载流梁的热磁弹性理论创新及在元器件研制中的应用

席晓燕

(唐山学院机电工程系，河北唐山 063000)

0 引言

航空航天、磁悬浮装置、传感器装置以及机电系统动力装置等工程实际中经常会遇到铁磁弹性载流梁的振动问题。由于磁场、电场等多场耦合作用，电磁弹性相互耦合作用的非线性力学行为也备受关注。文献[1-2]研究了热载荷和磁场耦合作用下铁磁板动静态稳定性问题，文献[3]建立了磁场环境下导电薄板的磁弹性方程，并对方程的主共振进行了数值计算和分析。文献[4]建立了横向磁场和机械载荷共同作用下的大挠度载流矩形薄板的非线性运动方程，给出板的单模态运动方程和双模态运动方程，研究载流薄板模态截断问题。许多结构元件常因温度变化而处于热胀冷缩状态，文献[5]研究了温度应力对MEMS 器件界面裂纹疲劳扩展的影响规律。因此，讨论温度场与电磁场共同作用下的磁弹性载流梁的振动问题，研究其动力学特性是必要的，而系统参数对载流梁的振动问题影响直接关系到载流电磁结构的设计、运行、精度及敏感度，文献[6]通过对超薄微梁加速度敏感结构设计改善了灵敏度与谐振频率之间的矛盾。

系统参数的选取及控制是载流梁结构设计及保证运行精度的关键因素。文中在磁弹性动力学理论的基础上，应用动力学方法建立电磁场和温度场联合作用下的载流梁的非线性热磁弹性理论模型，求得了系统受Lorentz力和温度影响的主共振幅频响应曲线。研究结果揭示了电磁场强度、温度变化、电流密度、几何参数、不同材料等系统参数对载流梁振幅的影响规律，为载流电磁元器件结构研制过程中的相应系统参数选择、结构设计及运行稳定性提供参考。

1 电磁场及温度应力共同作用的理论模型

考虑一长度为l，截面为矩形(宽为b，高为h)的等截面两端固定铰约束梁，见图1。梁在磁场Bz的作用下通以电流，电流密度为Il，根据梁的弯曲振动理论和磁弹性基本理论得到了载流梁的振动方程[7]：

(1)

式中：Fmag为Lorentz力；FcosΩt为均布简谐激励；x为横坐标；y为横向振动位移；ρ为密度；EI为抗弯刚度；I为截面惯性矩；S为横截面积；c为阻尼系数；t为时间；N为轴力。

(2)

式中：NT为热载荷;ES为拉伸刚度。

图1 处于磁场中的载流梁

1．1温度应力

求得温度应力为

(3)

式中：τ0为初始温度；τ为温度改变量；αs为热膨胀系数。

其中取温度应力分布为抛物线型

2.4.2 药剂防治该病除选用上述技术原则外，在发病初期常用药剂有：50%多菌灵可湿性粉剂用种子量0.3%拌种或500～800倍液喷雾，或用70%甲基硫菌灵可湿性粉剂500倍液～800倍液。

(4)

将式(3)代入式(2)得到轴力为

(5)

1．2Lorentz力

假设材料为非极化、非磁化的良导体，忽略位移电流的影响，则作用在质点上的Lorentz为：

fmag=[I1+Ilx]×Bz

(6)

式中：Ilx表示弹性载流梁内感应电流强度沿X轴方向的分量，

(7)

式中：σ0为电导率；ex为感应电场强度。

式(7)代入式(6)，并在方程两边对y积分就得到Lorentz力的载荷集度为：

(8)

将式(5)、式(8)代入式(1)，假设载流梁内通交流电流密度Il=ilcosωt，不考虑感应电场强度、外部简谐激励，得到载流梁的横向振动微分方程

(9)

在工程实际中，一般对结构的基频最感兴趣，根据两端固定铰的约束条件，设式(9)的解为

(10)

(11)

式中

(12)

式(11)为温度场中载流梁的热磁弹性振动方程。当激励频率接近系统固有频率ω≈ω0时，在式(11)所描述的系统中将会激发主共振现象，并表现出复杂的动力学行为，通过多尺度法得到系统主共振稳态运动定常解幅频响应曲线方程[8]

(13)

2 系统参数对载流梁的影响规律

应用Matlab软件对式(13)计算，可以得到载流梁主共振的响应曲线，分析不同系统参数对响应曲线的影响。

如无特殊申明，铝制材料特征参数为：梁长l=0.5 m，横截面积S=0.000 2 m2，宽b=0.1 m，高h=0.002 m，材料的弹性模量E=70×109N/m2，密度为ρ=2 700 kg/m3，阻尼系数c=0.06 N·s/m，电流密度幅值i0=1.5×103A/m2．

温度场特征参数为：τ0=20 ℃，τ=0 ℃，αs=12.5×10-6/℃．

电磁场的特征参数：Bz=0.001 T，电导率σ0=3.63×107(Ω·m)-1.

