近拱点映射在平动点轨道设计中的应用研究

殷 毅，袁建平，方 群

（西北工业大学 航天飞行动力学技术重点实验室，陕西 西安710072）

20世纪50年代以来，平动点附近轨道的理论和应用在空间科学和技术领域成为研究的热点之一[1-2]。在限制性三体问题中，航天器受力比较复杂，这对轨道设计就提出了新的要求。根据共线平动点的不稳定特性，其附近的周期轨道在受到较小扰动后就会发生大的偏移，满足轨道转移机理；而连接周期轨道的不变流形，是几乎不消耗能量的低能轨道，这就使得平动点附近轨道设计成为深空探测的重点研究对象[3]。

平动点轨道，就是平动点周期轨道及其附近区域轨道。Hénon[4]通过研究连接于L1和L2点Lyapunov周期轨道的不变流形预测圆限制性三体问题中较小主天体附近的轨道性质。利用庞加莱映射,对流形空间进行分析研究，可以有效降低空间维数，使复杂问题变得简单可视化。Anderson和Lo，Koon 等[5]，Gómez 等[6]，Howell[7]等学者针对该问题做了大量研究。区别于物理空间庞加莱映射面，Villac和 Scheeres[8]首次提出了近拱点庞加莱映射面，并研究了Hill问题下P2附近的逃逸，捕获问题。Howell和Davis[9]利用近拱点映射和不变流形计算分析了P2附近的特定轨道。Haapala[10]还利用近拱点庞加莱映射研究了日-土系中土星附近短期和长期轨道的演化规律，并进行转移轨道的设计。

文中针对圆型限制性三体问题，利用近拱点庞加莱映射，研究较小主天体P2附近的轨道特性，利用不同范围的近拱点通道结构，获得具有特定特征的轨道设计初始解，利用一种自由时间的多点打靶微分修正方法，对轨道位置和速度不连续进行修正处理，获得近似零消耗的同宿和异宿连接轨道；对顺行条件和逆行条件下的初始转移状态进行研究，给出了转移轨道和准周期轨道形成的理论分析。

1 基础理论

1.1 动力学模型与坐标系选取

在圆形限制性三体问题模型（CRTBP）下，动力学模型坐标系为：质量为m3的航天器质点P3在主天体P1-P2组成的旋转坐标系下运动，其中旋转坐标系原点为P1-P2质心，x轴在P1-P2运行平面，由P1指向P2，z轴为P1-P2连线绕公共质心旋转角速度ω方向，y轴与之成右手坐标系。这里，质量m3相对于 P1-P2质量 m1，m2可忽略，即 m1＞m2＞＞m3，P3不影响 P1-P2运动。如图1。

图1 限制性三体示意图Fig.1 of RTBP

动力学方程为描述方便，可对系统进行无量纲化。单位质量m*=m1+m2，单位长度为主天体P1-P2间距离 l*=L,单位时间，G为万有引力常量。无量纲化后，主天体P1-P2绕其质心旋转周期为 2π ，ω=1,G=1，L=1，m1+m2=1。该系统中唯一的参数为质量参数，即较小主天体相对于两主天体的质量分数μ。这里，μ=m2/m1+m2系统相空间情形高度取决于该参数。

旋转坐标系下，主天体的坐标分别为，(-μ0 0），（1-μ0 0），P3相对于 P1-P2的位置矢量为因此，一阶无量纲化向量方程表示为：

这里，

式（2）中下标表示关于旋转坐标系下变量的偏导。当z=z˙=0时，即为平面圆型限制性三体问题运动方程。

该方程存在5个特解，称之为平动解，相应点为平动点。其中，3个为不稳定共线平动点 （L1,L2和L3），2个为稳定三角平动点（L4,L5）。由式（2）还可得限制性三体问题中唯一的积分常量，表达式为：

式（3）称为Jacobi积分(也称为广义能量积分)，表征运动状态流形，v表示航天器速度。Jacobi积分定义了零速度曲线（ZVCs），-2Ω-C(x,y,z,x˙,y˙,z˙)=0，即航天器运动在 v2≥0 的区域。

