数学，在比较中前行

江涛

比较指的是通过对比确定事物之间的共同点和差异。比较有时是在同一类事物之间进行比较，找出共同点，有时是在不同事物之间进行比较，寻求事物间的联系。在小学数学课堂教学中经常要用到比较的方法，只要能正确地使用，它会给课堂带来精彩，有时甚至能达到事半功倍的效果。

一、山重水复：在比较中建立概念

在《百分数的认识》的教学中，丁老师首先给同学们提供了这样一些材料，让学生根据自己的理解，对这些材料进行适当分组。

（1）六年级近视的人数是全班人数的■。

（2）用一块地的■种青菜。

（3）63厘米用分数可以表示为■米。

（4）十月份的产量是九月份的■。

（5）实际用水量比原计划节约了■。

同学们经过自己的思考，有了不同的分组方法。

第一种：第（3）题单独为一组，其他四个是一组。理由是第（3）题的■厘米是个具体的数量，其他的分数都表示两个数量之间的关系。

第二种：第（1）（3）（4）题为一组，第（2）（5）题为一组。理由是前者三个分数的分母都是100，而后者不是。

丁老师：这两种分法有道理吗？

生：有道理。

丁老师：既然两种分法都有道理，我们能不能借鉴一下两种分法各自的道理，再进行分组呢？

同学们通过对两种分法的比较发现：由于■厘米是个具体的数量，表示一定的长度，并且这个长度可以用手比划出来，也可以用直尺量出来，是个不变的数量，因此可以单独分为一类，而另外四个分数都表示两个数量之间的关系，因此可以分为一组。其中，■和■的分母都是100，所以又可以单独分为一小类。

经过这样的讨论和比较，丁老师引导大家根据刚才两种分法各自的合理性，又进行了第二次分类。令同学们惊奇的是经过第二次分类，前面的两种分法最后的结果是一样的！这样，大家把目光聚集在第（1）和第（4）题的两个分数身上。

■

丁老师：结合刚才的分类过程，想一想，第（1）和第（4）题的这两个分数也就是■和■被分为了一小类，它们有什么共同的特征呢？

至此，经过多次的比较和分析，百分数的意义已经呼之欲出了。

这里，丁老师安排了两次比较：第一次根据初步的感知把五个分数进行了初步分类，区分出了表示具体数量与表示两个数量之间关系的两类，同时也区分出了分母是100的分数和分母不是100的分数，这样的分类方法是小学生常见的，也是基于小学生的认知水平的；第二次分类是在老师的指导下，通过比较、发现第一次分类中的合理因素并加以借鉴得来的。通过比较、分析并分类，同学们对分数有了更深的认识，在此基础上自然而然地理解了百分数的意义。

二、化繁为简：在比较中简化操作

新课程标准提出要让学生在数学学习的过程中不断积累基本的活动经验，这就要求我们在教学中设计有效的探究活动，让学生在做的过程和思考的过程中不断积累活动经验。把学生的活动经验进行比较，可以让他们发现更多的、更好的操作经验，同时更加深入地理解数学知识、构建数学知识结构。

在《搭配的规律》的教学中，缪老师设计了这样一道练习：

有豆浆、牛奶、果汁3种饮料，馒头、蛋糕、汉堡、饼干4种点心，如果只吃一种饮料和一种点心，可以有多少种不同的搭配？

同学们经过自己的动手实践操作，各自发现了不同的搭配，并且用自己的方式把这些结果表示了出来。缪老师把同学们的这些操作结果有机地进行了比较，使得同学们的操作经验经历了一个有效的简化和优化过程。

生1：展示自己的作品，如图1。

■

师：这里一共列举了多少种方法？（12种）可以把这12种方法分成几类吗？怎样分？（根据着学生的回答，老师在作品上画了两条分隔线。）

师：为什么把这4个分为一组？这样分有什么好处呢？

生1：这样分可以清楚地看出第一组的前面都是牛奶，第二组的前面都是豆浆，第三组的前面都是果汁。

生2：这样分让人一看就很有序，不会重复，也不会遗漏。

师：大家再看这位同学的作品。（如图2）

■

师：跟前面的作品比较，你感觉这位同学的作品怎么样？

生1：这里用方框表示饮料，用圆圈表示点心，比较简洁。

生2：先用牛奶与4种点心搭配，有4种；再用豆浆与4种点心搭配，也有4种；最后用果汁与4种点心搭配，又有4种。这样合起来一共有12种。

生3：用这样的图来表示搭配的方法，不仅不要写很多字，而且让人一看就清楚，更加简洁。

师：下面有这样一道题，你准备用哪种方法来表示？在练习纸上尝试着画一画。（师出示题目：从10名男生和15名女生中选出1名男生和1名女生做主持人，一共有多少种不同的选法？）