图2～图4是系统在取不同参数时得到的幅频响应曲线，图2为随磁场强度变化的曲线。

图2 电磁场强度与振幅关系图

图3 电流与振幅关系图

图4 温度与振幅关系图

当其他参数一定时，磁场强度增大即由0．001 T增大为0．001 2 T时，振幅急剧下降，由原来的0.6×10-4m降为0.2×10-4m，而且“跳跃”现象也不明显，说明系统振幅对磁场强度的变化非常敏感。图3为随电流密度变化的曲线，当电流密度由2×103A/m2降为1×103A/m2时，系统振幅减小，而相对振幅数量级说明电流密度对系统的振幅有影响不敏感。图4为随温度变化的曲线，当温度变化从-10 ℃增加为10 ℃时，系统振幅增大且共振区域增大，跳跃现象明显。图5为调谐值为定值时即σ=0.1时，随载流梁长度变化的响应曲线，由图5可以看出，当长度在0．433 7～0．736 4 m时，振幅出现多值也就是会引起梁的振动。图6为随阻尼变化的曲线，当系统阻尼减小，振幅也降低。图7为随横截面积变化的曲线，当载流梁横截面积增大，振幅随之增大。

图5 梁长度与振幅关系图

图6 阻尼与振幅关系图

图7 横截面积与振幅关系图

图7和图8为载流梁横截面尺寸变化对振幅影响的响应曲线。图7为随横截面面积变化的曲线，当横截面积由2×10-4m2减小为1×10-4m2时，载流梁的振幅也随之减小。图8为横截面积不变时，随横截面高度变化的曲线，当高度增大时，载流梁的振幅降低。

图8 梁横截面高度与振幅关系图

因此，当系统参数一定时，系统振幅对磁场强度变化非常敏感，对电流密度变化有影响但不明显，温度变化影响振幅的大小及振幅的区域。当系统的调谐值为定值时，载流梁长度在一定范围变化，系统振幅会出现多值，即出现共振。载流梁横截面尺寸变化会影响梁的振幅，面积减小，振幅降低；横截面积不变，高度增大，振幅降低。在一些传感器等电子元器件中，正是利用引起的振动来传递信号，因此在设计元器件时，应将这些参数控制在一定范围内，以保证其正常工作。

图9为不同材料时的振幅曲线，将之前铝制材料改为钢质材料，其密度和弹性模量分别变为ρ=7 800 kg/m3，E=200×109N/m2，此时，载流梁的振幅最大值没有发生变化，振幅曲线变窄即钢制载流梁的共振区间明显减小，说明在满足一定参数条件下，改变材料可以改变共振区间。

图9 不同材料与振幅关系图

3 结束语

以处于温度场和电磁场环境中的载流梁为研究对象，对其热磁弹性主共振问题进行了理论创新研究，分析了共振幅值随系统参数变化的变化规律。说明了温度变化、磁场环境、结构几何参数、材料等因素的合理控制，能够达到抑制或激发载流梁共振的目的，所得结论为载流电磁元器件研制中的安全性、可靠性设计及敏感度设计提供参考。

参考文献：

[1]WU G Y．The analysis of dynamic instability on the large amplitude vibrations of a beam with transverse magnetic fields and thermal loads．Journal of Sound and Vibration．2007．302(1-2)：167-177．

[2]WANG X Z，LEE J S，ZHENG X J．Magento-thermo-elastic instability of ferromagnetic plates in thermal and magnetic fields．International Journal of Solids and Structures，2003，40(22)：6125-6142．

[3]HU Yuda，LI Jing．Nonlinear magneto-elastic vibration equations and resonance analysis of current-conducting thin plate．International Journal of Structural Stability and Dynamics，2008，8(4)：597-613．

[4]王平，白象中．横向磁场中载流薄板模态截断问题研究．机械工程学报，2011，47(7)：73-81．

[5]刘加凯，齐杏林，王波．温度应力对MEMS 器件分层失效的影响规律．电子元件与材料，2013，32(3)：84-88．

[6]揣荣岩，白羽，吴美乐，等．多晶硅纳米膜压阻超薄微梁加速度敏感结构．仪表技术与传感器，2013(1)：1-3．

[7]王平，李晓靓，白象忠，等．导电梁在磁场中的磁弹性随机振动．振动与冲击，2007，26(3)：75-78．

[8]杨志安，席晓燕．受简谐激励载流导线的主共振．工程力学，2008，25(4) ：55-58．

作者简介：席晓燕(1979—)，副教授，硕士，主要从事机电耦合动力学研究方向。E-mail：xixiaoyan@163．com