改进LAMBDA方法快速解算网络RTK整周模糊度

曹永超+张丽+郭慧敏

【摘 要】 常规LAMBDA方法快速解算网络RTK模糊度的成功率和稳定性，受模糊度参数向量维数的影响。本文介绍一种分步搜索的LAMBDA方法，采用卡尔曼滤波参数估计方法得到模糊度浮点解和协方差阵，选择误差较小的模糊度组成主模糊度组降低了模糊度空间的维数，待主模糊度组固定后，回代观测方程解算从模糊度组。该方法不但可以大大提高LAMBDA方法的搜索效率，而且保证了模糊度降相关性搜索的成功率和稳定性。

【关键词】 网络RTK 卡尔曼滤波 LAMBDA方法 分步搜索

1 引言

常规LAMBDA方法快速解算网络RTK模糊度的成功率和稳定性受卫星数目影响，卫星数目较多即模糊度参数向量维数增多时，由于逐步降相关性算法未能保证彻底消除模糊度之间的相关性，随后的整周模糊度搜索空间拉伸率仍然很大，而导致整周模糊度快速搜索失败。在网络RTK定位中，可能会出现流动站误差改正数错误的情况，错误的卫星误差改正数也严重影响LAMBDA方法进行模糊度解算的效率和成功率。为了解决常规LAMBDA算法在快速解算网络RTK模糊度时存在的问题，本文介绍一种在卡尔曼滤波参数估计方法的基础上，将模糊度参数向量划分为主模糊度组和从模糊度组利用LAMBDA进行先后固定的分步搜索方法。

2 浮点解的卡尔曼滤波估计

在已知卫星瞬时位置的情况下，载波相位观测方程为：

（1）

其中，为载波相位观测值，为卫星到测站间的几何距离，为载波相位的波长（L1/L2），为初始模糊度， 是以距离为单位（m）的各种误差影响之和。是测站到卫星的方向余弦。

组成双差观测方程设为参考卫星，对于卫星可得线性化形式的双差方程为

（2）

其中，下标1，2分别表示基准站和流动站

利用GPS双差方程，构造系统的状态方程和观测方程：

（3）

注：为采样率（单位s）。

每个历元的观测数据为一组进行卡尔曼滤波估计，滤波的递推过程如下：

（4）

和可以根据对基线信息掌握的情况来确定。利用第一个历元的数据进行伪距差分，得到线性化之后的坐标改正量，再由坐标改正量根据式（2）计算模糊度，作为初值，加速度初值赋零。滤波误差方差阵和噪声阵初值赋于经验值。

3 网络RTK双差模糊度的分步固定

LAMBDA方法被认为是当前最好的模糊度OTF解算方法之一。但受到观测卫星的个数，即模糊度参数向量维数的影响，在观测卫星数目或测站数目较多时，由于逐步降低相关性算法未能保证彻底消除模糊度之间的相关性，随后的整数模糊度的搜索区域延伸率仍然会很大，导致整数模糊度快速搜索失败，这是LAMBDA方法不稳定性之所在，也是该方法本身所没有克服的。

常规LAMBDA方法的做法是，当双差模糊度的个数为时，建立搜索空间为维，所有的双差模糊度都将通过搜索确定。事实上，模糊度向量中有三个模糊度是独立的，一旦它们（三个或三个以上模糊度）被固定为正确的整数时，其它的模糊度可以通过确定的线性关系直接计算得到，因此可以采用分步模糊度搜索法固定模糊度。

由滤波得到模糊度协方差矩阵，可以估计模糊度浮点解的精度情况。如果待求模糊度个数较多，可以对模糊度向量进行分组，即把模糊度分为主模糊度组和从模糊度组。

在网络RTK模糊度解算中，流动站距离基准站距离较远，单靠由流动站和基准站的观测数据直接组成双差观测数据，已经不能很好的消除与空间和时间相关的对流层延迟和电离层延迟误差，其残差仍然很大。需要通过基准站模糊度固定后内插出流动站位置的对流层延迟和电离层延迟大小，对双差观测数据进行改正。

