含万向铰偏斜轴系的超谐波共振及其稳定性分析

朱拥勇，王德石，代仁文

(海军工程大学兵器工程系，湖北武汉 430033）

含万向铰偏斜轴系的超谐波共振及其稳定性分析

朱拥勇，王德石，代仁文

(海军工程大学兵器工程系，湖北武汉 430033）

研究固有结构偏斜与实际误差偏斜共同作用下含万向铰偏斜轴系的非线性扭转振动问题。首先推导出偏斜转子系统的弱非线性扭转振动方程，然后利用多尺度法求得其在超谐波共振情形下的周期解，并给出稳态周期解的幅频特性关系式。运用李雅普诺夫第一近似稳定性理论，对系统平衡点进行稳定性研究，得到超谐波共振解振幅随调谐参数变化的稳定区与不稳定区。最后对不同初始条件下非线性扭转振动的超谐波共振进行仿真计算。研究结果揭示了含万向铰偏斜转子系统非线性动力学的基本特性，也为进一步分析偏斜转子系统的分岔与奇异性奠定了基础。

扭转振动;超谐波共振;稳定性;偏斜轴系;万向铰

0 引言

万向铰被普遍应用于各类传动系统。在该转子系统中，由万向铰引起的角速度波动会导致系统的非线性振动及其运动稳定性问题，同时，在由制造、安装而产生的实际误差偏斜作用下，这种振动形式表现出更复杂的特性。在万向铰偏斜转子系统非线性扭转振动方面，目前研究大都只考虑固有结构偏斜φ，且认为这种固有结构偏斜较小，即将φ当作微量。Porter首先提出了万向铰偏斜转子系统的单自由度非线性扭转振动模型［1］，这一弱非线性模型成为研究万向铰偏斜转子系统扭转振动的经典模型并为后续研究者加以推广。文献［2］利用KBM方法直接对上述非线性模型进行研究，分析过程较为复杂。文献［3］将该模型线性化为参数激励系统，研究简化系统的稳定图、幅频特性曲线及相平面图，证明了多解共存及突变现象，并指出主参数共振和2阶参数共振的鞍点和焦点，整个研究较为全面，但经简化后并不能完全反映原偏斜转子系统的振动性态。针对多节万向传动轴的扭转振动也有学者进行了研究［4］，其分析侧重点在于研究系统参数对动力放大因素的影响，通过数值计算优化系统参数，达到降低扭转强度和避免共振的目的。本文主要研究固有结构偏斜与实际误差偏斜共同作用下万向铰转子系统的非线性扭转振动问题，利用多尺度法求解非线性模型，得出系统超谐波共振情形下的幅频特性曲线与相频特性，并对系统稳态周期运动进行稳定性分析，从而全面反映出万向铰偏斜转子系统的扭转振动特性。

1 含万向铰偏斜轴系的扭振模型

工程实际中，含万向铰的转子系统一般存在2类偏斜:一类是由万向铰结构引起的固有偏斜，这种偏斜模型可用驱动轴与从动轴之间的夹角φ表示;另一类为实际误差偏斜，由于受到轴承安装误差等因素影响，驱动轴与实际从动轴之间出现偏斜情形，这种偏斜模型可以用理想从动轴与实际从动轴之间的2个欧拉角α和β表示，也可称偏斜角，如图1所示。

图1 万向铰驱动的偏斜旋转轴Fig.1 Themodel ofmisaligned rotary shafts driven by universal joint

图2 偏斜转子系统扭转振动模型Fig.2 The torsional vibration model on misaligned rotary shafts

为建立偏斜轴系扭转振动模型，假设:1）驱动轴与从动轴为无质量杆件;2）支承驱动轴与从动轴的轴承足够长，系统弯曲可以忽略;3）不考虑万向铰十字轴的质量，且十字轴与轴叉之间无摩擦。

如图2所示，在该扭转振动模型中，驱动轴和从动轴的扭转刚度分别为S1和S2;驱动轴转动角速度ω为定值;万向铰两端的输入角及输出角分别为θ和ψ，即驱动轴转角和从动轴转角;实际从动轴上负载的转动惯量为J;粘滞阻尼为c(c＞0）;负载端的转角为η。

