R(20 000)=0．993 1，这表明在电冲击作用下，有超过99．31%的电路板样本寿命要超过20 000 h，平均寿命为43 273 h．

另外，根据“通用雷达装备故障分析与仿真系统”对该电路板的可靠性分析预计，得到其平均寿命为6.937 1×105h，这与利用Copula相关所求的特征寿命存在一个数量级的误差。进过深入分析，误差主要来源以下几个方面：

(1)试验中所用的元器件皆为民用级，在质量上与军用级存在一定的差距；

(2)试验中雷达电路板的输入电压、温湿度皆为正常工作应力，但电冲击施加频率为0．2 Hz，远远高于平时使用的频率，这也说明了电冲击在影响电路板寿命上的起到了很大的作用；

(3)试验的随机性。

4 结束语

针对多性能参数下雷达板级电路可靠性分析中模型复杂、相关性差的不足，将Copula函数理论引入到基于Wiener过程随机建模的可靠性评估中，利用Wiener过程描述不同性能参数的退化过程，利用Copula函数刻画了多性能参数的相关性，从而解决了多性能参数退化数据的雷达电路板可靠性分析问题。电路板的两个性能参数退化规律都符合Wiener过程，进而实现了基于Wiener过程进行建模从而得到电路板寿命特征，但文中所提出的模型并不局限于此，若两个性能参数退化过程非负、严格单调时，可以用Gamma过程描述时，或者一个性能参数退化过程为Wiener过程，另一个为Gamma过程，文中模型同样适用。这是用Copula函数描述相关性的一大优点。

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作者简介：李伟(1988—)，硕士研究生，研究方向为武器系统性能检测与故障诊断、可靠性。E-mail：evenstar1213@sina.com