如果改正数全部正确（大多数为这种情况），根据卡尔曼滤波得到的协方差阵估计模糊度浮点解的情况，只选择方差较小的模糊度组成主模糊度组，首先对其进行搜索固定。

只对主模糊度组进行搜索，从模糊度组在主模糊度组固定后再确定。利用上面的方法约化从模糊度参数组，可得主模糊度组参数组的浮点解和协方差阵。对主模糊度进行降相关性，用高斯整数迭代或其它整数变换方法（联合去相关法等方法）生成整数变换矩阵。因为剔除了误差比较大的观测数据，还可有效地防止出现病态整数变换的情况。按公式（5）、（6）得到整数变换后的协方差阵和主模糊度矢量，按公式（7）的目标函数搜索，引入Ratio检验得满足要求的整数组合。

（5）

（6）

（7）

其中为变换后的搜索空间。

因为在解除模糊度相关性的时候引入了整数变换，所以正确的整周模糊度组合固定以后，要将整周模糊度组合进行回代得到的整数矢量：

（8）

当主模糊度组固定为整数向量后，代入方程（2）进行最小二乘估计，求解出从模糊度组新的浮点解，并得到从模糊度组的协方差阵。利用从模糊度组新的浮点解和协方差阵，可按照上面解算主模糊度组的降相关处理和模糊度搜索方法解算从模糊度组。最后由主模糊度组和从模糊度组得到模糊度。实际上，当主模糊度确定后，可以求得较精确的位置参数浮点解，从模糊度组的浮点解也较为精确，有时直接取整就可以得到从模糊度组的固定解，进一步提高了模糊度的解算效率。

4 实验结果与分析

实验使用房山IGS跟踪站和周围一个观测点2008年6月29号上午10点左右一分钟的静态观测数据，将每个历元的观测值作为虚拟动态定位进行算法验证。将IGS跟踪站作为基准站，观测点作为流动站，数据采样率为1s。该组数据共有9颗卫星，组成8个双差观测值，以PRN7、PRN13与基准卫星PRN6为例，利用常规LAMBDA方法模糊度解算。

常规LAMBDA方法，对所有模糊度进行搜索，要得到所有模糊度的固定解就要增加观测历元，需要8个历元的观测数据才能将模糊度固定。如果改进LAMBDA方法采用分步解算法，根据模糊度协方差阵选择了五个卫星的双差模糊度分别为：PRN7-6、PRN13-6、PRN19-6、PRN23-6、PRN25-6组成主模糊度组，先固定主模糊度组，再固定从模糊度组（PRN16-6、PRN21-6、PRN27-6）采用主从模糊度组方法，利用2个历元的数据就可把模糊度固定下来。选择主模糊度剔除了误差较大的观测数据，主模糊度就可以快速准确的固定，然后回代入观测方程，再固定从模糊度的效率就很高，有时可以直接取整获得。通过选择较小方差的模糊度实现降维后，能够提高模糊度固定的成功率，显著提高了模糊度的搜索效率。

从定位的精度方面来看，利用所有模糊度解算位置参数的精度，可以看出模糊度固定后得到的位置精度，都能达到厘米级（由于基线较短大部分历元达到毫米级），满足网络RTK定位的精度要求。

5 结语

模糊度搜索空间较大时，可以把模糊度分为主模糊度组和从模糊度组，先主模糊度组进行搜索固定，而从模糊度组可以通过固定了的主模糊度组解算得到。通过分组进行分步解算能够显著缩小搜索空间，可以解决因为观测卫星数多，模糊度参数向量的维数较大，将相关算法未能彻底消除模糊度之间的降相关性，使模糊度搜索空间延伸率大而导致模糊度搜索失败的问题，还能有效防止病态整数变换的出现。同时可通过剔除少数改正数错误卫星的观测数据来构造主模糊度组，有效解决误差改正数错误给模糊度解算带来的影响。本文使用分步搜索算法可以克服常规LAMBDA方法自身的弱点，不但能大大提高LAMBDA方法解算的效率，而且提高了LAMBDA方法固定模糊度的成功率和稳定性。

参考文献

[1]阳仁贵，等.部分搜索法提高GPS相位模糊度解算的效率和成功率[J].武汉大学学报信息科学版，2007.32（2）：160-163.

[2]高星伟.GPS/GLONASS网络RTK的算法研究与程序实现[D]：[博士论文].武汉大学测绘学院，2002.4.