一般地，由实际误差产生的偏斜较小，即偏斜角α和β很小，当万向铰固有结构偏斜φ较小时，可以得到驱动轴与从动轴转动角速度之间的近似关系［5］:

作用在惯性负载上的力矩包括从动轴对负载产生的扭矩以及负载受到的粘滞阻尼扭矩，惯性负载的动力学方程为:

考虑万向铰两端受力情况，万向铰输入端所受力矩为S1(ωt-θ），输出端产生的力矩为S2(ψη），在假设万向铰传动过程中无摩擦前提下，驱动轴对万向铰所做功在某一时刻t的瞬时功率应恒等于十字轴对从动轴所做功在该时刻的瞬时功率，即:

2 超谐波共振情形下的周期解

3 偏斜轴系超谐波共振的稳定性

由式(8）和式(9）得到非线性振动系统超谐波共振情形下的幅频特性方程:

图3 幅频特性曲线上的稳定区与不稳定区(ρ =0.5，μ/ρ=0.04）Fig.3 The stability and instability domain on amplitude-frequency curve(ρ=0.5，μ/ρ=0.04）

在图3所示的幅频特性曲线中，粗实线ACB为系统周期解的稳定区，其稳定周期解的振幅均小于0.707。虚线a=0.707以上虚线部分为周期解的不稳定区。

图4 幅频特性曲线上的稳定区与不稳定区(ρ =0.9，μ/ρ=0.04）Fig.4 The stability and instability domain on amplitude-frequency curve(ρ=0.9，μ/ρ=0.04）

在图4所示的幅频特性曲线中，粗实线AED和BEC为系统周期解的稳定振幅区，其稳定周期解的振幅均小于0.917 8。虚线a=0.917 8以上虚线部分为周期解的不稳定区。若在稳定区上靠近A有一点P，随着调谐参数σ的不断增大，点P会沿着曲线AED由点A向点D运动。当调谐参数增大到点D所对应的σ值时，点P会从D点突然跳变到G点，此后再增大σ值，P点将从G点向B点运动。与此相同，若在稳定区上靠近B有一点P，随着调谐参数σ的不断减小，点P会沿着曲线BEC由点B向点C运动，当调谐参数减小到点C所对应的σ值时，点P会从C点突然跳变到F点，此后再减小σ值，P点将从F点向A点运动。由此可以看出，当驱动轴的旋转角速度接近其派生系统的固有频率的一半时，即在超谐波共振条件下，系统会产生跳跃现象;而且与线性振动系统中最大共振振幅产生在中心频率不同，在该非线性振动中，系统最大共振振幅并不产生在ω=ω0/2处。图3与图4不同，没有跳跃现象出现。

在图4产生跳跃现象的区域中，同一调谐参数σ对应于稳定区CEG和DEF上2个不同共振振幅as，即对于同一驱动轴转速，仍然存在2个稳定的周期解。该现象表明:对于接近于中心频率ω0/2的某一驱动轴角频率，其在稳定区CEG和DEF上仅对应一个稳定振幅，该振幅由系统初始条件所决定。

4 不同初始条件下非线性扭转振动的仿真计算

为验证非线性扭振系统共振响应对不同初始条件的依赖性，利用式(6）和式(7），对系统超谐波共振振幅进行仿真计算。为与图4相对应，取ρ=

1）当初始条件为a0=0.8，γ0=0.5时，其共振振幅如图5(a）所示，其稳定值与图4中σ=-1时所对应的稳定时的as值基本一致。

2）当初始条件为a0=0.15，γ0=0时，其共振振幅如图5(b）所示，其稳定值与图4中σ=-1时所对应的另一稳定时的as值基本一致。

图5 不同初始条件下的共振振幅 (ρ=0.9，μ/ρ=0.04）Fig.5 The amplitude under different initial conditions(ρ =0.9，μ/ρ=0.04）