1.2 不变流形

L1和L2点Lyapunov周期轨道为不稳定轨道，连接在这些周期轨道的稳定和不稳定流形作为分界线可以提供零速度面内相邻区域非常有价值的转移通路结构。这种不变流形通路结构作为低能转移通道在深空探测的初始轨道设计中有极大地应用价值。

稳定和不稳定流形的产生是通过对周期轨道上的点沿着稳定或不稳定特征向量方向施加小扰动实现的。假设一条初始点为t0，周期为T的L1点或者L2点Lyapunov轨道，单值矩阵为 Φ(t0+T,t0)稳定和不稳定特征值为 λs＜1，λu=1/λs，相应的特征向量 Ws和 Wu则可通过方程 Φ(t0+T,t0)ws=λsws，Φ(t0+T,t0)wu=λuwu获得。定义单位向量w+和w-为每一个特征向量的正向和负向，那么负向的局部半个流形，w和w，则是通过对固定点x*在和方向上施加小扰动获得的。同理，正向的局部半个流形，和，也是对固定点x*在和和方向上施加小扰动获得。沿着特征向量方向的小扰动步长一般表示为d，则局部稳定流形的初始状态可以表示如下：

d的取值非常关键，决定着局部流形的准确性。太小，则流形延拓过程缓慢；太大，则流形精度较低。一般情况，d取值为10-6［6］。对局部稳定流形进行负向时间推演延拓，可得到全局稳定流形；对局部不稳定流形进行正向时间推演延拓，可得到全局不稳定流形。

1.3 近拱点庞加莱映射

庞加莱映射是经典的分析动力学方法，不仅能将某点的流状态与后续的流状态关联起来，而且能以n-1维离散系统来代替n维连续系统的流，使得问题变得简单直观。在平面限制性三体问题中，固定Jacobi积分，选择合理庞加莱截面，这样就可以将问题由四维降为二维。因此，整个状态空间可以完全由平面的庞加莱投影截面代替。

近拱点庞加莱映射将近拱点通道作为投影截面，这里近拱点指相对于P2距离最近的点。近拱点庞加莱映射面首次由Villac和Scheers［8］定义并应用，表示为˙=0，0，这里，r为 P3相对 P2的位置矢量。 记P3在旋转坐标系下的状态为，近拱点可表示为：

应用近拱点庞加莱映射不仅降低了问题的维数，更进一步缩小了初步设计空间，使得初始解被限制在零加速度曲线内。其次，根据近拱点的定义，近拱点处P3相对P2的速度模值为零，选择此处的点作为轨道初始拼接点，微分修正的速度误差也比较小。

2 近拱点截面演化与应用

2.1 近拱点截面演化

近拱点截面创建相对比较简单，对于给定的Jacobi常量，在零加速度曲线内内，每一条轨道的初始条件都对应近拱点区域内的一点。因此可以认为，初始条件都反映着近拱点。给定初始位置和速度，就可以产生顺行或者逆行轨道。这些对应着轨道的初始状态正向时间迭代特定的周期就产生一系列近拱点。首次近拱点用相同颜色描述，将状态继续进行时间积分演化，满足下一个近拱点条件就进行评判着色，最终直到预定时间或者特定周期结束。这样，就产生了独立的特定范围和类型的近拱点映射截面。

文中以地-月系为例，在特定Jacobi积分常量下，将平动点附近Lyapunov轨道进行离散，得到8 000个状态点作为初始条件，利用近拱点演化结构对轨道类型进行了区分，以此获得具有特定设计特征的轨道。

图2给出了C=3.170时利用Lyapunov轨道不变流形延拓获得的首次近拱点映射图，在流形轨道上用黑点表示。可以看出，这些近拱点完美的定义了识别逃逸轨道的“瓣”状区域。这些瓣状区域代表了优先直接逃离较小主天体附近的轨道区域，任何包含这种区域内近拱点的轨道在下一个近拱点之前优先逃离。相反的，近拱点在这些区域外的轨道在下一个近拱点之前不会逃离。因此，这些瓣状区域可以被看作是逃逸关口，任何逃逸轨道在最终逃逸之前都会最后经过这样的关口区域。另外，一些流形轨道在平动点附近也产生了近拱点，这些近拱点在本文轨道设计中是被忽略的。图中，为方便说明，用表示Li点Lyapunov轨道稳定流形上第m个近拱点所形成的区域等高线；同理，表示Lj点Lyapunov轨道不稳定流形上第n个近拱点所形成的区域等高线。

