一种基于伪失效的Wiener退化产品可靠性评估方法

张国龙，蔡金燕，梁玉英，吕　萌，潘　刚

(军械工程学院电子与光学工程系，河北石家庄　050003)

0　引言

目前，高可靠长寿命产品的寿命预测方法主要采用基于退化失效分析方法，这种方法主要是考虑很多高可靠产品具有退化失效的特性，即产品的工作状态由几个关键性能参数决定，对于每个参数都有预定的失效临界值，产品在工作过程中，当性能参数超过临界值时，即意味着产品退化失效的发生，这种方法可以减少试验样本量，缩短试验时间，已引起了极大的关注，但有时因为退化机理复杂而很难建立退化轨道模型。另外，在很多退化失效问题中，产品的退化量随时间的变化极其缓慢，有时在很长的测量周期内，退化量的变化微乎其微，甚至这种微小的变化都比不上测量误差，在这种情况下试验时间很长，测量次数要很多，试验样品个数也要很多才能保证试验的精度。因此在实际中通常采用定时截尾加速退化试验获得退化数据来分析产品的寿命特性，典型的退化模型包括：(1)随机过程模型，如Wiener过程，Gamma过程等，Doksum和Hoyland[1]利用一种时间变换的Wiener过程对加速退化数据建模，文献[2]提出了基于随机过程的加速退化建模的一般框架，详细讨论了基于布朗运动、几何布朗运动和Gamma过程的建模和参数估计问题；(2)非线性混合效应模型，Lu和Meeker[3]首次提出了一种非线性混合效应回归模型的退化建模方法，考虑了产品个体的差异性及测量误差，并将该模型应用到加速试验中。这些模型大多为非线性或有多个随机参数，利用退化轨道模型直接进行寿命分布的推断时往往难以作解析计算[4]，只能借助仿真方法得到近似解．另外，在有限的试验时间内产品在性能退化首次达到失效阈值的个数往往也很难满足寿命估计的要求，为了解决上述方法中遇到的困难，文中考虑到Wiener退化失效型产品的首达失效时间服从逆高斯寿命分布的特性，提出伪阈值的方法，通过退化轨道模型获得各伪阈值下的失效时间序列，再采用基于寿命数据的参数估计方法，得到高可靠性产品的寿命分布。

1　退化失效模型

假设产品的性能退化特征量是一个维纳过程，记为

{W(t)|≥0}，

W(t)=ηt+σB(t)

(1)

式中：η为漂移参数；σ>0是一个扩散系数；B(t)是一个标准的布朗运动。

假设产品失效时间为T，定义为产品的性能退化量首次达到失效阈值aF的时间，即：

T=inf{t|W(t)≥aF，W(0)=0，t≥0}

(2)

(3)

如果获得的n个试验样品的参加试验直到所有样品失效，得到n个失效时间t1，t2，…，tn，可以利用极大似然估计的方法获得μ，λ的估计值：

(4)

因为逆高斯分布服从指数分步族，因此，可以得出μ，λ，的一致最小方差无偏估计分别是：

(5)

2　问题描述：

基本假设：

(1)在应力水平S1，S2，…，SK下进行恒定应力加速退化试验，每个应力水平下有n个样本参与试验，试验进行到τ时刻截止；

(2)产品在不同应力水平S1，S2，…，SK下试验时，与正常工作应力水平S0下的失效机理相同，为退化失效，表现为性能参数W(t)随试验时间t单调递增。

(3)所有试验样品的初始退化量为W(0)=0，假设产品性能退化服从Wiener过程，假设产品性能退化轨迹呈递增趋势，产品的退化失效阈值为aF；

(4)在(0，aF)，选取若干个伪阈值，a1，a2，…ak，性能退化过程首次达到伪阈值的时间分记为：tk1，tk2，…，tkn，称为伪失效时间，即：

此数据并非真正的失效数据。

图1　Wiener退化过程伪失效时间与阈值的关系

图1给出了在给定的应力Si下试验时，维纳退化失效产品的伪失效时间与伪阈值的关系，对于高可靠长寿产品来说，在有限的时间内很难获得真正的退化失效数据(首次达到aF的时间)，而通过退化模型外推得到的失效数据存在一定误差，而伪失效时间与伪阈值也能反映产品的寿命分布特性[6]，因此，文中基于以上假设，提出一种基于伪阈值的加速退化试验可靠性分析方法。

根据以上假设，通过加速退化试验得到应力水平、伪阈值及伪失效时间的数据如表1所示，在不同应力下产品的寿命也服从逆高斯分IG(μ，λ)，尺度参数由失效机理决定，保持不变，形状参数由应力Si和失效阈值ak决定，寿命分布F(t|Si，ak)．

3　拟合优度检验与参数估计

首先，需要对伪失效数据是否服从逆高斯分布进行拟合优度检验，按照文献[7]中的方法，假设样本Y1，Y2，…，Yn是分布函数F(·)的一组随机样本，令Zi=F(Yi)，然后对Zi从小到大排列，Z(1)≤Z(2)≤L≤Z(n)，分别计算如下3个统计量：