师：（展示学生作品，如图3）。为什么要这样画？

■

生1：用方框和圆圈分别表示男生和女生，这样比较简洁。

师：那为什么没有把所有的线条都连接起来呢？

生2：全画完就太麻烦了！一个男生可以和15个女生搭配，有15种。10个男生就有10个15种。不用画完。

听到这里，其他同学忍不住鼓起掌来。

缪老师为同学们提供了多次操作和展示的机会，每个环节都是在对上一个环节进行比较的基础上进行的。从文字的表达到分组，再从分组到抽象的符号，从简单的数字到复杂的数字，从一道道连线到只有一组连线，这是一个不断比较从、不断进步的过程。通过比较，个体经验与集体智慧得到了融合，学生的活动经验经历了一个从低层到高层的提升和发展。简洁不是简单，而是具有更多含金量的生长。

三、柳暗花明：在比较中优化方法endprint

朱老师在教学完平行线的概念后问学生：我们可以怎样得到一组平行线呢？这个问题引发了同学们积极地思考。

生1：我利用方格纸，沿着纸上的这些线条，就可以画出一组平行线。

师：不错。沿着方格纸上同一方向的线条，可以画出一组平行线来。这种方法很简便，也很标准。但是，如果我们身边没有方格纸，该怎么办呢？

生2：老师，我有办法！你看，我把直尺放在这张白纸上，沿着直尺的两边分别画一条直线，就可以得到一组平行线。

师：这位同学真的很会动脑筋！像他这样画平行线，非常方便。想一想，这种画平行线的方法有什么缺点呢？

生：这种画法画出来的平行线，两条线之间的宽度始终等于直尺的宽度。

师：对了。两条直线之间的宽度也叫作它们之间的距离，这样画，这个距离始终不变。我们可以怎样改变这个距离同时又能画出平行的直线呢？

生3：当我们画好一条直线后，可以移动直尺，再画出第二条边。

师：这个方法好！再想一想：在移动直尺时，要注意什么呢？

生：移动直尺时，直尺只能向上或者向下平移，而不能旋转。

师：说得好！我们一起来动手画一画，看看怎样移动直尺而又不使它旋转。

在这里，老师要求同学们想一想可以怎样得到一组平行线，就引出了平行线的画法，同学们开动脑筋，想出了多种方法。这些方法都是一些简单朴素的想法，有一定的合理性，同时又有一定的局限性。正是因为这个原因，朱老师引导学生通过比较，在肯定合理性的同时，发现这些方法的不足之处。为了弥补这些不足，同学们又想出了更好的方法。朱老师恰当地运用了比较的方法，引领同学们一步步地思考，一步步地优化，平行线的画法在不断的比较中得到优化。

四、整体聚焦：在比较中提升概念

苏教版小学数学教材在三年级下册又安排了一次《认识分数》的内容，这是在第一次认识分数时学会把一个物体看作单位“1”的基础上，进一步学会把一些物体看作一个整体即单位“1”，进而拓展对分数概念的认识。当我们把一些物体组成的整体平均分成几份以后，每份里的物体一般都可以用整数表示它的个数，而在这里却要学会用分数来表示，这点对三年级的学生来说还是有一定难度的。殷老师在教学中安排了多次新旧知识的比较，让学生在比较中获得新知。在新授和初步的巩固完成之后，殷老师安排了这样一道智慧题：

智慧树上有12颗智慧果。

（1）第一次拿走了这些智慧果的■，拿走了几颗？

（2）第二次拿走了剩下的■，第二次拿走了几颗？

（3）第三次又拿走了剩下的■，第三次又拿走了几颗？

同学们经过思考发现，每次都是拿走了3颗。殷老师随即问：每次都是拿走3颗，为什么第一次用■表示，第二次用■表示，第三次用■表示呢？

在老师的引导下，三年级的小朋友通过比较发现了其中的奥秘：

第一次是把“12颗智慧果”看作一个整体，它的■就是3颗；第二次是把“剩下的9颗智慧果”看作一个整体，它的■是3颗；第三次是把“最后剩下的6颗智慧果”看作一个整体，它的■是3颗。

