公元前6-17世纪数学方法发展研究

李 琦

（中国农业大学，中国 北京 100193）

伴随人类认识能力的提高，科学方法在不断地克服历史局限性和人类认识能力局限性的基础上朝前发展。在科学研究活动中，只有遵循一定的方法和原则才能获得对自然界的深刻认识，因此我们可以说科学方法是研究人类如何更有效认识自然界的一门科学。数学方法作为科学方法中的重要组成，对科学研究活动有重大影响。每一次数学领域的重大突破，都成为科技进步的先导和基础，数学史上的里程碑也大多是科学发展史上的里程碑。

1 公元前6-17世纪数学方法的产生与演进

16世纪，一种新的变换过程，即数学方法，被引入科学研究，使科学方法发生了变革，从而导致了近代科学革命。数学方法并不是某个时代特定的产物，而是随着时间的积淀一步步发展成为重要的科学方法。在古代以直观观察和哲学思辨为主流的科学方法中，数学方法以处在萌芽状态并不断发展完善。

古希腊人继承了古埃及和古巴比伦的辉煌文明，运用演择推理的方法把几何学的研究推进到系统化、理论化的程度，比如泰勒斯几何定理的证明和在测量金字塔高度上的运用。他的学生毕达哥拉斯及其学派继承和发扬了泰勒斯的论证几何学，并且将数学概念抽象化，进一步推动了演绎数学的发展。毕达哥拉斯认为数是万物的本质，有关数的理论构成了他的数学哲学的核心。虽然毕达哥拉斯学派的数学哲学产生了数学理性的萌芽，但仍属于哲学思辨方法范畴。柏拉图深化了毕达哥拉斯学派的数学理念，提出了“理念世界”的概念，主张通过数学了解现实世界，通过数学实现自己的目的。毕达哥拉斯与柏拉图对数学的抽象理解和世界是按照数学理念构成的信念，为后来数学方法的发展起了奠定性功用。亚里士多德提出了演绎推理的一般原则：三段论法，创立了非常严密的形式逻辑体系。欧几里得的《几何原本》便是在亚里士多德的基础上，把数学从古埃及、古巴比伦时的一门经验科学转变成了具有一般理论性程度的演择科学。阿基米德将演绎方法和数学方法进行了有效结合，为数学方法的崛起打下基础。

由于古代科学和哲学是一体的，哲学思辨方法占主导地位，数学方法并未得到足够重视，对于科学的推进只是停留在浅层次上，还未形成强大的推动力。希腊时期之后中世纪数学进入低谷期，到13世纪，文艺复兴的思想解放运动把自然哲学从神学的迷雾中拯救出来，并第一次使它广泛地服务于对自然界的研究。到了16世纪之后，科学家的数学观更加鲜明一致：科学的本质即数学，所有的现象都能用数学语言进行描述。“科学工作的最终目标是确立定量的数学上的规律”。

哥白尼提出日心说，用太阳取代地球位于宇宙的中心，然后以这一思想为基础，构建了一个全新的宇宙数学模型，用简洁的方式诠释了天体的运行。丹麦天文学家第谷曾试图折衷哥白尼的日心说与托勒密的地心说，之后在第谷原有的观察基础上，德国天体物理学家开普勒应用几何方面的理论知识，将天体的结构与行星运动的过程予以展现出来，运用了理论应与观测一致的科学方法论原则，证明了哥白尼天文学体系的正确性，并进一步得出行星运动的三大定律，找到了一个更为简单的世界体系。

伽利略把数学方法和实验方法结合起来应用于力学研究，取得了重大突破。他说：“尽管这些工匠懂得多，他们的知识并不真正是科学的，因为他们不熟悉数学，所以他们不能从理论上发展成果。”他第一个把数学方法应用于力学研究，并创立了理想化方法。他把实验方法与数学方法相结合，推翻了亚里多士德的力学结论，发现了钟摆定律、惯性定律、落体定律等。它不仅在科学理论方面为牛顿做了奠基，更为牛顿的物理学实验提供了系统的实验-数学方法。他按照数学方式对自然现象进行解释，最后应用实验验证所得的结论，获得了运动的三大定律与万有引力定律，建立起自己的理论体系，成就辉煌而卓著。

在化学、生命学等学科发展中，也可以看到数学方法的贡献。比如赫尔蒙特的“柳树实验”就是运用实验-数学的方法得出“万物始于水”的结论，哈维运用定量试验推翻了盖伦的动脉吸收理论，提出了血液循环理论。

笛卡尔总结了数学方法在力学、天文学中应用的成就，提出了方法论的四条基本原则，创立了数学一演绎法，并试图将其推广到一切领域。他用这种方法发现了动量守恒原理、惯性原理，创立了解析几何。解析几何的创立使数学发生了重大转折。以强调实验方法和归纳方法著称的培根，实际上也注意到了数学方法在科学上所起的作用。他认为，数学是一门抽象化的科学，它以数量关系为研究对象，只有运用数学的方法才能表达和确定自然界的真理。他同时认为实验与数学在科学研究中并不是相对立的，而是具有十分密切的关系，其中数学方法具有重要地位。