[3]高星伟，等.网络RTK基准站间基线单历元模糊度搜索方法[J].测绘学报，2002.31（4）：305-309.endprint

【摘 要】 常规LAMBDA方法快速解算网络RTK模糊度的成功率和稳定性，受模糊度参数向量维数的影响。本文介绍一种分步搜索的LAMBDA方法，采用卡尔曼滤波参数估计方法得到模糊度浮点解和协方差阵，选择误差较小的模糊度组成主模糊度组降低了模糊度空间的维数，待主模糊度组固定后，回代观测方程解算从模糊度组。该方法不但可以大大提高LAMBDA方法的搜索效率，而且保证了模糊度降相关性搜索的成功率和稳定性。

【关键词】 网络RTK 卡尔曼滤波 LAMBDA方法 分步搜索

1 引言

常规LAMBDA方法快速解算网络RTK模糊度的成功率和稳定性受卫星数目影响，卫星数目较多即模糊度参数向量维数增多时，由于逐步降相关性算法未能保证彻底消除模糊度之间的相关性，随后的整周模糊度搜索空间拉伸率仍然很大，而导致整周模糊度快速搜索失败。在网络RTK定位中，可能会出现流动站误差改正数错误的情况，错误的卫星误差改正数也严重影响LAMBDA方法进行模糊度解算的效率和成功率。为了解决常规LAMBDA算法在快速解算网络RTK模糊度时存在的问题，本文介绍一种在卡尔曼滤波参数估计方法的基础上，将模糊度参数向量划分为主模糊度组和从模糊度组利用LAMBDA进行先后固定的分步搜索方法。

2 浮点解的卡尔曼滤波估计

在已知卫星瞬时位置的情况下，载波相位观测方程为：

（1）

其中，为载波相位观测值，为卫星到测站间的几何距离，为载波相位的波长（L1/L2），为初始模糊度， 是以距离为单位（m）的各种误差影响之和。是测站到卫星的方向余弦。

组成双差观测方程设为参考卫星，对于卫星可得线性化形式的双差方程为

（2）

其中，下标1，2分别表示基准站和流动站

利用GPS双差方程，构造系统的状态方程和观测方程：

（3）

注：为采样率（单位s）。

每个历元的观测数据为一组进行卡尔曼滤波估计，滤波的递推过程如下：

（4）

和可以根据对基线信息掌握的情况来确定。利用第一个历元的数据进行伪距差分，得到线性化之后的坐标改正量，再由坐标改正量根据式（2）计算模糊度，作为初值，加速度初值赋零。滤波误差方差阵和噪声阵初值赋于经验值。

3 网络RTK双差模糊度的分步固定

LAMBDA方法被认为是当前最好的模糊度OTF解算方法之一。但受到观测卫星的个数，即模糊度参数向量维数的影响，在观测卫星数目或测站数目较多时，由于逐步降低相关性算法未能保证彻底消除模糊度之间的相关性，随后的整数模糊度的搜索区域延伸率仍然会很大，导致整数模糊度快速搜索失败，这是LAMBDA方法不稳定性之所在，也是该方法本身所没有克服的。

常规LAMBDA方法的做法是，当双差模糊度的个数为时，建立搜索空间为维，所有的双差模糊度都将通过搜索确定。事实上，模糊度向量中有三个模糊度是独立的，一旦它们（三个或三个以上模糊度）被固定为正确的整数时，其它的模糊度可以通过确定的线性关系直接计算得到，因此可以采用分步模糊度搜索法固定模糊度。

由滤波得到模糊度协方差矩阵，可以估计模糊度浮点解的精度情况。如果待求模糊度个数较多，可以对模糊度向量进行分组，即把模糊度分为主模糊度组和从模糊度组。

在网络RTK模糊度解算中，流动站距离基准站距离较远，单靠由流动站和基准站的观测数据直接组成双差观测数据，已经不能很好的消除与空间和时间相关的对流层延迟和电离层延迟误差，其残差仍然很大。需要通过基准站模糊度固定后内插出流动站位置的对流层延迟和电离层延迟大小，对双差观测数据进行改正。