图 3（a）（b）分别给出了P2附近 L1点和L2点稳定和不稳定流形的近拱点区域范围的图形。图3中，稳定流形和不稳定流形的近拱点区域，即等高线包含区域分别用黑色、白点黑、深灰色、灰点白、斜白线灰和浅灰色进行填充。可以看出L1点和L2点首个稳定流形的近拱点等高线与图2中是一致的。由于稳定流形是负向时间积分获得，因此图3（a）表示了负向时间下穿过边界-0.01的L1逃逸轨道和x=xL2+0.02的L2逃逸轨道近拱点区域[10]；同样的，图3（b）表示了正向时间下的逃逸轨道近拱点区域。从图3（b）中还可以看出，稳定和不稳定流形的近拱点映射关于x轴对称。这样在轨道设计中，我们就能利用这种对称性，有效地减少轨道设计中的计算量。图3中所有的近拱点都位于一条浅灰色的轮廓线内，这条轮廓线就是之前提到的零加速度曲线。

2.2 近拱点截面应用

根据2.1节的理论可知，近拱点截面是逃逸轨道进出P2附近区域的必经通道关口。利用这种性质，并结合不变流形理论，可以设计出入该区域的低能转移轨道。转移轨道的运动路线可以表示为：从Lj的不稳定流形出发，通过流形间的交点进入Li点稳定流形。这种方法的关键在于，如何找到不同流形间的交点，提供轨道设计的初始解。

图2 C=3.170时L1正向稳定流形和L2负向稳定流形首次近拱点示意图Fig.2 Map of first periapese alongandfor C=3.17

图3 地-月系近拱点映射截面图点示意图Fig.3 Periapse structure in the Earth-Moon system

正如前述，近拱点庞加莱映射截面的一大特点就是在轨线可以表示为：从Lj的不稳定流形出发，通过流形间的交点进入Li点稳定流形。这种方法的关键在于，如何找到不同流形间的交点，提供轨道设计的初始解。

正如前述，近拱点庞加莱映射截面的一大特点就是在轨道设计中，解空间位于位形空间，初始解可以在位置空间中直观的描述出来。在可视化的近拱点截面图中，选择同时位于近拱点等高线和上的点作为初始解，正向时间积分可以获得不稳定流形上的轨道段Υ+，负向时间积分获得稳定流形的轨道段Υ-。这样，就可以经过Lj通道，进入Li通道的转移轨道Υ。可以看出，当j=i时，轨道Υ为类似于同宿轨道的内部-内部转移轨道或外部-外部转移轨道；j≠i时，轨道Υ为类似于异宿轨道的外部-内部或内部-外部转移轨道[11]。如果定义轨道Υ经过一个近拱点和一个远拱点为一个周期，那么，轨道Υ在逃逸P2附近区域时共运行了m+n-1个近拱点，m+n-2个远拱点，即共运行了m+n-2圈加一个远拱点。因此，轨道Υ绕P2附近运行的周期可以表示为：

转移轨道设计一定满足这个规律。

3 轨道设计结果

3.1 同宿连接和异宿连接轨道

近拱点映射截面在进行同宿连接和异宿连接时更具优势，根据2.2节理论，利用近拱点截面区域，可以直接获得设计初始值。不过实际中，位于的近拱点，只能产生同同宿连接或异宿连接轨道的近似值。这个近似值只能作为实际轨道的初始猜测值，并需要多步打靶法被用来修正初始状态。

文中采用自由时间的多点打靶微分修正法，具体见文献[11]。进行了同宿连接和异宿连接轨道的设计。图4给出了L1点和L2点部分近拱点截面的放大图，利用图中分别距离A、B点十分接近初始状态，进行了的典型的同宿轨道连接和异宿轨道连接。