经过近代科学家和哲学家的努力，在17世纪末，确立了机械自然观和实验-数学的方法论，这也成为了近代科学区别于古代科学的标志。由以上史论我们可以看出，随着一种科学方法的产生与发展，科学方法之间不停地摩擦融合，可以推动新方法、新理论的产生，科学研究可以突破以往的桎梏取得新的进展。科学的发展与科学方法的发展具有一致性，因此我们说一部科学史也是一部科学方法发展史。

2 数学方法发展对科学进步的作用

数学方法与科学似一对孪生兄弟，相伴发展，密不可分。这种关系决定了数学方法对科学发展有举重若轻的作用，它是科学产生的摇篮，为科学进步披荆斩棘，不仅影响科学发展方向，直接推动科技进步，还通过自我完善和发展进一步促进科学理论的发展。

数学方法是科学认识的有效手段和工具，直接服务于科学认识，每一次数学领域的重大突破都成为科学进步的基础条件。其作用和地位主要表现在以下几个方面：

第一，帮助科研工作者发现新理论、提出新假说、作出新发明。科学研究是一项研究自然界中未知领域的活动，在研究假设是否成立、研究成果是否与假设一致等方面具有不确定性。因此科研人员需要应用与研究问题相契合的科学方法，否则不仅不会有新发现，还有可能误入歧途，得出与自然规律相悖的结论，从而阻碍科技的发展进步。数学方法具有高度的抽象性和概括性、严密的逻辑性、高度的精准性和广泛的应用度。这些特性决定了数学方法在揭示量与量关系时，其结果具有客观实在性，并且还能深刻挖掘物质结构的层次性。

从历史的发展进程看，相较于其他学科，数学发展具有超前性，平面几何和代数都取得了辉煌的成就，被直接应用到实践生活中，促进了各领域的进步。例如金字塔建造过程中应用了丰富的几何知识和精确的计算方法，阿基米德将数学方法和试验方法结合起来极大地推动了物理学的发展。虽然古代的数学方法带有超前性，但仍被归类于自然哲学之中，带有笼统、肤浅和直观猜测性等特征。直到文艺复兴之后，数学方法结束混沌状态，彻底从神学束缚中解脱出来，并直接作用于科学研究活动。它使科学认识集中于某一类问题上，使其成为一种目的性很强的认识活动。这种相对稳定和独立的状态直接推动了天文学、物理学等领域科学理论的迅猛发展。例如牛顿利用微积分推导出了万有引力定律，并纠正了开普勒定律中存在的错误；惠更斯用数学方法创立了离心力公式，很快成为发现万有引力定律的桥梁，牛顿称其为“当代最伟大的几何学家”。

第二，实现了数学方法从一学科领域到另一学科领域的移植。文艺复兴后,近代科学的诞生和迅猛发展除了其他的社会因素外，研究方法的创新和发展也是一个重要因素。近代科学之所以能够顺利地从古希腊自然哲学中脱离出来，走上独立发展的道路，数学-演绎方法功不可没。从天文学、物理学到化学、生命科学，数学方法在多领域的广泛应用成就了科学的欣欣向荣局面。

第三，推动了科学革命的成功。科学发展的历史表明，一场科学革命的发生常常产生于科学方法的变革。当科学方法与科学发展的本质要求不符合时，便会产生“危机”。这种“危机”是原有理论无法克服的本质上的矛盾。在危机时期，科学家运用故有的科学方法、理论无法解决矛盾，甚至加深矛盾，只有运用新的思维方式和方法才能推动科学认识上质的飞跃。哥白尼的理论证明中数学方法的运用拉开了解决中世纪科学危机的序幕，伽利略数学-实验方法的推广推动了物理学、化学、生命学等多领域的科学发展。这场科学革命也数学方法“脱胎换骨”，不仅包含旧方法中的积极成分，还经过不断地演绎、发展、结合，变成适合新范式的科学方法。

第四，它可以把哲学对科研活动的指导具体化、操作化。世界观与方法论是一致的，有什么样的世界观就有什么样的方法论。哲学是科学的深部基础，它的作用在于为科学研究提供方法论,没有哲学思维和逻辑范畴，科研活动难以深入。正如爱因斯坦所说的一样，“相信有一个离开知觉主体而独立的外在世界,是一切自然科学的基础”。作为连接科学和哲学的桥梁，数学方法不仅辅助了科学研究，还推动了哲学的进步。在《方法谈》中笛卡尔指出数学演绎方法具有不可错性，只要前提正确，结论必然正确。这个正确的前提便是怀疑一切，“我思故我在”。从这个命题出发，笛卡尔提出了物质-心灵二元论，这也成为他科学研究的哲学基础，为他在物理学原理方面的成就打下基础。

综上所述,无论从科学认识的常规阶段，科学认识的革命阶段,数学方法都体现出了自身价值和旺盛的生命力。虽然在许多社会科学分支没有运用数学方法，这也并非表明不能应用数学方法，只能说明还没产生与之相适应的数学工具。随着学科建设的发展，越来越多的数学成果会找到应用领域，数学方法会伴随着科学的发展而不断进步，从而更有力的辅助科研活动。

［1］[美]莫里斯·克莱因.古今数学思想(第一册）[M].上海科学技术出版社,P251.

［2］[英]斯蒂芬·S·梅森.自然科学史[M].上海译文出版社.P142.