双曲抛物面薄壳屋盖的制作与设计

刘平安，廖小东，程雯玉，王 铨

（华东交通大学机电工程学院，江西 南昌 330013）

双曲抛物面薄壳屋盖的制作与设计

刘平安，廖小东，程雯玉，王 铨

（华东交通大学机电工程学院，江西 南昌 330013）

为了方便双曲抛物面薄壳屋盖的制作，采用数学建模的方法对双曲抛物面薄壳屋盖进行理论计算，得到了直母线钢筋数以及直母线钢筋在空间的位置、锚固面方程以及与直母线交点、直母线之间的交点和直母线与锚固面的法线之间夹角的数学表达式。利用Matlab软件经过实例计算验证了其有效性，为今后双曲薄壳屋盖的制作提供了理论依据。

双曲薄壳屋盖；数学建模；预应力钢筋；锚固面

随着建筑结构设计理论、设计手段及施工水平的不断提高，新的建筑型式不断出现。用钢筋混凝土浇筑的双曲抛物面薄壳屋盖具有利于排水、不易渗漏、节约材料、刚度较大、造型优美等优点，可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑［1］。许多学者对双曲抛物薄壳屋盖的设计、施工和风压的分布等进行了研究［2-5］。但薄壳结构的设计计算难度较大，施工复杂，对设计及施工技术要求较高。若能在制作前能为配筋、锚固面位置的确定等进行相关理论计算，将为双曲薄壳屋盖的制作带来切实的方便。

如图1为双曲抛物面薄壳屋盖示意图。

1 直母线钢筋数与空间位置直线方程

如图2所示的双曲抛物面又称马鞍面，其数学方程为

图1 双曲抛物面薄壳屋盖Fig.1 Hyperbolic paraboloid shell roof

图2 双曲抛物面Fig.2 Hyperbolic paraboloid

式中：x，y，z是直角坐标系3个坐标轴方向上的变量；a，b是常数。

作为屋盖的双曲抛物面其长度方向必须是上凸的，而在宽度方向有相对小的凹曲。在双曲抛物面薄壳上建立适当的坐标系，如图3所示。

0,0 ,0 往两边沿马鞍面的两族直母线配筋后再浇注混凝土或树脂。配筋布置如图4所示，图中a为板宽之半；b为屋盖长度之半；fx为横向下挠高度；fy为纵向上拱高度。

图3 双曲抛物面薄壳坐标系的建立Fig.3 The coordinate system of hyperbolic paraboloid shell

图4 马鞍面薄壳配筋在x-y平面投影Fig.4 Projection of saddle shell reinforcement in the x-y plane

k为从W1中间向x增大方向开始对直母线钢筋的编号数。根据对称性可知最多可安排2(2k+1)根过点所要求直母线钢筋。

图5 直母线投影到x-o-y平面Fig.5 Projected straight generatrix in the x-o-y plane

2 锚固面方程以及与直母线交点的求解

根据锚固面的定义可知两条主直母线共有4个锚固面，其中两两相交在直母线两端分别形成一个折线型面。如图6所示，n1，n2为两条锚固面直线。

直线方程：y=±b±l1与方程（6）的其中一个交点为

图6 锚固面与锚固面直线示意Fig.6 Schematic diagram of anchorage and anchoring line

则通过M点在第1，2，3，4象限的锚固面方程分别为

联立（1）（2）（7）共3个方程可求第1象限的锚固面与直母线的交点为

3 直母线之间的交点求解

首先证明异族的任何二直母线共面但不重合（即必相交），根据两簇直母线方程可以用变量表示交点坐标x，y和z[8]。

根据两族直母线方程可求得x，y坐标表达式

4 直母线和锚固面的法线之间夹角求解

因为直母线具有对称性，其与锚固面的夹角相同，同理可知其余夹角参数。

5 计算实例

5.1 相关参数

这里选用文献［1］中的相关参数如下：

5.2 具体计算

1）将相关数据代入（5）式中得0≤k≤4.681 6，取正整数得Max(k)=4，2(2k+1)=18。

2）在W1宽度中9条直母线公式中的所对应的v的值为

[v]=[-0.159 9-0.119 9-0.080 0-0.040 0-0.040 0 0.080 0 0.119 0.159 9]，另外一族9条直母线的v值与上面的值对应。利用MATLAB［9］计算9条直母线与锚固面的交点坐标值如表1所示。

3）异族直母线之间的交点限于文章篇幅，只例举x的坐标值如表2，y，z坐标值同样可计算得到。

表1 直母线与锚固面的交点坐标Tab.1 The intersection points of straight generatrix and anchorage

表2 异族直母线之间的交点x的坐标值Tab.2 x coordinates of the intersection between 2 groups of straight generatrix

6 结语

通过研究，得出如下结论：

双曲抛物面薄壳的直母线钢筋数除与板宽之半和间距有关外，还与横向下挠和纵向上拱高度有关；从锚固面的直线方程与相关布置方案（图6）可知，左、右边的两条锚固面的直线方程关于原点对称，而且它们与直母线的交点也有类似的规律；直母线之间的交点坐标值都与直母线方程中的常数u，v有关，而直母线和锚固面的法线之间的夹角是板宽之半、长度之半、横向下挠和纵向上拱高度的函数。文中所得到的一系列配筋表达式，对于设计自重轻、耗材少、受力性能好、刚度大的双曲抛物面薄壳屋盖具有重要参考价值，且可以缩短设计周期和有效提高设计质量和效率。

[1]江西省人民政府学位办.2012年江西省研究生数学建模A题[EB/OL].(2012-05-26)[2013-07-01].http://xwyyjs.jxedu.gov.cn.

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Production and Design of Hyperbolic Paraboloid Shell Roof

Liu Ping’an,Liao Xiaodong,Cheng Wenyu,Wang Quan
(School of Mechatronical Engineering,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China)

Aiming at the production of hyperbolic paraboloid shell roof,this paper adopts the mathematical model⁃ing of hyperbolic paraboloid shell roof for theoretical calculation.It obtains the straight generatrix steel number,the position of the straight generatrix steel,anchoring surface equation in space,the intersection between rectilin⁃ear and straight generatrix and the mathematic expression of the angle between the generatrix and anchorage.Through the Matlab software,calculation results verify the effectiveness of the proposed model,which may provide a theoretical basis for the future production of hyperbolic shell roof.

hyperbolic shell roof;mathematical modeling;prestressed reinforcement;anchor surface

TU33+5

A

1005-0523（2014）02-0079-07

2013-07-01

江西省科技支撑计划项目（20122BBE500041）

刘平安（1962—），男，教授，博士，研究方向为机械设计、机构学、机器人机构学。

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