“至多”或“至少”型计数题解答策略

戴三红

提问： 在计数问题中，经常有“至多”“至少”“不都”等词语出现.一看到这些词，我就头脑混乱，弄不清它们到底是什么意思……

回答： 排列组合问题中，“至多”“至少”这类词语是许多同学的困扰.要想准确理解题意，首先要理解这些词语的含义.

至少： 表示最小限度、不少于，即“大于或等于”.

例如，从5名女生和5名男生中选4人参赛，至少有2名女生被选中，表示被选中的女生人数大于或等于2名，即女生人数可能为2名、3名或4名.

至多： 表示最大限度、不超过，即“小于或等于”.

例如，从5名女生和5名男生中选4人参赛，至多有2名女生被选中，表示被选中的女生人数小于或等于2名，即女生可能为2名、1名或没有.

在准确理解这些词的含义后，就需要掌握解题方法.通常我们可以采用“分类讨论直接计算”和“考虑反面情形间接计算”两种方法处理这类问题.

例1 [2013年湖州市高三教学质量检测数学（理科）第14题]将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支笔，有 种不同的放法（用数字作答）.

解析： 例1含有的不确定因素是“每个笔筒中至少放2支笔”，具体哪个笔筒放几支不明确.我们将这一不确定因素转化为几类明确的情形：两个笔筒中分别放2支笔和5支笔、3支笔和4支笔、4支笔和3支笔、5支笔和2支笔.因此所求的放法有+++=2（+）=2×（21+35）=112种.

点评： 在例1中，我们采用分类讨论直接计算的方法，将不确定因素转化为几类确定的、可计数的情形，这样的处理使得题意更为清晰，便于逐类解答问题.

例2 [2013年高考数学重庆卷（理科）第13题] 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1个人的选派方法有 种（用数字作答）.

解析： 从12名医生中不加限制随意选派5名医生的方法有种.1名内科医生都不选，只从3名骨科和4名脑外科医生中选派5名医生的方法有种；1名脑外科医生都不选，只从3名骨科和5名内科医生中选派5名医生的方法有种；1名骨科医生都不选，只从4名脑外科和5名内科医生中选派5名医生的方法有种.其中后两类中有重复的选派法：选派的5人都是内科医生.由此可得每个科至少有1人的选派方法有：

-（++-1）=792-（21+56+126-1）=590种.

点评： 其实我们也可以采用分类讨论直接计算的方法，将选派的5名医生明确分为六类： 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生；1名骨科、2名脑外科和2名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生；2名骨科、1名脑外科和2名内科医生；2名骨科、2名脑外科和1名内科医生；3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，可得+++++=590种.

在将不确定因素转化后得到的确定情形较多的情况下，直接分类讨论法会使解题过程烦琐，因此，在这种情况下，可以考虑反面情形进行间接计算，提高效率.

不管是运用直接分类讨论法还是考虑反面情形间接计算，其实质都是为了消除不确定因素，将不确定的问题转化为确定的情形，方便求解.

提问： 在计数问题中，经常有“至多”“至少”“不都”等词语出现.一看到这些词，我就头脑混乱，弄不清它们到底是什么意思……

回答： 排列组合问题中，“至多”“至少”这类词语是许多同学的困扰.要想准确理解题意，首先要理解这些词语的含义.

至少： 表示最小限度、不少于，即“大于或等于”.

例如，从5名女生和5名男生中选4人参赛，至少有2名女生被选中，表示被选中的女生人数大于或等于2名，即女生人数可能为2名、3名或4名.

至多： 表示最大限度、不超过，即“小于或等于”.

例如，从5名女生和5名男生中选4人参赛，至多有2名女生被选中，表示被选中的女生人数小于或等于2名，即女生可能为2名、1名或没有.

在准确理解这些词的含义后，就需要掌握解题方法.通常我们可以采用“分类讨论直接计算”和“考虑反面情形间接计算”两种方法处理这类问题.

例1 [2013年湖州市高三教学质量检测数学（理科）第14题]将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支笔，有 种不同的放法（用数字作答）.

解析： 例1含有的不确定因素是“每个笔筒中至少放2支笔”，具体哪个笔筒放几支不明确.我们将这一不确定因素转化为几类明确的情形：两个笔筒中分别放2支笔和5支笔、3支笔和4支笔、4支笔和3支笔、5支笔和2支笔.因此所求的放法有+++=2（+）=2×（21+35）=112种.