如果改正数全部正确（大多数为这种情况），根据卡尔曼滤波得到的协方差阵估计模糊度浮点解的情况，只选择方差较小的模糊度组成主模糊度组，首先对其进行搜索固定。

只对主模糊度组进行搜索，从模糊度组在主模糊度组固定后再确定。利用上面的方法约化从模糊度参数组，可得主模糊度组参数组的浮点解和协方差阵。对主模糊度进行降相关性，用高斯整数迭代或其它整数变换方法（联合去相关法等方法）生成整数变换矩阵。因为剔除了误差比较大的观测数据，还可有效地防止出现病态整数变换的情况。按公式（5）、（6）得到整数变换后的协方差阵和主模糊度矢量，按公式（7）的目标函数搜索，引入Ratio检验得满足要求的整数组合。

（5）

（6）

（7）

其中为变换后的搜索空间。

因为在解除模糊度相关性的时候引入了整数变换，所以正确的整周模糊度组合固定以后，要将整周模糊度组合进行回代得到的整数矢量：

（8）

当主模糊度组固定为整数向量后，代入方程（2）进行最小二乘估计，求解出从模糊度组新的浮点解，并得到从模糊度组的协方差阵。利用从模糊度组新的浮点解和协方差阵，可按照上面解算主模糊度组的降相关处理和模糊度搜索方法解算从模糊度组。最后由主模糊度组和从模糊度组得到模糊度。实际上，当主模糊度确定后，可以求得较精确的位置参数浮点解，从模糊度组的浮点解也较为精确，有时直接取整就可以得到从模糊度组的固定解，进一步提高了模糊度的解算效率。

4 实验结果与分析

实验使用房山IGS跟踪站和周围一个观测点2008年6月29号上午10点左右一分钟的静态观测数据，将每个历元的观测值作为虚拟动态定位进行算法验证。将IGS跟踪站作为基准站，观测点作为流动站，数据采样率为1s。该组数据共有9颗卫星，组成8个双差观测值，以PRN7、PRN13与基准卫星PRN6为例，利用常规LAMBDA方法模糊度解算。

常规LAMBDA方法，对所有模糊度进行搜索，要得到所有模糊度的固定解就要增加观测历元，需要8个历元的观测数据才能将模糊度固定。如果改进LAMBDA方法采用分步解算法，根据模糊度协方差阵选择了五个卫星的双差模糊度分别为：PRN7-6、PRN13-6、PRN19-6、PRN23-6、PRN25-6组成主模糊度组，先固定主模糊度组，再固定从模糊度组（PRN16-6、PRN21-6、PRN27-6）采用主从模糊度组方法，利用2个历元的数据就可把模糊度固定下来。选择主模糊度剔除了误差较大的观测数据，主模糊度就可以快速准确的固定，然后回代入观测方程，再固定从模糊度的效率就很高，有时可以直接取整获得。通过选择较小方差的模糊度实现降维后，能够提高模糊度固定的成功率，显著提高了模糊度的搜索效率。

从定位的精度方面来看，利用所有模糊度解算位置参数的精度，可以看出模糊度固定后得到的位置精度，都能达到厘米级（由于基线较短大部分历元达到毫米级），满足网络RTK定位的精度要求。

5 结语

模糊度搜索空间较大时，可以把模糊度分为主模糊度组和从模糊度组，先主模糊度组进行搜索固定，而从模糊度组可以通过固定了的主模糊度组解算得到。通过分组进行分步解算能够显著缩小搜索空间，可以解决因为观测卫星数多，模糊度参数向量的维数较大，将相关算法未能彻底消除模糊度之间的降相关性，使模糊度搜索空间延伸率大而导致模糊度搜索失败的问题，还能有效防止病态整数变换的出现。同时可通过剔除少数改正数错误卫星的观测数据来构造主模糊度组，有效解决误差改正数错误给模糊度解算带来的影响。本文使用分步搜索算法可以克服常规LAMBDA方法自身的弱点，不但能大大提高LAMBDA方法解算的效率，而且提高了LAMBDA方法固定模糊度的成功率和稳定性。

参考文献

[1]阳仁贵，等.部分搜索法提高GPS相位模糊度解算的效率和成功率[J].武汉大学学报信息科学版，2007.32（2）：160-163.

[2]高星伟.GPS/GLONASS网络RTK的算法研究与程序实现[D]：[博士论文].武汉大学测绘学院，2002.4.

