基于主轴轴承运行刚度的高速主轴动力学建模

米良，胡秋，舒强，于海莲

(1.中国工程物理研究院机械制造工艺研究所，四川绵阳 621999; 2.中国工程物理研究院机床装备检测评价中心，四川绵阳 621999)

基于主轴轴承运行刚度的高速主轴动力学建模

米良1，2，胡秋1，舒强1，2，于海莲1，2

(1.中国工程物理研究院机械制造工艺研究所，四川绵阳 621999; 2.中国工程物理研究院机床装备检测评价中心，四川绵阳 621999)

高速主轴是高速加工关键功能部件之一，其动力学性能对机床加工质量有着重要的影响。基于赫兹接触理论计算了主轴轴承动态运行刚度并构建了主轴轴承的刚度矩阵;基于Timoshenko梁理论获得高速旋转梁单元运动方程;基于主轴轴承单元、梁单元与盘单元构建了某高速主轴系统有限元模型，并进行了静动态实验测试。结果表明:所建立的动力学模型是准确的，为主轴系统结构优化提供了理论指导。

主轴系统;轴承;预紧力;离心力;陀螺力矩;动刚度

机床主轴的动静态特性对于机床加工精度与零件表面质量有着重要的意义，为此国内外学者针对主轴系统的建模、动静态性能实验轴承参数及加工条件等多种因素对机床主轴动力学特性的影响以及主轴系统优化设计等方面做了大量研究［1－2］。

随着高速加工技术的发展，尤其是内置式电机(电主轴)以及相应的轴承技术的发展，使得机床主轴转速提升至每分钟几万甚至十几万转，极大地提高了材料去除率。然而高速切削提高了加工效率与零件表面质量的同时也带来相应的问题。考虑到高速旋转效应对于主轴系统动态性能的影响，文献 ［3］提出了一种主轴系统模型，利用该模型研究了主轴转速对于主轴固有频率的影响。考虑到热预紧对于轴承刚度的影响，文献［4］建立了一个热－动力学耦合的主轴－轴承系统模型，分析了热预紧对于主轴系统固有频率的影响。蒋书运等［5］考虑到拉刀机构对于主轴系统高速状态动力学性能的影响，基于整体传递矩阵法建立了主轴系统动力学模型。文献［6］考虑了轴承运行刚度建立主轴系统有限元模型，对高速电主轴自身结构参数进行灵敏度分析，找出对主轴动态性能影响显著的设计参数，为高速主轴优化设计指导了方向。

上述研究表明，不考虑机床转速的传统机床主轴静态动态刚度已经不足以完整地描述高速主轴动静态特性。为此，考虑机床转速、轴承预紧力效应建立描述全转速场高速主轴动静态特性的数学模型有着重要意义。

文中在建立角接触球轴承运行刚度模型的基础上，计算轴承刚度矩阵，基于Timoshenko梁理论建立主轴系统模型，以某20 000 r/min主轴为例进行主轴系统模型建立、求解并进行实验验证。结果表明所建立的模型是准确的，可用于高速主轴动态性能预测。

1 面向广义动静刚度的主轴模型创建

1.1 高速主轴轴承运行刚度模型

(1)高速主轴轴承运行刚度计算

角接触球轴承在静止、未预紧状态下内外圈曲率中心与滚动体中心共线。轴承在高速旋转与载荷效应下发生变形，假设外圈曲率中心固定，则内圈曲率中心与滚动体中心如图1所示。由于轴承变形主要是由于滚动体与滚道间的赫兹接触产生的，可利用赫兹接触理论进行轴承变形计算［7］。

图1 滚动体与内外滚道变形协调关系

式中:Qij，Qoj分别为第j个滚动体与内外轨道接触力;

Kij，Koj为赫兹接触系数;

δij，δoj分别为第j个滚动体与内外轨道接触变形。

由轴承基本尺寸关系与变形关系 (图1)知:

式中:Db为滚动体直径;

fi，fo分别为内外滚道曲率。

由文献［8］知:

其中:R=0.5Dm+cosαo(fi－0.5)Db

式中:αo为初始接触角;

δa，δr，γ分别为轴承轴向、径向以及角位移;

φj为第j个滚动体方位角;

Dm为轴承中径。

由图1中几何关系可知:

同样地可知sinαoj，cosαij与sinαij。

在图1中，利用勾股定理，有:

轴承滚动体受力如图2所示。其中Fcj为离心力，Mgj为陀螺力矩，Qoj与Qij为球与滚道接触力，λoj与λij为滚道控制系数。对于高速情况下角接触球轴承一般为外圈滚道控制，此时λoj=λij=1［9］。

图2 滚动体受力分析

根据滚动体受力平衡可获得如下关系:

式中:J为滚动体转动惯量;

ω为轴承转速。

上式中，(ωR/ω)j、(ωR/ω)j与sinβ的详细计算过程参考文献［9］。

对于Z个球的轴承，其内圈受力平衡可知:

在给定转速、轴向和径向载荷的前提下假定δa，δr，γ，X1j，X2j，δij，δoj初值，利用 Newton-Raphson法求解方程(8)—(11)与方程(14)—(16)迭代收敛后获得各个球的内外接触角αij与αoj，内外滚道接触变形δij与δoj，以及内外滚动接触力Qij、Qoj等［6］。

(2)主轴轴承刚度矩阵计算

在主轴系统模型中，轴承承受轴向力Fx、径向力Fy、Fz，和力矩载荷My、Mz，因此在建立主轴系统有限元模型时通过两节点弹簧单元来模拟轴承，轴承单元两节点分别为轴承内外圈，且节点位移为［δIx，δIy，δIz，γIy，γIz，δOx，δOy，δOz，γOy，γOz］T。此时对于轴承内圈将方程(14)—(16)写作如下:

利用前文迭代计算结果，分别利用方程(17)—(21)对于δIx，δIy，δIz，γIy，γIz求导获得如下矩阵:

利用方程(17)—(21)对于δOx，δOy，δOz，γOy，γOz求导可获得KIO。同样地对于外圈受力平衡也可以写出相应的平衡方程式，求导后获得KOI与KOO，则轴承刚度矩阵为:

1.2 考虑高速效应的主轴有限单元

(1)旋转Timoshenko梁单元

经典的Timoshenko梁理论对于高速主轴系统进行有限元建模有着足够的适用性与准确性［10］。某典型旋转梁单元如图3所示。固定坐标系O－XYZ，其X轴与梁单元微段中心线平行，旋转坐标系O－xyz的x轴与固定坐标系O－XYZ的X轴平行，并绕X轴以角速度ω旋转。长度为L的梁单元微段受轴向力Pa，其方向与单元未变形时中心线平行。结合主轴系统动力学分析的需要，主轴单元定义为2节点10自由度梁单元，且节点位移为:［xi，yi，zi，θiy，θiz，xj，yj，zj，θjy，θjz］T。设在时间t时，梁单元内s处点P位移向量可表示为［xi(s，t)，yi(s，t)，zi(s，t)，θiy(s，t)，θiz(s，t)］T。

图3 典型旋转梁单元坐标系

长度为L的轴单元所包含的弹性弯曲势能、剪切势能和钻削轴向力Pa产生的势能总和为:

式中:A为截面面积;

E，G分别为材料弹性模量与剪切模量;

κ为横向剪切因子，一般取0.9。

长度为L的轴单元所包含的平动动能、转动动能、回转动能和陀螺力矩产生的动能的总和为［11］:

式中:ω为梁单元转速;

J为截面转动惯量;

ρ为材料密度。

同样地在均布载荷qx，qy，qz，均布力矩My，Mz作用下外力所做的功［3］:

利用单元两端节点n1，n2的广义位移 ［xi，yi，zi，θiy，θiz，xj，yj，zj，θjy，θjz］T和型函数 N，可以将轴单元上任意位置的广义位移表示为:

典型梁单元型函数参考文献［12］。

利用Hamilton原理:

利用有限元理论知识及MATLAB符号运算获得梁单元运动方程与各类单元矩阵［13－14］。

(2)盘单元

由文献［3］、［13］、［15］可知盘单元运动方程如下:

式中:Mdisk为盘单元质量矩阵;

Gdisk为盘单元陀螺力矩矩阵;

Fdisk为盘单元载荷向量。

1.3 主轴系统有限元模型

将高速主轴系统用梁单元、盘单元以及弹簧单元来模拟。由各类单元运动方程可知主轴系统动力学方程为:

其中:M=Mbm+Mdisk

令u=umaxeiφeiΩt，此时Ω=2πf，其中f为激励频率，t为时间，φ为相位。

则上式可写为:

同样地可将系统所受外力向量写为:

图5 主轴系统有限元模型

将式(31)、(32)代入系统方程即式(30)中可得:

通过Gauss Jordan消元法求解方程 (33)即可获得在激励频率为f的正弦力作用下系统各个自由度上的响应。

2 应用实例与模型验证

2.1 主轴实例

某典型加工中心主轴系统如图4所示，该主轴采用内置式电机驱动 (电主轴)，前轴承对由4个NSK超高速角接触陶瓷球轴承70BNR10X采用DBB配置方式组成，后轴承对为单个超高速圆柱滚子轴承N1011RXTPKR。该主轴系统锥孔HSKE50，设计最高转速为20 000 r/min。

图4 高速主轴简图

利用梁单元、盘单元以及弹簧单元建立的主轴有限元模型如图5所示。该模型中，由于后轴承可以在轴上滑动，所以仅考虑后轴承径向刚度。

图6 主轴静刚度实验简图

为验证文中所建立的主轴系统模型的准确性，便于读者详细了解该主轴系统动静态特性，分别进行了主轴系统动静态特性实验。

2.2 实验验证

(1)静刚度实验

主轴系统静刚度实验如图6所示，该实验装置由螺旋加力装置、力传感器、位移测量表、主轴系统以及试验台组成。实验时将主轴系统固定于试验台上，通过螺旋加力装置对轴端施加力，通过位移测量表获得轴端变形。测得的主轴系统轴向、径向静刚度见表1。

表1 主轴系统静刚度对比

(2)主轴系统激振实验

主轴系统激振实验采用北京东方所的模态测试系统，该系统由MSC-3中型试验冲击力锤、INV9821 ICP型加速度传感器、INV3020C-CPCI 16通道24位高精度采集分析仪和DASP-V10测试分析软件组成。电主轴采用自由悬挂方式，如图7所示，将加速度传感器放置于前端外圆面，采样频率为12.8 kHz，变时基倍数设定为2。获得轴端径向传递函数如图8所示［16］。

图7 主轴系统自由态激振实验简图

图8 实验与仿真响应对比

对于文中所述主轴系统来说，后轴承径向刚度为4×108N/m，前轴承基本参数如表2所示，利用第2.1节所述方法计算得主轴系统轴向与径向刚度随着转速与预紧力的变化关系如图9所示。

表2 主轴前轴承基本参数

利用轴承计算结果与所建立的主轴系统有限元模型获得主轴系统自由态响应，见图9。自由状态下主轴系统实验与仿真固有频率对比见表3。

对比图9、表1、表3可知:文中所建立的主轴系统有限元模型准确地反映了主轴系统动静态特性，可作为高速主轴广义动力学特性的预测模型。

图9 轴承轴向、径向刚度

表3 主轴系统固有频率对比

3 结束语

讨论了高速效应下主轴系统盘单元、梁单元动力学方程;同时基于赫兹接触理论，建立高速主轴轴承非线性模型;在此基础上建立某高速主轴动力学模型，通过对比高速主轴静刚度、模态参数以及轴端动柔度，表明所建立的主轴模型是准确、可靠的，可用于主轴系统动态设计。

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Dynamic Characteristic Analysis of Motorized Spindle Based on Bearing Dynamic Stiffness

MI Liang1，2，HU Qiu1，SHU Qiang1，2，YU Hailian1，2
(1.Institute of Mechanical Manufacturing Technology，China Academy of Engineering Physics，Mianyang Sichuan 621999，China;2.Machine Tools Inspection and Evaluation Center，China Academy of Engineering Physics，Mianyang Sichuan 621999，China)

Based on quasi-dynamic model of rolling bearings，taking into account the influence of speed，initial preload，centrifugal force，gyroscopic moment on bearing stiffness，the running stiffness of bearings was calculated.The stiffness matrix of angular contact ball bearing was derived and calculated.The beam element equation of motion was derived based on Timoshenko rotating beam thoery.Using this as a foundation，the FEM of spindle was created.Experiments were done to measure the static stiffness，modal test and FRF of spindle.Comparing the experimental and calculated results，it is shown that the FEM of the spindle developed in this study can describe the dynamic characteristics of the spindle with an acceptable accuracy.

Spindle;Bearing;Preload;Centrifugal force;Gyroscopic moment;Dynamic stiffness

TH133

A

1001－3881(2014)10－001－5

10.3969/j.issn.1001－3881.2014.10.001

2013－04－02

中国工程物理研究院超精密加工技术重点实验室重点基金资助项目 (ZZ13008)

米良 (1985—)，男，工学博士，工程师，主要从事机床动力学研究。E－mail:mibolt@foxmail.com。