点评： 在例1中，我们采用分类讨论直接计算的方法，将不确定因素转化为几类确定的、可计数的情形，这样的处理使得题意更为清晰，便于逐类解答问题.

例2 [2013年高考数学重庆卷（理科）第13题] 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1个人的选派方法有 种（用数字作答）.

解析： 从12名医生中不加限制随意选派5名医生的方法有种.1名内科医生都不选，只从3名骨科和4名脑外科医生中选派5名医生的方法有种；1名脑外科医生都不选，只从3名骨科和5名内科医生中选派5名医生的方法有种；1名骨科医生都不选，只从4名脑外科和5名内科医生中选派5名医生的方法有种.其中后两类中有重复的选派法：选派的5人都是内科医生.由此可得每个科至少有1人的选派方法有：

-（++-1）=792-（21+56+126-1）=590种.

点评： 其实我们也可以采用分类讨论直接计算的方法，将选派的5名医生明确分为六类： 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生；1名骨科、2名脑外科和2名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生；2名骨科、1名脑外科和2名内科医生；2名骨科、2名脑外科和1名内科医生；3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，可得+++++=590种.

在将不确定因素转化后得到的确定情形较多的情况下，直接分类讨论法会使解题过程烦琐，因此，在这种情况下，可以考虑反面情形进行间接计算，提高效率.

不管是运用直接分类讨论法还是考虑反面情形间接计算，其实质都是为了消除不确定因素，将不确定的问题转化为确定的情形，方便求解.

提问： 在计数问题中，经常有“至多”“至少”“不都”等词语出现.一看到这些词，我就头脑混乱，弄不清它们到底是什么意思……

回答： 排列组合问题中，“至多”“至少”这类词语是许多同学的困扰.要想准确理解题意，首先要理解这些词语的含义.

至少： 表示最小限度、不少于，即“大于或等于”.

例如，从5名女生和5名男生中选4人参赛，至少有2名女生被选中，表示被选中的女生人数大于或等于2名，即女生人数可能为2名、3名或4名.

至多： 表示最大限度、不超过，即“小于或等于”.

例如，从5名女生和5名男生中选4人参赛，至多有2名女生被选中，表示被选中的女生人数小于或等于2名，即女生可能为2名、1名或没有.

在准确理解这些词的含义后，就需要掌握解题方法.通常我们可以采用“分类讨论直接计算”和“考虑反面情形间接计算”两种方法处理这类问题.

例1 [2013年湖州市高三教学质量检测数学（理科）第14题]将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支笔，有 种不同的放法（用数字作答）.

解析： 例1含有的不确定因素是“每个笔筒中至少放2支笔”，具体哪个笔筒放几支不明确.我们将这一不确定因素转化为几类明确的情形：两个笔筒中分别放2支笔和5支笔、3支笔和4支笔、4支笔和3支笔、5支笔和2支笔.因此所求的放法有+++=2（+）=2×（21+35）=112种.

点评： 在例1中，我们采用分类讨论直接计算的方法，将不确定因素转化为几类确定的、可计数的情形，这样的处理使得题意更为清晰，便于逐类解答问题.

例2 [2013年高考数学重庆卷（理科）第13题] 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1个人的选派方法有 种（用数字作答）.

解析： 从12名医生中不加限制随意选派5名医生的方法有种.1名内科医生都不选，只从3名骨科和4名脑外科医生中选派5名医生的方法有种；1名脑外科医生都不选，只从3名骨科和5名内科医生中选派5名医生的方法有种；1名骨科医生都不选，只从4名脑外科和5名内科医生中选派5名医生的方法有种.其中后两类中有重复的选派法：选派的5人都是内科医生.由此可得每个科至少有1人的选派方法有：

-（++-1）=792-（21+56+126-1）=590种.

点评： 其实我们也可以采用分类讨论直接计算的方法，将选派的5名医生明确分为六类： 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生；1名骨科、2名脑外科和2名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生；2名骨科、1名脑外科和2名内科医生；2名骨科、2名脑外科和1名内科医生；3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，可得+++++=590种.

在将不确定因素转化后得到的确定情形较多的情况下，直接分类讨论法会使解题过程烦琐，因此，在这种情况下，可以考虑反面情形进行间接计算，提高效率.

不管是运用直接分类讨论法还是考虑反面情形间接计算，其实质都是为了消除不确定因素，将不确定的问题转化为确定的情形，方便求解.