[3]高星伟，等.网络RTK基准站间基线单历元模糊度搜索方法[J].测绘学报，2002.31（4）：305-309.endprint

【摘 要】 常规LAMBDA方法快速解算网络RTK模糊度的成功率和稳定性，受模糊度参数向量维数的影响。本文介绍一种分步搜索的LAMBDA方法，采用卡尔曼滤波参数估计方法得到模糊度浮点解和协方差阵，选择误差较小的模糊度组成主模糊度组降低了模糊度空间的维数，待主模糊度组固定后，回代观测方程解算从模糊度组。该方法不但可以大大提高LAMBDA方法的搜索效率，而且保证了模糊度降相关性搜索的成功率和稳定性。

【关键词】 网络RTK 卡尔曼滤波 LAMBDA方法 分步搜索

1 引言

常规LAMBDA方法快速解算网络RTK模糊度的成功率和稳定性受卫星数目影响，卫星数目较多即模糊度参数向量维数增多时，由于逐步降相关性算法未能保证彻底消除模糊度之间的相关性，随后的整周模糊度搜索空间拉伸率仍然很大，而导致整周模糊度快速搜索失败。在网络RTK定位中，可能会出现流动站误差改正数错误的情况，错误的卫星误差改正数也严重影响LAMBDA方法进行模糊度解算的效率和成功率。为了解决常规LAMBDA算法在快速解算网络RTK模糊度时存在的问题，本文介绍一种在卡尔曼滤波参数估计方法的基础上，将模糊度参数向量划分为主模糊度组和从模糊度组利用LAMBDA进行先后固定的分步搜索方法。

2 浮点解的卡尔曼滤波估计

在已知卫星瞬时位置的情况下，载波相位观测方程为：

（1）

其中，为载波相位观测值，为卫星到测站间的几何距离，为载波相位的波长（L1/L2），为初始模糊度， 是以距离为单位（m）的各种误差影响之和。是测站到卫星的方向余弦。

组成双差观测方程设为参考卫星，对于卫星可得线性化形式的双差方程为

（2）

其中，下标1，2分别表示基准站和流动站

利用GPS双差方程，构造系统的状态方程和观测方程：

（3）

注：为采样率（单位s）。

每个历元的观测数据为一组进行卡尔曼滤波估计，滤波的递推过程如下：

（4）

和可以根据对基线信息掌握的情况来确定。利用第一个历元的数据进行伪距差分，得到线性化之后的坐标改正量，再由坐标改正量根据式（2）计算模糊度，作为初值，加速度初值赋零。滤波误差方差阵和噪声阵初值赋于经验值。

3 网络RTK双差模糊度的分步固定

LAMBDA方法被认为是当前最好的模糊度OTF解算方法之一。但受到观测卫星的个数，即模糊度参数向量维数的影响，在观测卫星数目或测站数目较多时，由于逐步降低相关性算法未能保证彻底消除模糊度之间的相关性，随后的整数模糊度的搜索区域延伸率仍然会很大，导致整数模糊度快速搜索失败，这是LAMBDA方法不稳定性之所在，也是该方法本身所没有克服的。

常规LAMBDA方法的做法是，当双差模糊度的个数为时，建立搜索空间为维，所有的双差模糊度都将通过搜索确定。事实上，模糊度向量中有三个模糊度是独立的，一旦它们（三个或三个以上模糊度）被固定为正确的整数时，其它的模糊度可以通过确定的线性关系直接计算得到，因此可以采用分步模糊度搜索法固定模糊度。

由滤波得到模糊度协方差矩阵，可以估计模糊度浮点解的精度情况。如果待求模糊度个数较多，可以对模糊度向量进行分组，即把模糊度分为主模糊度组和从模糊度组。

在网络RTK模糊度解算中，流动站距离基准站距离较远，单靠由流动站和基准站的观测数据直接组成双差观测数据，已经不能很好的消除与空间和时间相关的对流层延迟和电离层延迟误差，其残差仍然很大。需要通过基准站模糊度固定后内插出流动站位置的对流层延迟和电离层延迟大小，对双差观测数据进行改正。