对于三年级学生来说，这样的理解是不容易的。这里的智慧练习，既是对整堂课的整体总结，又是对“把（ ）看作一个整体”这一教学难点的总结。在同一个问题情境中，殷老师提出不同的问题；通过解决问题又发现，不同的问题又有相同的答案；通过比较发现，相同的答案又分别对应着不同的分数。通过比较解决了这些疑问，同学们对分数的概念无疑有了全新的认识。在对整体的聚焦过程中，学生对分数这一概念的认识有了较大的提升，这正是这节课所要达到的教学目标。

在小学数学教学中，适当地运用比较的方法，引导学生把新旧知识进行比较，在观察与比较中发现问题、找寻规律，有利于学生主动学习并提升自主学习的能力；利用相关知识巧设情境，让学生在比较中学习，也有利于学生养成良好的学习和思维习惯，进而培养他们主动探究、积极进取的精神。endprint

朱老师在教学完平行线的概念后问学生：我们可以怎样得到一组平行线呢？这个问题引发了同学们积极地思考。

生1：我利用方格纸，沿着纸上的这些线条，就可以画出一组平行线。

师：不错。沿着方格纸上同一方向的线条，可以画出一组平行线来。这种方法很简便，也很标准。但是，如果我们身边没有方格纸，该怎么办呢？

生2：老师，我有办法！你看，我把直尺放在这张白纸上，沿着直尺的两边分别画一条直线，就可以得到一组平行线。

师：这位同学真的很会动脑筋！像他这样画平行线，非常方便。想一想，这种画平行线的方法有什么缺点呢？

生：这种画法画出来的平行线，两条线之间的宽度始终等于直尺的宽度。

师：对了。两条直线之间的宽度也叫作它们之间的距离，这样画，这个距离始终不变。我们可以怎样改变这个距离同时又能画出平行的直线呢？

生3：当我们画好一条直线后，可以移动直尺，再画出第二条边。

师：这个方法好！再想一想：在移动直尺时，要注意什么呢？

生：移动直尺时，直尺只能向上或者向下平移，而不能旋转。

师：说得好！我们一起来动手画一画，看看怎样移动直尺而又不使它旋转。

在这里，老师要求同学们想一想可以怎样得到一组平行线，就引出了平行线的画法，同学们开动脑筋，想出了多种方法。这些方法都是一些简单朴素的想法，有一定的合理性，同时又有一定的局限性。正是因为这个原因，朱老师引导学生通过比较，在肯定合理性的同时，发现这些方法的不足之处。为了弥补这些不足，同学们又想出了更好的方法。朱老师恰当地运用了比较的方法，引领同学们一步步地思考，一步步地优化，平行线的画法在不断的比较中得到优化。

四、整体聚焦：在比较中提升概念

苏教版小学数学教材在三年级下册又安排了一次《认识分数》的内容，这是在第一次认识分数时学会把一个物体看作单位“1”的基础上，进一步学会把一些物体看作一个整体即单位“1”，进而拓展对分数概念的认识。当我们把一些物体组成的整体平均分成几份以后，每份里的物体一般都可以用整数表示它的个数，而在这里却要学会用分数来表示，这点对三年级的学生来说还是有一定难度的。殷老师在教学中安排了多次新旧知识的比较，让学生在比较中获得新知。在新授和初步的巩固完成之后，殷老师安排了这样一道智慧题：

智慧树上有12颗智慧果。

（1）第一次拿走了这些智慧果的■，拿走了几颗？

（2）第二次拿走了剩下的■，第二次拿走了几颗？

（3）第三次又拿走了剩下的■，第三次又拿走了几颗？

同学们经过思考发现，每次都是拿走了3颗。殷老师随即问：每次都是拿走3颗，为什么第一次用■表示，第二次用■表示，第三次用■表示呢？

在老师的引导下，三年级的小朋友通过比较发现了其中的奥秘：

第一次是把“12颗智慧果”看作一个整体，它的■就是3颗；第二次是把“剩下的9颗智慧果”看作一个整体，它的■是3颗；第三次是把“最后剩下的6颗智慧果”看作一个整体，它的■是3颗。

对于三年级学生来说，这样的理解是不容易的。这里的智慧练习，既是对整堂课的整体总结，又是对“把（ ）看作一个整体”这一教学难点的总结。在同一个问题情境中，殷老师提出不同的问题；通过解决问题又发现，不同的问题又有相同的答案；通过比较发现，相同的答案又分别对应着不同的分数。通过比较解决了这些疑问，同学们对分数的概念无疑有了全新的认识。在对整体的聚焦过程中，学生对分数这一概念的认识有了较大的提升，这正是这节课所要达到的教学目标。