图4 近拱点截面局部放大图Fig.4 Close view of partof periapese lobs

图5给出了典型的同宿轨道连接和异宿轨道连接示意图。图5（a）为图4中A点附近状态设计结果，（b）为B点附近初始状态设计结果。结果表明，连接轨道绕P2附近运行的周期与2.2节的理论结果完全一致。虽然这里只给出了L1点的同宿连接轨道，但L2点也同样存在。正如之前所述，同宿连接和异宿连接设计时，由于初始状态的不连续，要进行多点打靶的微分修正使其满足一定误差精度。表1给出了微分修正设计前后微分修正前后的位置和速度误差对比。

表1的设计结果表明，微分修正后，同宿连接和异宿连接轨道的误差明显减小。在空间位置上，已经成为一条连续的连接轨道，而速度误差也保持在0.5m/s的量级。

表1 微分修正设计前后位置和速度误差Tab.1 The pre-and post-correction error of position and velocity

图5 同宿和异宿连接轨道Fig.5 Homoclinic and Heteoclinic connection orbit

3.2 L1和L2通道转移轨道设计

根据2.2节所述，L1点和L2点Lyapunov轨道不稳定流形所描述的近拱点区域是进入P2附近区域的通道关口；与之相反，稳定流形所描述的近拱点区域则是逃离通道关口。因而，一条同时包含L1点稳定流形和L2点不稳定流形 （或者L1点不稳定流形和L2点稳定流形）近拱点的轨道就可称之为“双穿越”轨道；也就是说，这条轨道同时穿过L1和L2通道关口。

应用近拱点庞加莱映射进行轨道设计，一般步骤可以描述为：选择同时位于稳定流形和不稳定流行近拱点截面和重叠部分的点作为初始状态，对其状态同时正向时间和负向时间演化延拓，就产生一条正向时间通过Li通道，负向时间通过Lj通道的转移轨道。设计的关键在于如何获得精确地初始状态值。近拱点映射的优势在于解空间位于位形空间，初始状态的位置坐标(x,y)可由近拱点映射截面直接读出，速度坐标可以根据 Jacobi积分和近拱点条件求出。见（7）式：

根据轨道动力学知识可知式（7）中，当x˙取“+”号，得到逆行轨道条件；反之，则得到顺行轨道条件。本文分别针对顺行条件和逆行条件进行了研究，选择与图4类似的近拱点映射

当式（7）取其逆行条件时，获得轨道示意图如图8。截面放大图，如图6所示，选择初始状态A、B两点，进行转移轨道研究。

针对图6中的初始状态A、B，当式（7）选择其顺行速度条件时，获得转移轨道图如图7所示。图7（a）为L1通道关口向L2通道转移轨道；（b）为L2通道关口向L1通道转移轨道。利用这种转移轨道，可以实现主天体之间的探测。

图6 近拱点截面局部放大图Fig.6 Close view of part of periapese lobs

图7 顺行条件关口转移轨道示意图Fig.7 of prograde gateway transit orbit

图8 逆行条件准周期轨道示意图Fig.8 of retrograde Lissajours orbit

由图7和图8的设计结果可以看出，当式（7）取“-”号时，即取顺行条件，得到的是双穿越轨道；反之，即取逆行条件，得到的是准周期轨道.

对于这种差异，本文也从理论上进行了分析。在轨道力学中，运动矢量的加速度，我们可以描述为：

在式（8）中，等号右边最后一项为科氏加速度。可以看出，本文三体条件下，顺行条件时，其科氏加速度由P2指向外，对轨道起到扰动作用，这样就满足平动点附近转移轨道机理，能实现双穿越轨道；当取逆行条件时，科氏加速度则指向P2，对轨道起到稳定作用，这样就产生准周期轨道。这一点与D.PHamilton[12]在研究小行星轨道稳定区域的结论相一致。

4 结论

本文针对平面圆型限制性三体问题，利用近拱点庞加莱映射面，研究了同宿异宿连轨道接和双通道穿越转移轨道。采用自由时间的多点打靶微分修正法，对轨道连接过程中的位置、速度不连续进行了修正，获得了近似零消耗的同宿异宿连接轨道；在转移轨道研究中，首次对其顺行转移条件和逆行转移条件进行了研究，并对其形成的轨道进行了理论分析。

本文是在地-月系三体条件下进行的研究，该研究方法适用于太阳系中所有m1-m2系统。文中的设计方法，为三体系统下特定任务的初步轨道设计提供了理论保障，并提供了快速、有效地设计方案。

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