如果改正数全部正确（大多数为这种情况），根据卡尔曼滤波得到的协方差阵估计模糊度浮点解的情况，只选择方差较小的模糊度组成主模糊度组，首先对其进行搜索固定。

只对主模糊度组进行搜索，从模糊度组在主模糊度组固定后再确定。利用上面的方法约化从模糊度参数组，可得主模糊度组参数组的浮点解和协方差阵。对主模糊度进行降相关性，用高斯整数迭代或其它整数变换方法（联合去相关法等方法）生成整数变换矩阵。因为剔除了误差比较大的观测数据，还可有效地防止出现病态整数变换的情况。按公式（5）、（6）得到整数变换后的协方差阵和主模糊度矢量，按公式（7）的目标函数搜索，引入Ratio检验得满足要求的整数组合。

（5）

（6）

（7）

其中为变换后的搜索空间。

因为在解除模糊度相关性的时候引入了整数变换，所以正确的整周模糊度组合固定以后，要将整周模糊度组合进行回代得到的整数矢量：

（8）

当主模糊度组固定为整数向量后，代入方程（2）进行最小二乘估计，求解出从模糊度组新的浮点解，并得到从模糊度组的协方差阵。利用从模糊度组新的浮点解和协方差阵，可按照上面解算主模糊度组的降相关处理和模糊度搜索方法解算从模糊度组。最后由主模糊度组和从模糊度组得到模糊度。实际上，当主模糊度确定后，可以求得较精确的位置参数浮点解，从模糊度组的浮点解也较为精确，有时直接取整就可以得到从模糊度组的固定解，进一步提高了模糊度的解算效率。

4 实验结果与分析

实验使用房山IGS跟踪站和周围一个观测点2008年6月29号上午10点左右一分钟的静态观测数据，将每个历元的观测值作为虚拟动态定位进行算法验证。将IGS跟踪站作为基准站，观测点作为流动站，数据采样率为1s。该组数据共有9颗卫星，组成8个双差观测值，以PRN7、PRN13与基准卫星PRN6为例，利用常规LAMBDA方法模糊度解算。

常规LAMBDA方法，对所有模糊度进行搜索，要得到所有模糊度的固定解就要增加观测历元，需要8个历元的观测数据才能将模糊度固定。如果改进LAMBDA方法采用分步解算法，根据模糊度协方差阵选择了五个卫星的双差模糊度分别为：PRN7-6、PRN13-6、PRN19-6、PRN23-6、PRN25-6组成主模糊度组，先固定主模糊度组，再固定从模糊度组（PRN16-6、PRN21-6、PRN27-6）采用主从模糊度组方法，利用2个历元的数据就可把模糊度固定下来。选择主模糊度剔除了误差较大的观测数据，主模糊度就可以快速准确的固定，然后回代入观测方程，再固定从模糊度的效率就很高，有时可以直接取整获得。通过选择较小方差的模糊度实现降维后，能够提高模糊度固定的成功率，显著提高了模糊度的搜索效率。

从定位的精度方面来看，利用所有模糊度解算位置参数的精度，可以看出模糊度固定后得到的位置精度，都能达到厘米级（由于基线较短大部分历元达到毫米级），满足网络RTK定位的精度要求。

5 结语

模糊度搜索空间较大时，可以把模糊度分为主模糊度组和从模糊度组，先主模糊度组进行搜索固定，而从模糊度组可以通过固定了的主模糊度组解算得到。通过分组进行分步解算能够显著缩小搜索空间，可以解决因为观测卫星数多，模糊度参数向量的维数较大，将相关算法未能彻底消除模糊度之间的降相关性，使模糊度搜索空间延伸率大而导致模糊度搜索失败的问题，还能有效防止病态整数变换的出现。同时可通过剔除少数改正数错误卫星的观测数据来构造主模糊度组，有效解决误差改正数错误给模糊度解算带来的影响。本文使用分步搜索算法可以克服常规LAMBDA方法自身的弱点，不但能大大提高LAMBDA方法解算的效率，而且提高了LAMBDA方法固定模糊度的成功率和稳定性。

参考文献

[1]阳仁贵，等.部分搜索法提高GPS相位模糊度解算的效率和成功率[J].武汉大学学报信息科学版，2007.32（2）：160-163.

[2]高星伟.GPS/GLONASS网络RTK的算法研究与程序实现[D]：[博士论文].武汉大学测绘学院，2002.4.

[3]高星伟，等.网络RTK基准站间基线单历元模糊度搜索方法[J].测绘学报，2002.31（4）：305-309.endprint