在小学数学教学中，适当地运用比较的方法，引导学生把新旧知识进行比较，在观察与比较中发现问题、找寻规律，有利于学生主动学习并提升自主学习的能力；利用相关知识巧设情境，让学生在比较中学习，也有利于学生养成良好的学习和思维习惯，进而培养他们主动探究、积极进取的精神。endprint

朱老师在教学完平行线的概念后问学生：我们可以怎样得到一组平行线呢？这个问题引发了同学们积极地思考。

生1：我利用方格纸，沿着纸上的这些线条，就可以画出一组平行线。

师：不错。沿着方格纸上同一方向的线条，可以画出一组平行线来。这种方法很简便，也很标准。但是，如果我们身边没有方格纸，该怎么办呢？

生2：老师，我有办法！你看，我把直尺放在这张白纸上，沿着直尺的两边分别画一条直线，就可以得到一组平行线。

师：这位同学真的很会动脑筋！像他这样画平行线，非常方便。想一想，这种画平行线的方法有什么缺点呢？

生：这种画法画出来的平行线，两条线之间的宽度始终等于直尺的宽度。

师：对了。两条直线之间的宽度也叫作它们之间的距离，这样画，这个距离始终不变。我们可以怎样改变这个距离同时又能画出平行的直线呢？

生3：当我们画好一条直线后，可以移动直尺，再画出第二条边。

师：这个方法好！再想一想：在移动直尺时，要注意什么呢？

生：移动直尺时，直尺只能向上或者向下平移，而不能旋转。

师：说得好！我们一起来动手画一画，看看怎样移动直尺而又不使它旋转。

在这里，老师要求同学们想一想可以怎样得到一组平行线，就引出了平行线的画法，同学们开动脑筋，想出了多种方法。这些方法都是一些简单朴素的想法，有一定的合理性，同时又有一定的局限性。正是因为这个原因，朱老师引导学生通过比较，在肯定合理性的同时，发现这些方法的不足之处。为了弥补这些不足，同学们又想出了更好的方法。朱老师恰当地运用了比较的方法，引领同学们一步步地思考，一步步地优化，平行线的画法在不断的比较中得到优化。

四、整体聚焦：在比较中提升概念

苏教版小学数学教材在三年级下册又安排了一次《认识分数》的内容，这是在第一次认识分数时学会把一个物体看作单位“1”的基础上，进一步学会把一些物体看作一个整体即单位“1”，进而拓展对分数概念的认识。当我们把一些物体组成的整体平均分成几份以后，每份里的物体一般都可以用整数表示它的个数，而在这里却要学会用分数来表示，这点对三年级的学生来说还是有一定难度的。殷老师在教学中安排了多次新旧知识的比较，让学生在比较中获得新知。在新授和初步的巩固完成之后，殷老师安排了这样一道智慧题：

智慧树上有12颗智慧果。

（1）第一次拿走了这些智慧果的■，拿走了几颗？

（2）第二次拿走了剩下的■，第二次拿走了几颗？

（3）第三次又拿走了剩下的■，第三次又拿走了几颗？

同学们经过思考发现，每次都是拿走了3颗。殷老师随即问：每次都是拿走3颗，为什么第一次用■表示，第二次用■表示，第三次用■表示呢？

在老师的引导下，三年级的小朋友通过比较发现了其中的奥秘：

第一次是把“12颗智慧果”看作一个整体，它的■就是3颗；第二次是把“剩下的9颗智慧果”看作一个整体，它的■是3颗；第三次是把“最后剩下的6颗智慧果”看作一个整体，它的■是3颗。

对于三年级学生来说，这样的理解是不容易的。这里的智慧练习，既是对整堂课的整体总结，又是对“把（ ）看作一个整体”这一教学难点的总结。在同一个问题情境中，殷老师提出不同的问题；通过解决问题又发现，不同的问题又有相同的答案；通过比较发现，相同的答案又分别对应着不同的分数。通过比较解决了这些疑问，同学们对分数的概念无疑有了全新的认识。在对整体的聚焦过程中，学生对分数这一概念的认识有了较大的提升，这正是这节课所要达到的教学目标。

在小学数学教学中，适当地运用比较的方法，引导学生把新旧知识进行比较，在观察与比较中发现问题、找寻规律，有利于学生主动学习并提升自主学习的能力；利用相关知识巧设情境，让学生在比较中学习，也有利于学生养成良好的学习和思维习惯，进而培养他们主动探究、积极进取的精神。endprint