5 结语

研究了固有结构偏斜与实际误差偏斜共同作用下含万向铰偏斜转子系统的非线性扭转振动问题。在分析从动轴与驱动轴运动学关系的基础上，推导出偏斜转子系统的弱非线性扭转振动方程。利用多尺度法求得该非线性方程在超谐波共振情形下的周期解，并给出稳态周期解的幅频特性关系式。运用李雅普诺夫第一近似稳定性理论，对系统平衡点进行稳定性研究，得到超谐波共振解振幅随调谐参数变化的稳定区与不稳定区。最后对不同初始条件下非线性扭转振动的超谐波共振进行了仿真计算。上述研究表明:

1）固有结构偏斜与实际误差偏斜的共同作用会引起含万向铰转子系统的非线性扭转振动，该系统具有形如=0的非自治振动系统形式;

2）在超谐波共振情形下，选取适当的刚度系数ρ、阻尼系数μ时，其幅频特性曲线会出现跳跃现象，即当驱动轴角频率ω取某一值时，系统共振振幅发生突变;

3）对于超谐波共振情形，同一调谐参数σ下存在多个振幅与相位;在给定初始条件下，对应于任意驱动轴转速ω，至多存在一个稳定的共振振幅与共振相位。上述研究结果揭示了含万向铰偏斜轴系的非线性动力学基本特性，也为系统进一步的分岔分析奠定了基础。

［1］PORTER B.A theoretical analysis of the torsional oscillation of a system incorporating a hooke's joint［J］.Journal ofMechanical Engineering Science，1961，3(4）:324 －329.

［2］PORTER B，GREGORY RW.Nonlinear torsional oscillation of a system incorporating a hooke's joint［J］.Journal of Mechanical Engineering Science，1963，5(2）:191 －200.

［3］CHANG S I.Torsional instabilities and nonlinear oscillation of a system incorporating a hooke's joint［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，229(4）:993 －1002.

［4］王鸿恩，罗义艮，贺明.三维空间多节万向传动轴扭振的分析计算［J］.机械工程学报，2000，36(6）:37 －41.

WANG Hong-en，LUO Yi-yin，HE Ming.Analysis and calculation of torsion vibration of 3－D knottiness hooke's couping［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2000，36(6）:37 －41.

［5］朱拥勇，冯昌林，王德石.万向铰驱动的偏斜转子系统运动学分析［J］.机械传动，2010，34(8）:6 －9，12.

ZHU Yong-yong，FENG Chang-lin，WANG De-shi.The kinematic analysis of misaligned rotor driven by universal joint［J］.Journal of Mechanical Transmission，2010，34(8）:6 －9，12.

［6］刘延柱，陈立群.非线性振动［M］.北京:高等教育出版社，2001:8－18.

LIU Yan-zhu，CHEN Li-qun.Nonlinear vibrations［M］.Beijing:Higher Education Press，2001:8 －18.

Analysis on super-harmonic resonance and stablity of torsional vibration with m isaligned shafts driven by universal joint

ZHU Yong-yong，WANG De-shi，DAIRen-wen
(Department ofWeaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

The nonlinear tosional vibration on rotor system driven by universal joint was studied considering both natural structure misalignment and actual error misalignment.Firstly，the equation with nonlinear vibration was derived.Secondly，the periodic solution was obtained corresponding to superharmonic resonance by multi-scale approach，also the amplitude-frequency characteristic curve.Then the stable regions on the amplitude of the periodic solution were deduced using Lyapunov's approximate stability theory.At last，the calculation simulation were carried outabout super-harmonic resonance of The nonlinear tosional vibration.The results above indicate the fundamental characteristic of the nonlinear dynamic on the misaligned shafts，also applying the foundation for advanced bifurcation and singularity analysis.

torsional vibration;super-harmonic resonance;stablity;misaligned shafts;universal joint

TH133.4

A

1672－7649(2014）05－0089－04

10.3404/j.issn.1672－7649.2014.05.018

2013－03－21;

2013－05－08

国家自然科学基金资助项目(50875259）;海军工程大学自然科学基金资助项目(HGDQNEQJJ12010）

朱拥勇(1981－），男，博士，主要从事机械动力学、非线性振动研究。