多项式微分方程的广义反射函数及其周期解＊

潘颖昕，高巧萍，刘文俊

（1.如皋高等师范学校数理与信息技术系，江苏如皋 226500；2.扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002）

0 引言

对多项式微分系统解的形态研究是国内外许多微分方程专家关注的热点问题之一.对于周期微分系统可以采用Poincaré映射来研究其周期解的形态，但有时寻找Poincaré映射比较困难.在这种情况下，前苏联微分方程专家V.I.Mironenko［1］于1981年首先提出了反射函数的概念，提供了求周期微分系统Poincaré映射的新途径.通过这种方法，可以找到某些不可积周期微分系统的Poincaré映射，继而研究其周期解的形态.此后，E.V.Usafirov［2］，L.A. Alisevich［3］，ZHOU Zhengxin［4－5］等微分方程专家应用反射函数理论来探究微分方程周期解的性状并已取得了若干好的成果.

文献［6］将Mironenko的成果进一步拓展为广义反射函数，使得反射函数在周期解的存在性及稳定性方面的应用有了进一步的发展.本文将应用广义反射函数研究多项式微分方程周期解的存在性及稳定性.

1 预备知识

对于微分系统（1），如果X（t，x）连续可微，其Cauchy问题的解存在唯一，解φ（t；0，x）存在区间用Ix表示

定义1［6］若微分系统（1）Cauchy问题的解为φ（t；τ，x），X（t，x）连续可微，并满足解的存在唯一性定理的条件，称可微函数F（t，x）＝φ（α（t）；t，x），（t，x）∈D为系统（1）的广义反射函数，其中α（t）连续可微并满足α（α（t））＝t，α（0）＝0.

性质1［6］若x（t）为微分系统（1）的解，t∈I，0∈I，有F（t，x（t））＝x（α（t））.

性质2［6］F（α（t），F（t，x））≡F（0，x）≡x.

性质3［6］可微函数F：D→ℝn为微分系统（1）的广义反射函数，当且仅当它为偏微分方程

的解.称该式为广义反射函数的基本关系式.

性质4［6］若x′＝Y（t，x）与x′＝X（t，x）具有相同的广义反射函数，称它们属于同一类等价类或称它们为等价的.

性质5［6］设F（t，x）为x′＝X（t，x）的广义反射函数，且x′＝Y（t，x）与x′＝X（t，x）等价，则Y（t，x）＝X（t，x）＋F－1xR（t，x）＋α′（t）R（α（t），F），这里R（t，x）为任意连续可微函数.

引理1［6］设X（t＋2ω，x）＝X（t，x），若存在τ∈ℝ使得α（τ）＝2ω＋τ，则微分系统（1）的Poincaré映射T（x）可以定义为T（x）＝F（τ，x）＝φ（α（τ）；τ，x），从而微分系统（1）在［τ，τ＋2ω］上有定义的解为2ω－周期解当且仅当F（τ，x）＝x.

2 主要结果

本文考虑多项式微分方程

的线性广义反射函数及其周期解的存在性与稳定性，式中pi（t）（i＝0，1，2，…，n）为任意的连续可微函数.

定理1 F（t，x）＝f（t）x为多项式微分方程（3）的广义反射函数，当且仅当

证明 必要性.

设F（t，x）＝f（t）x为多项式微分方程（3）的广义反射函数，则

即

比较等式两边x的相同次幂的系数可得

考虑F（0，x）≡x，则由式（5.1）可得

将式（6）代入式（5.0）及式（5.2）～（5.n）得

至此必要性成立.

充分性.

将式（4.1）～（4.n）及式（6）代入式（7）得

因此，Ft（t，x）＋Fx（t，x）X（t，x）＝α′（t）X（α（t），F（t，x）），又F（0，x）＝e－u（0）x＝x显然成立，由性质3知F（t，x）＝e－u（t）x是多项式微分方程（3）的广义反射函数.至此充分性成立.

定理2 若多项式微分方程（3）满足定理1的条件，pi（t＋2ω）＝pi（t）（i＝0，1，2，…，n），∃τ∈ℝ，α（τ）＝2ω＋τ，则

（1）当u（τ）＞0时，多项式微分方程（3）有唯一的2ω－周期解且稳定；

（2）当u（τ）＜0时，多项式微分方程（3）有唯一的2ω－周期解但不稳定；

（3）当u（τ）＝0时，多项式微分方程（3）所有在［τ，τ＋2ω］上有意义的解都是2ω－周期解.

证明 当多项式微分方程（3）为2ω－周期方程且∃τ∈ℝ，α（τ）＝2ω＋τ时，由引理1，其Poincaré映射为T（x）＝F（τ，x）＝e－u（τ）x，由T（x）＝x易得定理结论成立.

推论 在定理2的条件下，函数F（t，x）＝e－u（t）x也是微分方程

的广义反射函数，且该微分方程周期解的形态与微分方程（3）相同，这里R（t，x）为任意连续可微的2ω－周期函数.

3 举例应用

例1 Abel方程

具有广义反射函数F（t，x）＝φ（α（t）；t，x）＝eα2（t）－tx，其中

例2 n次多项式微分方程

具有广义反射函数F（t，x）＝φ（α（t）；t，x）＝x，其中α（t）＝－t.由于F（－π，x）＝x，故该微分方程在［－π，π］上有定义的解皆为2π－周期解.

通过广义反射函数法，不但可以研究多项式微分方程周期解的存在性与稳定性，还可以进一步研究更一般的微分方程周期解的存在性与稳定性.

［1］ MIRONENKO V I.Reflective Function and Periodic Solution of the Differential System［M］.Minsk：Minsk University Press，1986：12－26.

［2］ MUSAFIROV E V.Differential systems，the mapping over period for which is represented by product of three exponential matrixes［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，329（1）：647－654.

［3］ ALISEVICH L A.On linear system with triangular reflective function［J］.International Journal of Differential Equations，1998，9（8）：1446－1449.

［4］ ZHOU Zhengxin.On the reflective function of polynomial differential system［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2003，278（1）：18－26.

［5］ ZHOU Zhengxin.The structure of reflective function of polynomial differential systems［J］.Nonlinear Analysis，2009，71（1－2）：391－398.

［6］ 孙长军.广义反射函数的性态与应用［J］.数学的实践与认识，2010，40（10）：222－228.

［7］ 潘颖昕，高巧萍，周正新.第二类Abel方程的反射函数及其周期解［J］.扬州大学学报：自然科学版，2013，16（2）：8－12.

［8］ 潘颖昕.高次微分系统解的性态研究［J］.淮海工学院学报：自然科学版，2012，21（4）：1－4.