mBBM方程的含椭圆函数形式的精确解*

刘转玲

（兰州商学院信息工程学院，甘肃兰州 730020）

引言

非线性偏微分方程是数学的一个非常重要的分支，常被用来描述过程控制、生态系统、经济系统、化学循环系统和流行病学等问题.非线性偏微分方程描述上述问题能充分考虑到时间、空间、时间延迟及其他因素，所以更准确地反映了现实情况.

Benjamin －Bona－ Mahony 在水波研究中提出了 BBM 方程［1，2］，之后发展为 mBBM［3］方程，这个方程是弱非线性色散介质中长波单向传播的重要模型，因而，对于mBBM方程的深入研究［4］，特别是对于有效地数值计算方法的研究，具有重要的理论和现实意义.

本文的目的是应用Painlevé直接截断法对mBBM方程的精确求解作深入的探讨.

1 直接截断方法简解

Painlevé直接截断方法［5，6］是将Painlevé检验中的Laurent级数做有限截断，其中假定奇性流形函数是具有某种特定的性质，最后，偏微分方程的精确解是通过确定截断级数的系数来确定.这一方法简洁直接，在一定范围内具有相当的普适性.Painlevé直接截断方法简述如下.

对于给定的偏微分方程:

式中U（x，t）是一个关于x，t的多项式.假设方程（1）具有

2 椭圆函数的性质

如果f（ξ）和g（ξ）满足以下椭圆函数的条件:

3 mBBM方程的含椭圆函数形式的精确解

4 结论

运用Painlevé直接截断法，不仅可以求出mBBM方程的其他一些不同形式的精确解，也可求出其他一些偏微分方程的精确解.

［1］洪宝剑，卢殿臣，赵康生.Burgers－BBM 方程新的精确解［J］.应用数学，2007，20（1）:134 －139.

［2］汪裕才.周期边界条件下B－BBM方程的整体吸引子［J］.应用数学，2004，17（2）:239－242.

［3］陈松林，侯为根.推广的B－BBM方程和B－BBM方程的显式精确解［J］.物理学报，2001，50（10）:1842－1846.

［4］郭鹏，张磊，王小云，等.mBBM 方程和Vakhnenko方程的显示精确解［J］.量子电子学报，2010，27（6）:683－686.

［5］Zhao D，Luo H G，Wang S J，et al.A direct truncation method for finding abundent exact olutions and application to the one －dimensional higher－ order Schrodinger equation［J］.Chaos Solitons and Fractals，2005，24:533 －547.

［6］Zhao D，Luo H G，Chai H Y.Integrability of the Gross－ Pitaevskii equation with Feshbach resonance management［J］.Phys.lett.A，2008，372:5644 －5650.

［7］王明亮，李志斌，周宇斌.齐次平衡原则及其应用［J］.兰州大学学报:自然科学版，1999，35（3）:8－16.