表1　伪失效数据

(6)

(7)

对于Wiener退化产品，漂移系数η与应力水平S有关，扩散系数σ与应力水平无关，即在逆高斯寿命分布中μ与应力水平有关，而λ与应力无关，因此只需要确定参数μ与应力水平S和a伪阈值之间关系。

参数估计的步骤如下：

Setp1.根据伪失效数据计算逆高斯分布的两个参数估计值：

(8)

式中Na为阈值的个数。

(1)逆幂律模型：αS=ξSη；

(2)阿伦尼斯模型：αS=ξeSη；

(3)逆对数模型：αL=ξ(logL)η；

(4)指数模型：αL=ξeηL；

(5)逆线性模型：αL=ξ+ηL．

Step4．根据Step3求得的函数关系式，外推得得到正常应力水平下产品的寿命分布形状参数。

4　实例分析

金属化膜脉冲电容器是强激光装置上应用十分广泛的一种元器件，应用文献[9]中的加速模型对其进行仿真试验。图2是强激光装置所用某型金属化膜电容器恒定应力加速退化数据示意图，该型电容器的额定工作电压为23 kV，电容器退化失效阈值为53．2 μF，分别在25 kV，29 kV，33 kV3个加速应力水平下进行加速退化试验，试验样本容量为8。首先根据退化实际情况，确定3个伪阈值a1，a2，a3分别为54.7 μF，54.2 μF，54.7 μF，然后根据退化轨迹得到3个加速应力水平下的伪失效时间，根据第3节的内容通过伪失效数据计算逆高斯分布的估计值，形状参数的估计值如表2所示：选择逆幂律加速模型，假设μ(S，a)=a/kSb，其中k，b为模型系数，两边取对数转换为线性关系，可通过多元非线性拟合方法对表1数据进行拟合，得到μ=exp(110.141 7-3.989 2×log(S)-21.912 9×log(a))

图2　加速退化试验数据

表2　尺度参数估计值

将S0=23 kV，aF=53．2 μF代入上式即可得到正常工作应力下寿命分布的参数μ0=38．19，λ=658．898 1代入式(3)，得到产品在23 kV下的失效概率分布为：

如图3所示，由失效概率分布函数(式(3))可求得20 000次充放电时电容器的可靠度为R(20000)=1-F(20000)=0．998 2．

图3　正常工作应力下的失效概率分布

5　结束语

文中针对高可靠长寿命产品定时加速退化试验中缺乏真正失效数据，性能退化建模方法推导复杂等问题，提出基于伪失效数据的方法，产品性能退化轨迹首次达到伪阈值的时间也能很好地反映产品失效分布，以Wiener退化产品为例，应用文中方法对金属膜电容器的可靠性进行了分析，并与文献结果对比，非常相近，说明该方法能够很好地解决缺乏失效数据、建模推导过程复杂的问题，在试验时间有限的情况下，可适当加大样本量提高方法的精度，方法也可应用到其他分布的退化型产品及加速应力试验中。

参考文献：

[1]HOYLAND A,DOKSUM K A ．Models for viable-stress accelerated life testing experiments based on Wiener processes and the inverse Gaussian distribution．Technometrics，1992，34(1)：74-82．

[2]CHANSEOK P，PADGETT W J．Stochastic degradation models with several accelerated variables．IEEE TRANSACTIONS ON RELIABILITY，2006，55(2)：379-390．

[3]WILLIAM Q,MEEKER C,JOSEPH L，et al Escobar．Using degradation measures to estimate a time-to-failure distribution．Technometrics，1993，35：161-174．

[4]LU C J,MEEKER W Q,ESCOBAR L A．A comparison of degradation and failure-time analysis methods for estimating a time-failure distribution．Statistica Sinica，1996，6(5)：531-546．

[5]FOLKS L,CHHIKARA R S ．The inverse Gaussian distribution：Theory，methodology，and applications．Marcel Dekker ，New York，1989．

[6]TSUI-SHU S．Estimating Lifetime Distribution and Its Paratmeters Based on Intermediate Data from a Wiener Degradation Model[D]．National Tsing Hua University，2005．

[7]EDGEMAN R J， PAVUR R L，SCOTT R C．Quadratic statistics for the goodness-of-fit test of the inverse Gaussian distribution．Reliability IEEE Transactions on Reliability ，1992，41 (1)：118 -123．

[8]PADGETT W J，CHANSEOK，PARK．Accelerated Degradation Models for Failure Based on Geometric Brownian Motion and Gamma Processes．Lifetime Data Analysis，2005，11：511-527．

[9]MEEKER W Q，ESCOBAR L A,LU C J．Accelerated degradation tests：modeling and analysis．Technometrics，1998，40：89-99．

[10]赵建印．基于性能退化数据的可靠性建模与应用研究：[学位论文]，长沙：国防科学技术大学，2005．